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北师大版高中数学必修5第一章数列知识点及方法总结

数列知识点 知识清单 1.数列的概念 (1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列; 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作 an ,在数列第一个位置的项叫第 1 项(或首项) ,在第二个 位置的叫第 2 项,??,序号为 n 的项叫第 n 项(也叫通项)记作 an ; 数列的一般形式: a1 , a2 , a3 ,??, an ,??,简记作 就叫这个数列的通项公式。 说明: ① ?an ? 表 示 数 列 , an 表 示 数 列 中 的 第 n 项 , an = ?an ? 。 (2)通项公式的定义:如果数列 {an } 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式 f ? n? 表 示 数 列 的 通 项 公 式 ; ??1, n ? 2k ? 1 ② 同 一 个 数 列 的 通 项 公 式 的 形 式 不 一 定 唯 一 。 例 如 , an = (?1) n = ? (k ? Z ) ; ??1, n ? 2k ③不是每个数列都有通项公式。例如,1,1.4,1.41,1.414,?? (3)数列的函数特征与图像表示: 序号:1 2 3 4 5 6 项 :4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。 从函数观点看, 数 列实质上是定义域为正整数集 N ? (或它的有限子集)的函数 f (n) 当自变量 n 从 1 开始依次取值时对 (4)数列分类:①按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;②按数列项与项之间的大小 关系分:单调数列(递增数列、递减数列) 、常数列和摆动数列。 (5)递推公式定义:如果已知数列 ?an ? 的第 1 项(或前几项) ,且任一项 an 与它的前一项 an ?1(或前 几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 应的一系列函数值 f (1), f (2), f (3), ??, f (n) ,??.通常用 an 来代替 f ? n ? ,其图像是一群孤立点。 (n ? 1) ? S1 a ? (6 )数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系: n ? ? Sn ? Sn?1 (n ≥ 2) 注意:此公式较重要! ! ! 等差数列知识点 1、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示。用递推公式表 示为 an ? an?1 ? d (n ? 2) 或 an?1 ? an ? d (n ? 1) 。 2、等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d ; 说明:等差数列(通常可称为 A P 数列)的单调性: d ? 0 为递增数列, d ? 0 为常数列, d ? 0 为递 减数列。 3、等差中项的概念: a?b 定义:如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项,其中 A ? 。即: a , A , b 2 a?b 成等差数列 ? A ? 或者 2A=a+b。 2 4、等差数列的前 n 和的求和公式: Sn ? n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d。 2 2 5、等差数列的性质: (1)在等差数列 ?an ? 中,从第 2 项起,每一项是它相邻二项的等差中项; (2)在等差数列 ?an ? 中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列, 如: a1 , a3 , a5 , a7 ,??; a3 , a8 , a13 , a18 ,??; (3)在等差数列 ?an ? 中,对任意 m , n ? N ? , an ? am ? (n ? m)d , d ? an ? am (m ? n) ; n?m (4)在等差数列 ?an ? 中,若 m , n , p , q ? N ? 且 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? ap ? aq ; 说明:设数列 {an } 是等差数列,且公差为 d , S奇 a ? n ; S偶 an?1 S n (Ⅱ)若项数为奇数,设共有 2n ? 1 项,则① S 偶 ? S 奇 ? an ? a中 ;② 奇 ? 。 S偶 n ? 1 (Ⅰ)若项数为偶数,设共有 2n 项,则① S 奇 ? S 偶 ? nd ; ② 6、数列最值 (1) a1 ? 0 , d ? 0 时, Sn 有最大值; a1 ? 0 , d ? 0 时, Sn 有最小值; (2) Sn 最值的求法:①若已知 Sn ,可用二次函数最值的求法( n ? N ? ) ;②若已知 an ,则 Sn 最值时 ? an ? 0 ? an ? 0 或? 。 n 的值( n ? N ? )可如下确定 ? ? an ?1 ? 0 ? an ?1 ? 0 等比数列知识点 1.等比数列定义 一般地,如果一个数列从第二项起 ,每一项与它的前一项的比等于同一个常数 ,那么这个数列就 .... .. 叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的公比; 公比通常用字母 q 表示 (q ? 0) , 即:an ?1 :an ? q(q ? 0) (注意: “从第二项起” 、 “常数” q 、等比数列的公比和项都不为零) 2.等比数列通项公式为: an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) 。 说明: (1)由等比数列的通项公式可以知道:当公比 d ? 1 时该数列既是等比数列也是等差数列; (2) a 等比数列的通项公式知:若 {an } 为等比数列,则 m ? q m?n 。 an 3.等比中项 如果在 a与b 中间插入一个数 G ,使 a, G, b 成等比数列,那么 G 叫做 a与b 的等比中项(两个符号相同 的非零实数,都有两个等比中项) 。 4.等比数列前 n 项和公式 一 般 地 , 设 等 比 数 列 a1 , a2 , a3 ,

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