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广东省惠州市2012届高三第一次调研考试文科数学试题


广东省惠州市 2012 届高三第一次调研考试

数学试题(文科) 数学试题(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动, 先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 参考公式: 参考公式: 锥体的体积公式: V =

1 Sh 3

( S 是锥体的底面积, h 是锥体的高)

第Ⅰ卷 选择题(共 50 分)
一、 、 选择题(本大题共 10 小题, ( 小题, 每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求. 选择题 每小题 5 分, 满分 50 分.每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求.) 1.已知全集 U = {1, 2,3, 4} ,集合 A = {1,3, 4} , B = {2,3} ,则图中阴影 部分表示的集合为( A. {2} 2.复数 B. {3} ) C. i D. ?i ) C. {1, 4} D. {1, 2,3, 4} )

1? i 的值是( 1+ i
B. ?1

A.1

3.已知向量 a = (1, , b = ( x , ,若向量 a ⊥ b ,则 x = ( 2) 4) A.2 B. ?2 C.8 D. ?8

4.从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高(单位:厘米)数 据绘制成频率分布直方图(如右图) 。由图中数据可知身高在 [120,130]内的学生人数为( A.20 B.25 ) 0.020 C.30 D.35 5.设 {an } 是等差数列,且 a2 + a3 + a4 = 15 ,则这个数列的前 5 项 和 S5 = ( A.10 ) B.15 C.20 D.25 0.010 0.005 0.035

频率/组距

a

身高
100 110 120 130 140 150

6.右图是底面半径为 1,母线长均为 2 的圆锥和圆柱的组合体, 则该组合体的侧视图的面积为( A. 8π B. 6π ) C. 4 + 3 D. 2 + 3 )

7.函数 f ( x) = 2 sin(

π

? x) cos( + x) ? 1, x ∈ R 是( 4 4

π

A.最小正周期为 2π 的奇函数 C.最小正周期为 2π 的偶函数
数学试题(文科)

B.最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数
第 1 页 共 4 页

8.设平面区域 D 是由双曲线 y ?
2

x2 = 1 的两条渐近线和抛物线 y 2 = ?8 x 的准线所围成的 4


三角形(含边界与内部) .若点 ( x, y ) ∈ D ,则目标函数 z = x + y 的最大值为( A. ?1 B. 0 C. 1 ) D. 3

9. lg x, lg y , lg z 成等差数列”是“ y 2 = xz ”成立的( “ A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件

D.既不充分也不必要条件
2

10.规定记号“ ? ”表示一种运算,即 a ? b = ab + a + b ( a, b为正实数) ,若 1 ? k = 3 , 则 k =( A. ?2 ) B.1 C. ?2 或 1 D.2 开始

第Ⅱ卷 非选择题(共 100 分)
二、 填空题 本大题共 5 小题, ( 小题, 考生作答 4 小题, 小题, 每小题 5 分, 满分 20 分.) 为必做题, 必须作答。 (一)必做题(第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都 必须作答。 必做题( ) 11.已知函数 f ( x ) = log 2 x ,则 f ( f (4)) = _______. 12.如果执行右面的程序框图,那么输出的 S = ______. 13.圆心在 y 轴上,且与直线 y = x 相切于点 (1,1) 的圆的方程为____________________. (二)选做题(14 ~15 题,考生只能从中选做一题;两道题都做的,只记 选做题( 考生只能从中选做一题;两道题都做的, 第一题的分。 ) 第一题的分。 14. 坐标系与参数方程选做题)过点 (2, (坐标系与参数方程选做题)
S = S ?k

k =1
S =1

k ≤ 5?




k = k +1

输出 S 结束

π
3

) 且平行于极轴的直线的极坐标方程为________.
A P O C

15.(几何证明选讲选做题) 已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , (几何证明选讲选做题) 直线 PO 交圆 O 于 B, C 两点, AC = 2 , ∠PAB = 120 , 则圆 O 的面积为 . B

小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题: 16.(本小题满分 12 分) 设三角形 ABC 的内角 A, B, C , 的对边分别为 a, b, c, a = 4, c = 13 , sin A = 4sin B . (1)求 b 边的长; (2)求角 C 的大小。

17. (本小题满分 12 分)
数学试题(文科) 第 2 页 共 4 页

甲、乙二名射击运动员参加今年深圳举行的第二十六届世界大学生夏季运动会的预选赛,他们分别射击了 4 次,成绩如下表(单位:环) : 甲 乙 5 6
高.考.资.源.网

6 7

9 8

10 9

(1)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高的概率; (2)现要从中选派一人参加决赛,你认为选派哪位运动员参加比较合适?请说明理由.

18.(本小题满分 14 分) 如图的几何体中, AB ⊥ 平面 ACD , DE ⊥ 平面 ACD ,△ ACD 为等边三角形, AD = DE = 2 AB = 2 ,

F 为 CD 的中点.
(1)求证: AF // 平面 BCE ;

B

E A

(2)求证:平面 BCE ⊥ 平面 CDE 。 C F D

19.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 S n = 2an ? 1 ,等差数列 {bn } 满足 b1 = a1 , b4 = S3 。 (1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式;

(2)设 cn =

1 1001 ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 的最小正整数 n 是多少? bn bn +1 2012

20.(本小题满分 14 分)
数学试题(文科) 第 3 页 共 4 页

如图,在 ?ABC 中, | AB |=| AC |= (1)求椭圆的标准方程;

7 ,| BC |= 2 ,以 B 、 C 为焦点的椭圆恰好过 AC 的中点 P 。 2

(2)过椭圆的右顶点 A1 作直线 l 与圆 E : ( x ? 1) + y = 2
2 2

相交于 M 、 N 两点,试探究点 M 、 N 能将圆

E 分割成弧长比值为 1: 3 的两段弧吗?若能,求出直线 l 的方程;若不能,请说明理由.
y A P x B O C

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = x3 ? 3ax + b 在 x = 1 处有极小值 2 。 (1)求函数 f (x ) 的解析式;

(2)若函数 g ( x ) =

m f '( x) ? 2 x + 3 在 [0, 2] 只有一个零点,求 m 的取值范围。 3

数学试题(文科)

第 4 页 共 4 页

文科数学参考答案与评分标准 文科数学参考答案与评分标准 参考
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 C 5 D 6 C 7 B 8 D 9 A 10 B

1. 【解析】由韦恩图知: A ∩ B = {3} ,故选 B

1? i (1 ? i ) 2 ? 2i 2. 【解析】 = = = ?i .故选 D 1 + i (1 + i )(1 ? i ) 2
3. 【解析】 a ? b =

x1 x2 + y1 y 2 = 0 . 即x + 8 = 0,∴ x = ?8 ,故选 D.

4. 【解析】由频率分布直方图知; a = 0.03 ,∴身高在[120,130]内的学生人数为

100 × 0.03 × 10 = 30 ,故选 C
5.【解析】由下标和性质知 3a3 = 15, ,∴ a3 = 5, ∴ S5 = 5a3 = 25, 故选 D 6. 【解析】该组合体的侧视图是上面边长为 2 的正三角形,下面是边长为 2 的正方形 ∴组合体的侧视图的面积为 S = 2 × 2 + 7. 【解析】 f ( x ) = 2 sin( 故选 B .
Y

π

? x) cos( + x) ? 1 = 2 cos 2 ( + x) ? 1 = cos( + 2 x) = ? sin 2 x, 4 4 4 2

π

1 × 2 × 3 = 4 + 3 ,故选 C 2

π

π

8. 【解析】双曲线 y ?
2

x 1 = 1 的两条渐近线为 y = ± x , 4 2

2

A(1,2)

抛物线 y 2 = ?8 x 的准线为 x = 2 , 当直线 y = ? x + z 过点 A(1, 2) 时, zmax = 3 ,故选 D. 9. 【解析】提示:当 x,z 都取负数时. lg x, lg z 无意义。选 A. 10. 【解析】提示:根据运算有 1 ? k

X

+ 1 + k 2 = 3, k ∈ R * ,∴ k = 1 .选 B.

二.填空题(本大题每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题后的横线上) 11. 1 ; 12. 720; 13. x 2 + ( y ? 2) 2 = 2 ; 14. ρ sin θ =

3;

15. 4π 。

11. 【解析】∵ f (4) = log 2 4 = 2, ∴ f ( f (4)) = f (2) = log 2 2 = 1 12. 【解析】由程序框图知: S = 1× 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720 13. 【解析】设圆的方程为 x 2 + ( y ? b) 2 = r 2 ,则圆心为 (0, b),

数学试题(文科)

第 5 页 共 4 页

?b ?1 = ?1 ?b = 2 ? 依题意有 ? 0 ? 1 ,得 ? 2 ,所以圆的方程为 x 2 + ( y ? 2) 2 = 2 。 ?r = 2 ?r 2 = (b ? 1)2 + (0 ? 1)2 ?
14. 【解析】点 (2,

π
3

) 的直角坐标为 (1, 3) ,∴过点 (1, 3) 平行于 x 轴的直线方程为 y = 3
3

即极坐标方程为 ρ sin θ =

15.【解析】由已知条件可求得圆 O 的半径 OA = 2 ,∴圆 O 的面积为 4π 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)依正弦定理

a b = 有 b sin A = a sin B …………………………3 分 sin A sin B
…………………………6 分

又 a = 4, sin A = 4sin B ,∴ b = 1

a 2 + b 2 ? c 2 16 + 1 ? 13 1 = = ……………………9 分 (2)依余弦定理有 cos C = 2ab 2 × 4 ×1 2
又 0 < C < 180 ,∴ C = 60 17. (本小题满分 12 分) 解: (1)记甲被抽到的成绩为 x ,乙被抽到成绩为 y ,用数对 ( x, y ) 表示基本事件 从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,则共有 (5, 6), (5, 7), (5,8), (5, 9), (6, 6), (6, 7),
° ° °

…………………………12 分

(6,8), (6, 9), (9, 6), (9, 7), (9,8), (9,9), (10, 6), (10, 7), (10,8), (10,9) 。16 种结果…2 分
记 A = {甲的成绩比乙高} 则 A 包含 (9, 6), (9, 7), (9,8), (10, 6), (10, 7), (10,8), (10,9) 有 7 种结果 …………4 分 ∴ P ( A) =

7 16

…………………………………………6 分

(2) 甲的成绩平均数 x1 = 乙的成绩平均数 x2 = 甲的成绩方差 S1 =
2

5 + 6 + 9 + 10 = 7.5 4 6+ 7 +8+9 = 7.5 4

(5 ? 7.5) 2 + (6 ? 7.5) 2 + (9 ? 7.5) 2 + (10 ? 7.5)2 = 4.25 4 (6 ? 7.5)2 + (7 ? 7.5) 2 + (8 ? 7.5)2 + (9 ? 7.5) 2 = 1.25 ………10 分 4
2

乙的成绩方差 S 2 =
2
2

∵ x1 = x2 , S1 > S 2

∴选派乙运动员参加决赛比较合适
数学试题(文科)

…………………………………………12 分
第 6 页 共 4 页

18.(本小题满分 14 分) (1)证明:取 CE 的中点 G ,连结 FG、BG . ∵ F 为 CD 的中点,∴ GF // DE 且 GF = ∵ AB ⊥ 平面 ACD , DE ⊥ 平面 ACD , ∴ AB // DE ,∴ GF // AB . C F D B E A

1 DE . 2

G

1 又 AB = DE ,∴ GF = AB . …………3 分 2
∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF // BG .……………5 分

∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE .…………7 分 (2)证明:∵ ?ACD 为等边三角形, F 为 CD 的中点,∴ AF ⊥ CD …………9 分 ∵ DE ⊥ 平面 ACD , AF ? 平面ACD ,∴ DE ⊥ AF .……………10 分 又 CD ∩ DE = D ,∴ AF ⊥ 平面 CDE .……………………………12 分 ∵ BG // AF ,∴ BG ⊥ 平面 CDE .…………………………………13 分 ∵ BG ? 平面 BCE , ∴平面 BCE ⊥ 平面 CDE .………………14 分 19. (本小题满分 14 分) 解: (1)当 n = 1 时, a1 = S1 = 2a1 ? 1 ,∴ a1 = 1 …………1 分

当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = (2an ? 1) ? (2an ?1 ? 1) = 2an ? 2an ?1 , 即

an =2 an ?1

…………………………………………………………………3 分
n ?1

∴数列 {an } 是以 a1 = 1 为首项, 2 为公比的等比数列,∴ an = 2 设 {bn } 的公差为 d , b1 = a1 = 1 , b4 = 1 + 3d = 7 ,∴ d = 2

, S n = 2 n ? 1 …5 分

∴ bn = 1 + ( n ? 1) × 2 = 2n ? 1 …………………………………………………8 分 (2) cn =

1 1 1 1 1 = = ( ? ) …………………………10 分 bn bn +1 (2n ? 1)(2n + 1) 2 2n ? 1 2n + 1

∴ Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 n (1 ? + ? + ... + ? ) = (1 ? )= ……12 分 2 3 3 5 2n ? 1 2n + 1 2 2n + 1 2n + 1 1001 n 1001 由 Tn > ,得 > ,解得 n > 100.1 2012 2n + 1 2012 1001 > 的 最 小 正 整 数 n 是 2012
y A P x

∴ Tn

101 …………………………………………14 分
20. (本小题满分 14 分)
数学试题(文科) 第 7 页 共 4 页

B

O

C

解: (1)∵ | AB |=| AC |=

7 ,| BC |= 2 ∴ | BO |=| OC |= 1, 2

| OA |= | AC |2 ? | OC |2 =
∴ B ( ?1, 0), C (1, 0), A(0,

49 3 5 ?1 = ………2 分 4 2

3 5 1 3 5 ) ∴ P( , ) ……4 分 2 2 4

依椭圆的定义有: 2a =| PB | + | PC |=

1 3 5 1 3 5 9 7 ( + 1)2 + ( ? 0) 2 + ( ? 1)2 + ( ? 0) 2 = + = 4 2 4 2 4 4 4

∴ a = 2 ,…………………………………………………………………………6 分 又 c = 1 ,∴ b = a ? c = 3 ………………………………………………………7 分
2 2 2

x2 y 2 ∴椭圆的标准方程为 + = 1 ……………………………………………8 分 4 3
(求出点 p 的坐标后,直接设椭圆的标准方程,将 P 点的坐标代入即可求出椭圆方程, 也可以给满分。 ) (2) 椭圆的右顶点 A1 (2, 0) ,圆 E 圆心为 E (1, 0) ,半径 r =

2。

假设点 M 、 N 能将圆 E 分割成弧长比值为 1: 3 的两段弧, 则 ∠MEN = 90 ,圆心 E (1, 0) 到直线 l 的距离 d = 当直线 l 斜率不存在时, l 的方程为 x = 2 , 此时圆心 E (1, 0) 到直线 l 的距离 d = 1 (符合)……………………………11 分 当直线 l 斜率存在时,设 l 的方程为 y = k ( x ? 2) ,即 kx ? y ? 2k = 0 , ∴圆心 E (1, 0) 到直线 l 的距离 d =
°

2 r = 1 ………………10 分 2

|k|
k 2 +1

= 1 ,无解……………………………13 分

综上:点 M、N 能将圆 E 分割成弧长比值为 1: 3 的两段弧,此时 l 方程为 x = 2 …14 分。 21. (本小题满分 14 分) 解: (1) f '( x ) = 3 x 2 ? 3a …………………………………………………………………1 分 依题意有 ?

? f '(1) = 3 ? 3a = 0 ,………………………………………………3 分 ? f (1) = 1 ? 3a + b = 2

解得 ?

?a = 1 ,……………………………………………………………………4 分 ?b = 4
2

此时 f '( x) = 3 x ? 3 = 3 ( x ? 1)( x + 1) ,
数学试题(文科) 第 8 页 共 4 页

x ∈ ( ?1,1) , f ' ( x ) < 0, x ∈ (1, +∞ ) , f ' ( x ) > 0, 满足 f ( x ) 在 x = 1 处取极小值
∴ f ( x) = x ? 3 x + 4 ……………………………………………………………5 分
3

(2) f '( x) = 3 x ? 3
2

m ' m f ( x) ? 2 x + 3 = (3 x 2 ? 3) ? 2 x + 3 = mx 2 ? 2 x ? m + 3 …………6 分 3 3 3 ,……8 分 当 m = 0 时, g ( x ) = ?2 x + 3 ,∴ g ( x ) 在 [0, 2] 上有一个零点 x = (符合) 2
∴ g ( x) = 当 m ≠ 0 时, ①若方程 g ( x ) = 0 在 [0, 2] 上有 2 个相等实根,即函数 g ( x ) 在 [0, 2] 上有一个零点。

?? = 4 ? 4m(?m + 3) = 0 3+ 5 ? 则? ,得 m = ……………………………………10 分 1 2 0≤ ≤2 ? m ?
②若 g ( x ) 有 2 个零点,1 个在 [0, 2] 内,另 1 个在 [0, 2] 外, 则 g (0) g (2) ≤ 0 ,即 ( ?m + 3)(3m ? 1) ≤ 0 ,解得 m ≤ 经检验 m = 3 有 2 个零点,不满足题意。 综上: m 的取值范围是 m ≤

1 ,或 m ≥ 3 …………12 分 3

1 3+ 5 ,或 m = ,或 m > 3 ……………………14 分 3 2

数学试题(文科)

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