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(数学选修2-3)1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质(一)课件_图文


1.3.2“杨辉三角”与 二项式系数的性质 一、新课引入 二项定理: 一般地,对于n ?N*有 (a ? b) ? C a ? C a n 0 n n 1 n n ?1 b?C a 2 n r n? 2 b ? 2 n ?? C a r n n? r b ??? C b n n 杨辉三角 1.“杨辉三角”的来历及规 n (律 a ? b) 展开式中的二项式系数,如下表所示: 1 0 1 (a ? b) C 1 1 1 C1 0 1 2 2 C2 C2C2 (a ? b) 1 2 1 0 1 2 3 3 C 3 C3C3 C3 (a ? b) 1 3 3 1 0 1 2 3 4 4 C 4 C4C4 C4 C4 1 4 6 4 1 (a ? b) 0 1 2 3 4 5 5 C5 C5C5 C5 C5 C5 (a ? b) 1 5 10 10 5 1 0 1 2 3 4 5 6 6 (a ? b) 1 6 15 20 15 6 1 C6 C6C6 C6 C6 C6 C6 …… …… …… r n (a ? b) n C C C ...C ...C C 0 n 1 n 2 n n?1 n n n 二项式系数的性质 思考: 观察二项式系数表,寻求其规律: (a+b)1…………… 1 1 (a+b)2……………1 2 1 (a+b)3…………1 3 3 1 (a+b)4………1 4 6 4 1 (a+b)5……1 5 10 10 5 1 (a+b)6…1 6 15 20 15 6 1 (1)对称性: 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 这就是组合数的性质 1: C ? C m n n? m n 二项式系数的性质 思考: 观察二项式系数表,寻求其规律: (a+b)1…………… 1 1 (a+b)2……………1 2 (a+b)3…………1 3 3 1 (a+b)4………1 4 6 4 1 (a+b)5……1 5 (a+b)6…1 6 设任一不为1的数为Cn+1r 1 那么它肩上的两个数分别为: Cnr-1和Cnr 10 10 5 1 15 20 15 6 1 (2)递推性: ①表中每行两端都是1 ②除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. m m m ?1 这就是组合数的性质 2: Cn ? 1 ? Cn ? C n 二项式系数的性质 (a ? b) 展开式的二项式 0 1 2 n 系数依次是: Cn , Cn , Cn ,?, Cn n r C 从函数角度看, n 可看 成是以r为自变量的函数 f (r ) , 其定义域是: ?0,1,2,?, n? 当 n ? 6 时,其图象是什 么样的?试着画一画。 二项式系数的性质 n (1)对称性:图象的对称轴:r ? 2 (3)增减性与最大值 中间项取得最大值 ①当n为偶数时 中间一项的二项式系数C ②当n为奇数时 中间两项的二项式系数 C 且同时取得最大值 n 2 取得最大值; n n ?1 n ?1 2、 2 相等, n n C 二项式系数的性质 在二项式定理中,令a=1,b=x,则有: 2 2 r r n n (1 + x)n = 1 + C1 x + C x + ? + C x + ? + C n n n nx (4)各二项式系数的和 在二项式定理中,令 a ? b ? 1,则: C ? C ? C ? ?? C ? 2 0 n 1 n 2 n n n n (▲)奇数项的二项式系数之和 等于偶数项的二项

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