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(数学选修2-3)1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质(一)课件_图文

1.3.2“杨辉三角”与 二项式系数的性质 一、新课引入 二项定理: 一般地,对于n ?N*有 (a ? b) ? C a ? C a n 0 n n 1 n n ?1 b?C a 2 n r n? 2 b ? 2 n ?? C a r n n? r b ??? C b n n 杨辉三角 1.“杨辉三角”的来历及规 n (律 a ? b) 展开式中的二项式系数,如下表所示: 1 0 1 (a ? b) C 1 1 1 C1 0 1 2 2 C2 C2C2 (a ? b) 1 2 1 0 1 2 3 3 C 3 C3C3 C3 (a ? b) 1 3 3 1 0 1 2 3 4 4 C 4 C4C4 C4 C4 1 4 6 4 1 (a ? b) 0 1 2 3 4 5 5 C5 C5C5 C5 C5 C5 (a ? b) 1 5 10 10 5 1 0 1 2 3 4 5 6 6 (a ? b) 1 6 15 20 15 6 1 C6 C6C6 C6 C6 C6 C6 …… …… …… r n (a ? b) n C C C ...C ...C C 0 n 1 n 2 n n?1 n n n 二项式系数的性质 思考: 观察二项式系数表,寻求其规律: (a+b)1…………… 1 1 (a+b)2……………1 2 1 (a+b)3…………1 3 3 1 (a+b)4………1 4 6 4 1 (a+b)5……1 5 10 10 5 1 (a+b)6…1 6 15 20 15 6 1 (1)对称性: 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 这就是组合数的性质 1: C ? C m n n? m n 二项式系数的性质 思考: 观察二项式系数表,寻求其规律: (a+b)1…………… 1 1 (a+b)2……………1 2 (a+b)3…………1 3 3 1 (a+b)4………1 4 6 4 1 (a+b)5……1 5 (a+b)6…1 6 设任一不为1的数为Cn+1r 1 那么它肩上的两个数分别为: Cnr-1和Cnr 10 10 5 1 15 20 15 6 1 (2)递推性: ①表中每行两端都是1 ②除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. m m m ?1 这就是组合数的性质 2: Cn ? 1 ? Cn ? C n 二项式系数的性质 (a ? b) 展开式的二项式 0 1 2 n 系数依次是: Cn , Cn , Cn ,?, Cn n r C 从函数角度看, n 可看 成是以r为自变量的函数 f (r ) , 其定义域是: ?0,1,2,?, n? 当 n ? 6 时,其图象是什 么样的?试着画一画。 二项式系数的性质 n (1)对称性:图象的对称轴:r ? 2 (3)增减性与最大值 中间项取得最大值 ①当n为偶数时 中间一项的二项式系数C ②当n为奇数时 中间两项的二项式系数 C 且同时取得最大值 n 2 取得最大值; n n ?1 n ?1 2、 2 相等, n n C 二项式系数的性质 在二项式定理中,令a=1,b=x,则有: 2 2 r r n n (1 + x)n = 1 + C1 x + C x + ? + C x + ? + C n n n nx (4)各二项式系数的和 在二项式定理中,令 a ? b ? 1,则: C ? C ? C ? ?? C ? 2 0 n 1 n 2 n n n n (▲)奇数项的二项式系数之和 等于偶数项的二项式系数之和: 0 Cn ? 2 Cn ?? ? 2 n?1 1 ?C n ? 3 Cn ?? 一般地, (a ? b) 展开式的二项式系数 n C , C , ?C ( 1) C ? C ( 2) C ? C ①当n为偶数时 0 n 1 n n n 有如下性质: m n?m n n m m ?1 m n n n ?1 ?C (3)增减性与最大值 中间一项的二项式系数C ②当n为奇数时 n ?1 n ?1 中间两项的二项式系数 C 2、 2 相等, C n n 且同时取得最大值 0 1 n n ( 4) n n n n 2 取得最大值; n C ? C ??? C ? 2 课堂练习: 1)已知 C ? a, C ? b ,那么 C = 5 15 9 15 10 16 ; 2) (a ? b) 的展开式中,二项式系数的最大值 是 ; 9 3)若 (a ? b) 的展开式中的第十项和第十一 项的二项式系数最大,则n= ; n 赋值法 例1、已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则 (1)a1+a2+a3+…+a7=_______ (2)a1+a3+a5+a7 =_________ (3)a0+a2+a4+a6 =_________ 练习 例 4、 (1)已知 (1 ? 2 x) 6 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a6 x 6 , 则 a6 ? a5 ? a4 ? a3 ? a2 ? a1 = (2)若 (1 ? 2 x) 7 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a7 x 7 , 则 (a0 ? a2 ? a4 ? a6 ) 2 ? (a1 ? a3 ? a5 ? a7 ) 2 = 已知(1 ? 2 x) ? a0 ? a1 x ? 1.a2 x ? ? ? a6 x ? a7 x 7 2 6 7 求: (1)a0 (2)a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a7 7 7 (1)令x ? 0 即f (0) ? (1 ? 2 ? 0) ? 1, 展开式右边即为a0 解 : 设f ( x) ? (1 ? 2x) ?a0 ? f (0) ? 1 7 (2)令x ? 1 f (1) ? (1 ? 2 ? 1) ? ?1 ? a0

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