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高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明11.2数系的扩充与复数的引入习题课件理

课后作业夯关 11.2 数系的扩充与复数的引入

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一、选择题

1.(2018·湖南长沙四县联考)i是虚数单位,若复数z满

足zi=-1+i,则复数z的实部与虚部的和是( )

A.0 B.1 C.2 D.3

解析 复数z满足zi=-1+i,可得z=

-1+i i



?-1+i?i i·i

=1+i.故复数z的实部与虚部的和是1+1=2,故

选C.

2.(2018·湖北优质高中联考)已知复数z=1+i(i是虚数

单位),则2z-z2的共轭复数是(

)

A.-1+3i B.1+3i C.1-3i D.-1-3i

解析 2z-z2=1+2 i-(1+i)2=?1+2?1i?-?1-i? i?-2i=1-i- 2i=1-3i,其共轭复数是1+3i,故选B.

3.(2017·河南洛阳模拟)设复数z满足 -z =|1-i|+i(i为 虚数单位),则复数z=( )
A. 2-i B. 2+i C.1 D.-1-2i 解析 复数z满足 -z =|1-i|+i= 2 +i,则复数z= 2 -i.故选A.

4.(2018·广东测试)若z=(a- 2)+ai为纯虚数,其中a

∈R,则1a++ai7i=(

)

A.i B.1 C.-i D.-1

解析 ∵z为纯虚数,∴?????aa≠-0,2=0, ∴a= 2,



a+i7 1+ai



2-i 1+ 2i



? 2-i??1- ?1+ 2i??1-

2i? 2i?

=-33i

=-i.故选

C.

5.(2018·安徽江南十校联考)若复数z满足z(1-i)=|1-

i|+i,则z的实部为( )

2-1 A. 2

B. 2-1

C.1

2+1 D. 2

解析 由z(1-i)=|1-i|+i,得z= 12-+ii=

??12-+i?i??1?1++i?i?= 22-1+ 22+1i,z的实部为 22-1,故选A.

6.(2017·安徽十校联考)若z=22+-ii,则|z|=(

)

1 A.5

B.1

C.5

D.25

解析 1.故选 B.

解法一:z=22- +ii=??22- +ii????22- -ii??=35-45i,故|z|=

解法二:|z|=???22- +ii???=||22- +ii||=

5=1.故选 B. 5

7.(2017·河南百校联盟模拟)已知复数 z 的共轭复数为 -z ,若????32z+-2z ????(1-2 2i)=5- 2i(i 为虚数单位),则在复平 面内,复数 z 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限



解析

依题意,设

z=a+bi(a,b∈R),则32z+

z 2

=2a

+bi,故

2a+bi=15--2

2i =1+ 2i

2i,

故 a=12,b= 2,则在复平面内,复数 z 对应的点为

????12,

?
2??,位于第一象限.故选 A. ?

8.(2018·新乡、许昌、平顶山调研)复数 z1,z2 满足 z1

=m+(4-m2)i,z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(m,λ,θ∈R),并且

z1=z2,则 λ 的取值范围是( )

A.????-1,1????

B.????-196,1????

C.????-196,7????

D.????196,7 ????

解析 由复数相等的充要条件,可得
??m=2cosθ, ???4-m2=λ+3sinθ, 化简得 4-4cos2θ=λ+3sinθ,由此可得 λ=-4cos2θ- 3sinθ + 4 = - 4(1 - sin2θ) - 3sinθ + 4 = 4sin2θ - 3sinθ = 4????sinθ-83????2-196,因为 sinθ∈[-1,1],所以 λ∈????-196,7????.故 选 C.

9.对于复数 z1,z2,若(z1-i)z2=1,则称 z1 是 z2 的“错

位共轭”复数,则复数 23-12i 的“错位共轭”复数为(

)

A.- 63-12i

B.- 23+32i

C. 63+12i

D. 23+32i

解析

?
由(z-i)?? ?

23-21i????=1,可得

z-i=

1= 23-12i

23+12

i,所以 z= 23+32i.故选 D.

10.已知 z=a+bi(a,b∈R,i 是虚数单位),z1,z2∈C, 定义:D(z)=||z||=|a|+|b|,D(z1,z2)=||z1-z2||,给出下列命 题:
(1)对任意 z∈C,都有 D(z)>0; (2)若 z 是复数 z 的共轭复数,则 D( z )=D(z)恒成立; (3)若 D(z1)=D(z2)(z1,z2∈C),则 z1=z2; (4)对任意 z1,z2,z3∈C,结论 D(z1,z3)≤D(z1,z2)+ D(z2,z3)恒成立.

其中真命题为( A.(1)(2)(3)(4) C.(2)(4)

) B.(2)(3)(4) D.(2)(3)

解析 对于(1),由定义知当 z=0 时,D(z)=0,故(1) 错误,排除 A;对于(2),由于共轭复数的实部相等而虚部 互为相反数,所以 D( z )=D(z)恒成立,故(2)正确;对于(3), 两个复数的实部与虚部的绝对值之和相等并不能得到实部 与虚部分别相等,所以两个复数也不一定相等,故(3)错误, 排除 B,D,故选 C.

二、填空题 11.(2017·江苏高考)已知复数 z=(1+i)(1+2i),其中 i 是虚数单位,则 z 的模是____1_0___.
解析 解法一:∵z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i-2=-1 +3i,
∴|z|= ?-1?2+32= 10. 解法二:|z|=|1+i||1+2i| = 2× 5= 10.

12.(2016·天津高考)已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若

(1+i)(1-bi)=a,则ab的值为____2____.

解析 由(1+i)(1-bi)=a 得 1+b+(1-b)i=a,则

??b+1=a, ???1-b=0,

解得?????ab= =21, ,

所以ab=2.

13.(2016·北京高考)设 a∈R.若复数(1+i)(a+i)在复平 面内对应的点位于实轴上,则 a=__-__1____.
解析 (1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i, ∵a∈R,该复数在复平面内对应的点位于实轴上, ∴a+1=0,∴a=-1.

14.若虚数 z 同时满足下列两个条件:①z+5z是实数; ②z+3 的实部与虚部互为相反数.则 z=-__1_-__2_i_或__-__2_- __i.
解析 设 z=a+bi(a,b∈R,b≠0), 则 z+5z=a+bi+a+5 bi =a????1+a2+5 b2????+b????1-a2+5 b2????i.

又 z+3=a+3+bi 实部与虚部互为相反数,z+5z是实

数,根据题意有???b????1-a2+5 b2????=0, ??a+3=-b,

因为

b≠0







??a2+b2=5, ???a=-b-3,





??a=-1, ???b=-2



??a=-2, ???b=-1.
所以 z=-1-2i 或 z=-2-i.

三、解答题 15.(2017·徐汇模拟)已知 z 是复数,z+2i 与2-z i均为实 数(i 为虚数单位),且复数(z+ai)2 在复平面上对应点在第一 象限. (1)求 z 的值; (2)求实数 a 的取值范围.

解 (1)设 z=x+yi(x,y∈R), 又 z+2i=x+(y+2)i 为实数,∴y+2=0, 解得 y=-2. ∴2-z i=x2--2ii=??x2--2ii????22++ii??=?2x+2?+5 ?x-4?i, ∵2-z i为实数,∴x-5 4=0,解得 x=4. ∴z=4-2i.

(2)∵复数(z+ai)2=[4+(a-2)i]2=16-(a-2)2+8(a- 2)i=(12+4a-a2)+(8a-16)i,
∴?????18a2+ -416a->0a,2>0, 解得 2<a<6, 即实数 a 的取值范围是(2,6).

16.(2017·孝感期末)已知复数 z=(m-1)+(2m+1)i(m ∈R).
(1)若 z 为纯虚数,求实数 m 的值; (2)若 z 在复平面内的对应点位于第二象限,求实数 m 的取值范围及|z|的最小值.
解 (1)∵z=(m-1)+(2m+1)i(m∈R)为纯虚数, ∴m-1=0 且 2m+1≠0,∴m=1.

(2)z 在复平面内的对应点为(m-1,2m+1).

由题意得?????m2m-+1<1>00,, ∴-12<m<1,

即实数 m 的取值范围是????-12,1????. 而 |z| = ?m-1?2+?2m+1?2 =

5m2+2m+2 =

5????m+51????2+95, 当 m=-15∈????-21,1????时,|z|min=

9=3 5

5

5 .


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