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高中数学配套+章末专题整合课件2.3.1 离散型随机变量的均值 选修2-3_图文

第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.1 离散型随机变量的均值 学习导航 新知初探思维启动 1.离散型随机变量的均值 (1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为: x1 x2 … xi … xn p1 p2 … pi … pn x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为 随 机 则 称 E(X) = ______________________________ 变量X的均值或数学期望. 平均水平 . (2)意义:它反映了离散型随机变量取值的__________ (3) 性质 : 如果 X 为 ( 离散型 ) 随机变量 , 则 Y = aX + b( 其中 a,b为常数)也是随机变量,且P(Y=axi+b)=P(X=xi),i= E(aX+b) =______________. aE(X)+b 1,2,3,…,n,E(Y)=____________ X P 想一想 均值E(X)是一个常数还是一个变量? 提示:常数. 做一做 1.已知X的分布列为 X P 则X的均值为__________. 1 3 1 1 1 解析:E(X)=-1× +0× +1× +2× = . 4 8 4 8 4 1 答案: 4 -1 1 4 0 3 8 1 1 4 2 1 8 2.两点分布与二项分布的均值 X E(X) 做一做 X~B(n,p) np X服从两点分布 p(p为成功概率) 2.一名射手每次射击中靶的概率均为0.8,则他独立射击 3次中靶次数X的均值为__________. 解析:∵X~B(3,0.8), ∴E(X)=3×0.8=2.4. 答案:2.4 典题例证技法归纳 题型探究 题型一 离散型随机变量均值的性质 例1 已知随机变量X的分布列为: X P -2 1 4 -1 1 3 0 1 5 1 m 2 1 20 (1)求E(X); (2)若Y=2X-3,求E(Y). 【解】 (1)由随机变量分布列的性质,得 1 1 1 1 1 + + + m+ = 1,解得 m= , 4 3 5 20 6 1 1 1 1 1 17 ∴ E(X)= (-2)× + (-1)× + 0× + 1× +2× =- . 4 3 5 6 20 30 (2)法一:由公式 E(aX+b)= aE(X)+b,得 E(Y)= E(2X- 3)= 2E(X)- 3 17 62 = 2× (- )- 3=- . 30 15 法二:由于 Y= 2X-3,所以 Y 的分布列如下 : Y P -7 1 4 -5 1 3 -3 1 5 -1 1 6 1 1 20 1 1 1 1 ∴ E(Y) = ( - 7)× + ( - 5)× + ( - 3)× + ( - 1)× + 4 3 5 6 1 62 1× =- . 20 15 【名师点评】 (1)该类题目属于已知离散型分布列求 期望 , 求解方法是直接套用公式 ,E(X) = x1p1 + x2p2 +… +xnpn求解. (2)对于aX+b型的随机变量 ,可利用均值的性质求解 ,即 E(aX+b)= aE(X)+ b;也可以先列出 aX+b的分布列 ,再 用均值公式求解,比较两种方式显然前者较方便. 互动探究 11 1.本题条件不变 ,若 ξ=aX+3,且 E(ξ)=- ,求 a 的值. 2 17 11 解 :E(ξ)=E(aX+3)= aE(X)+ 3=- a+ 3=- , 30 2 ∴ a= 15. 题型二 例2 求离散型随机变量的均值 某校在全校学生中开展物理和化学实验操作大 比拼活动,活动要求:参加者物理、化学实验操作都必须 参加,有50名学生参加这次活动 ,评委老师对这 50名学生 实验操作进行评分 , 每项操作评分均按等级采用 5 分制 ( 只打整数分),评分结果统计如下表: (1)若随机抽取1名参加活动的学生,求“化学实验得分 为4分且物理实验得分为3分”的学生被抽取的概率; (2)从这50名参赛学生中任取1名,其物理实验与化学实 验得分之和为ξ,求ξ的数学期望. 【解】 (1)从表中可以看出 ,“化学实验得分为 4 分且物理 实验得分为 3 分”的学生有 6 名,所以“化学实验得分为 4 分 6 3 且物理实验得分为 3 分”的学生被抽取的概率为 = . 50 25 (2)ξ 所有可能的取值为 2、3、 4、 5、6、 7、 8、9、 10,则 ξ 的分布列为 : ξ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4 3 9 8 16 4 2 3 P 50 50 50 50 50 50 50 50 50 1 4 3 9 8 16 ∴ E(ξ)= 2× + 3× + 4× + 5× + 6× + 7× + 50 50 50 50 50 50 4 2 3 311 8× + 9× + 10× = . 50 50 50 50 【名师点评】 求离散型随机变量X的均值的步骤: (1)理解X的意义,写出X可能取的全部值; (2)求X取每个值的概率; (3)写出X的分布列(有时可以省略); (4) 利用定义公式 E(X) = x1p1 + x2p2 +…+ xnpn 求出均 值. 跟踪训练 2.甲、乙两人都独立地破译某个密码 ,甲破译出该密码的 2 4 概率是 ,乙破译出该密码的概率是 ,设破译出该密码的人 3 5 数为 X,求其数学期望. 解 :设 A、B 分别为甲、乙破译出该密码的事件 ,X 可能的取 值是 0,1,2. 2 4 1 -- - - P(X= 0)= P( A · B )=P( A )× P( B )=(1- )× (1- )= ; 3 5 15 4 2 2 4 2 - - P(X= 1)= P(A· B ) + P( A · B)= (1- )× + (1- )× = ; 5 3 3 5 5 2 4 8 P(X= 2)= P(A)×

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