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四川省成都七中2018届高三二诊(3月)模拟考试数学(理)试题+Word版含答案

成都七中高 2018 届二诊模拟考试 数学(理)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.设集合 S
?

?

x x ?3 ? x ? ? 0

? ,T

x ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?x ? ? ? 1? 2 ? ? ? ? ? ?

,则 S

T ?

(

)

A. ? 0 , ? ? ?

B. ? 1, 3 ?
z 1? i
2i

C. ? 3 , ? ? ?
? 1 ,则 z ?

D. ? ? ? , 0 ?

? 1, ? ? ?

2.已知复数 z 为纯虚数,且 A. ? 2 i 3.若向量 A P
1 2
?1 3 ? ? ? , ? ? 2 2 ? ? ?

( C.

)
2i

B. ? , BC
3 2

D. i )

?

?

3 ,1

? ,则 △ A B C 的面积为(
C.1

A.

B.

D砑

3

4.为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响,某地从育龄人群中随机抽取了容量为 100 的 调查样本,其中城镇户籍与农民户籍各 50 人;男性 60 人,女性 40 人,绘制不同群体中倾向 选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示),其中阴影部分表示倾向选择 生育二胎的对应比例,则下列叙述中错误的是( )

A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关 B.是否倾向选择生育二胎与性别无关 C.倾向选择生育二胎的人员中,男性人数与女性人数相同 D.倾向选择生育二的人员中,农村户籍人数少于城镇户籍人数 5.一个棱锥的三视图如图所示,则该棱锥的外接球的体积是( )

A. 9 ?

B.

9? 2

C. 3 6 ?

D. 1 8 ? )

6.按照如图所示的程序框图,若输入的 a 为 2018, k 为 8,则输出的结果为(

A.2473 7.若实数 a 满足 lo g a A. ?
? 2 ? ,1 ? ? 3 ? 2 3

B.3742
? 1 ? lo g 1 a
4

C.4106 ,则 a 的取值范围是( C. ?
? 3 ? ,1 ? ? 4 ?

D.6014 ) D. ? 0 ,
? ? 2? ? 3?

B. ?

? 2 3 ? , ? ? 3 4 ?

8.在 △ A B C 中,角 B 为 A.
2 5 5

3? 4

, B C 边上的高恰为 B C 边长的一半,则 co s A
5 5

?
5

(

)

B.
1 ? ? 1 ? ? ? 3 ? 1? 2x ? ? x ?
4

C.

2 3

D.

3

9. ? x 2
?

?

?

的展开式中 x ? 1 的系数是(
5 2

)
1 2

A.2

B.1

C.

D.

10.等差数列 ? a n ? 各项都为正数,且其前 9 项之和为 45,设 b n
? b n ? 中的最小项为 b 3 ,则 ? a n ? 的公差不能为(

?

1 an

?

4 a1 0 ? n

,其中 1 ?

n ?9

,若

) D.
1 2

A.1 11.已知圆 C : ? x 最小值为
? 3 ? A ? ,0 ? ? 2 ?

B.
? a
2

5 6

C.
? 2a ? ?
2

2 3

?

2

?

?y

1 4

?a ?
?1 ? 2

R ? ,考虑下列命题:①圆 C

上的点到 ? 4 , 0 ? 的距离的

7 2

;②圆 C 上存在点 P 到点 ?

? ,0 ? ?

的距离与到直线 x

? ?

3 2 ?

的距离相等;③已知点
1 2

,在圆 C 上存在一点 P ,使得以 A P 为直径的圆与直线 x ) B.1
x ? t x

相切,其中真命题的个

数为( A.0

C.2
? 0?

D.3
? f

12.已知函数 f ? x ? ?

?t

,过点 P ? 1, 0 ? 作曲线 y

? x ? 的两条切线 P M , P N ,切点分
? ? ? 16 ? ? n ?

别为 M , N ,设 g ? t ? ?
a2

MN

,若对任意的正整数 n ,在区间 ?1, n
g ? a2

内存在 m

? 1 个数 a 1 ,

,…, a m ? 1 使得不等式 g ? a 1 ? ? B.5

??…

? g ? an

??

g ? a n ?1 ?

成立,则 m 的最大值为( D.7

)

A.4

C.6

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
?y ? x ? 13.若实数 x , y 满足 ? 2 x ? y ? 2 ? ?x ? y ? 1

,则 y 的最大值为

.

14.若双曲线

x

2

16

?

y

2

9

? 1 的渐近线与圆 x ?
2

?y

? m

?

2

? 4

相切,则 m

?

.
5 5
? ? 5? ? , ? ? ?2 2 ?

15.设函数 f ? x ? ?

s in x ? 2 c o s x

,已知常数 ?

? ? ? ? ? 0, ? 2 ? ?

且满足 c o s ?

?

,t ?

,则关于

t

的不等式 f ? t

??

??

5 2

的解集为

.

16.祖暅是我国齐梁时代的数学家,是祖冲之的儿子,他提出了一条原理:“幂势既同,则积 不容易.”这里的“幂”指水平截面的面积.“势”指高,这句话的意思是:两个等高的几何 体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体体积相等。于是可把半径相等的 半球(底面在下)和圆柱(圆柱高等于半径)放在同一水平面上,圆柱里再放一个半径和高都与 圆柱相等的圆锥(锥尖朝下),考察圆柱里被圆锥截剩的立体,这样在同一高度用平行平面截 得的半球截面和圆柱中剩余立体截得的截面面积相等,因此半球的体积等于圆柱中剩余立体

的体积.设由椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1? a ? b ? 0 ?

所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周后, 得一橄榄状的几

何体(如图,称为“椭球体”),请类比以上所介绍的应用祖暅原理求球体体积的做法求这个 椭球体的体积.其体积等于 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知等比数列 ? a n ? 满足 a n ? 1 (1)求 a 1 ; (2)设 ?
? 4
? ? Sn ? 1

,其中 ?

? ?1 , S n

为 ? a n ? 的前 n 项和, n ?

N

*

.

,若 ? n ?

N

*



1 a1

?

1 a2

?… ?

1 an

? m

恒成立,求 m 的最小值.

18.随着互联网的快速发展,基于互联网的共享单车应运而生,某市场研究人员为了了解共享 单车运营公司 M 的经营状况,对该公司最近六个月的市场占有率进行了统计,并绘制了相应 的折线图:

(1) 由折线图可以看出,可用线性回归模型拟合月度市场占有率 y 与月份代码 x 之间的关系, 求 y 关于 x 的线性回归方程,并预测 M 公司 2017 年 4 月的市场占有率; (2) 为进一步扩大市场,公司拟再采购一批单车,现有采购成本分别为 1 0 0 0 元/辆和 1200 元/

辆的 A 、 B 两款车型可供选择,按规定每辆单车最多使用 4 年,但由于多种原因(如骑行 频率等)会导致单车使用寿命各不相同,考虑到公司运营的经济效益,该公司决定先对这 两款车型的单车各 100 辆进行科学模拟测试,得到两款单车使用寿命的频数表如下:

经测算,平均每辆单车每年可以带来收入 500 元,不考虑除采购成本之外的其他成本,假设 每辆单车的使用寿命都是整数年,且以频率作为每辆单车使用寿命的概率,如果你是 M 公司 的负责人,以每辆单车产生利润的期望值为决策依据,你会选择采购哪款车型? 参考公式:回归直线方程为 y 19.如图, 四棱锥 P
N
? bx ? a

,其中 b

?

?

n i ?1

?x
n

i

? x

?? y
? x

i

? y
2

?

?
? ABCD

i ?1

?x

i

?

,a

? y ? bx

. ,

中, 侧棱 P A 垂直于底面 A B C D ,A B
? 2

? AC ? AD ? 3

,2 A M

? MD

为 P B 的中点, A D 平行于 B C , M N 平行于面 P C D , P A

.

(1)求 B C 的长; (2)求二面角 N 20.已知椭圆 C
? PM ? D
: x
2

的余弦值. 、B ,P 为椭圆 C 上不同于 A ,B 的任意一点.

2

? y

2

? 1 的左右顶点分别为 A

(1)求 ∠ A P B 的正切的最大值并说明理由; (2)设 F 为椭圆 C 的右焦点,直线 P F 与椭圆 C 的另一交点为 Q , P Q 的中点为 M ,若
OM ? QM

,求直线 P F 的斜率.
ln ? x ? 1 ? ? 2a x ? a

21.已知函数 f ? x ? ?

.

(1)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (2)若函数 f ? x ? 存在两个极值点 x1 , x 2 且满足 f ? x1 ? ? 22.在直角坐标系 x O y 中,抛物线 C 的方程为 y 2
? 4x f

? x2 ?

? 4

,求 a 的取值范围.

.

(1)以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程;

(2)直线 l 的参数方程是 ? 倾斜角. 23.已知函数 f ? x ? ? (1)当 m

? x ? 2 ? t cos ? ? y ? t s in ?

( t 为参数), l 与 C 交于 A , B 两点,

AB ? 4

6

,求 l 的

m ? x ?1

,m ?
?x?

R

.

? ? 1 时,求不等式 f
? 2? ? f

? ?3

的解集;

(2)若 f ? x

?x

? 2? ? 0

的解集为 ? ? 2 , 4 ? ,求 m 的值.

成都七中高 2018 届二诊模拟考试 数学(理)参考答案 一、选择题 1-5:DBACB 二、填空题 13.
1 2

6-10:BCAAD

11、12:CB

14. ?

5 2

15. ?

? 5? ? 6

,

1 3? ? ? 6 ?

16.

4 3

? ?b a

2

三、解答题 17.解:(1) a n ? 1 于是公比 q 所以 a 2
a1 ? 1 . ? ? Sn ? 1

, an

? ? S n ?1 ? 1

两式相减得 a n ? 1

? ? ? ? 1? an

.

? ? ?1

. .

? ? a1 ? 1 ? ? ? ? 1 ? a1

(2) q

? 5

, a n ?1

? 5an

, an

? 5

n ?1


1 ? ? 1?1 ? n ? 5 ? ? 1? 1 5

1 a1

?

1 a2

?… ?

1 an

?1?

1 5

?… ?

1 5
n ?1

?

?

5 ? 1 ? ?1 ? n ? 4? 5 ?



所以 m 的最小值为

5 4

.
6

18.解:(1)由题意: x
b ? 35 1 7 .5 ? 2

? 3 .5

,y

? 16

,?
i ?1

?x

i

? x

?? y

i

? y ? 35

?

6

,?
i ?1

?x

i

? x

?

2

? 1 7 .5



,a

? y ? b ? x ? 1 6 ? 2 ? 3 .5 ? 9

,∴ y

? 2x ? 9



x ? 7

时, y

? 2 ? 7 ? 9 ? 23

.
? 7

即预测 M 公司 2017 年 4 月份(即 x

时)的市场占有率为 2 3 % .

(2)由频率估计概率, 每辆 A 款车可使用 1 年, 2 年, 3 年, 4 年的概率分别为 0 .2 、0 .3 5 、0 .3 5 、
0 .1 ,

∴每辆 A 款车的利润数学期望为
?500
? 1 0 0 0 ? ? 0 .2 ? ? 1 0 0 0 ? 1 0 0 0 ? ? 0 .3 5 ? ? 1 5 0 0 ? 1 0 0 0 ? ? 0 .3 5 ? ? 2 0 0 0 ? 1 0 0 0 ? ? 0 .1 ? 1 7 5

(元)

每辆 B 款车可使用 1 年,2 年,3 年,4 年的概率分别为 0 .1 , 0 .3 , 0 .4 , 0 .2 , ∴每辆 B 款车的利润数学利润为

?500

? 1 2 0 0 ? ? 0 .1 ? ? 1 0 0 0 ? 1 2 0 0 ? ? 0 .3 ? ? 1 5 0 0 ? 1 2 0 0 ? ? 0 .4 ? ? 2 0 0 0 ? 1 2 0 0 ? ? 0 .2 ? 1 5 0

(元)

∵175

? 150 ,

∴应该采购 A 款车. 19.解:(1)取 P C 的中点 E ,连接 E N 、 E D , 因为 E N 平行于 B C , A D 平行于 B C ,所以 E N 平行于 M D , 所以 M
,N ,E,D

四点共面,

因为 M N 平行于面 P C D ,面 P C D 与面 M N E D 交与 E D ,所以 M N 平行于 E D , 所以 M N E D 为平行四边形. 所以 E N
? MD ? 2

, BC

? 2EN ? 4

.

(2 取 B C 中点 F ,则 A F 垂直于 B C ,因为 A D 平行于 B C ,所以 A F 垂直于 A D ,于是以 A 点 为原点, A F 为 x 轴, A D 为 y 轴, A P 为 z 轴建立坐标系, 由 A F 垂直于 A D , A F 垂直于 A P 知面 P M D 法向量为 ? 1, 0 , 0 ? ,
? 6 ? ? , 2 ,1 ? 5 ?

通过计算得面 P M N 的法向量为 ?

.
6 61

经判断知二面角为钝角,于是其余弦为 ? 20.解:(1)设椭圆上的点 P ? x 0 , y 0 ? ? x 0 ∴ k AP
? k BP ? y0 x0 ? 2 ? y0 x0 ? 2 ? ? 1 2

.

? ?

2

? ,则

x0 2

2

? y0 ? 1

2




? ta n ?

设直线 A P , B P 的倾斜角分别为 ? , ? ,则 k A P
ta n ∠ A P B ? ta n ? ? ? ? ? ? ? ? ?

, k BP

? ta n ?



?? ?

ta n ? ? ? ?

??
2

ta n ? ? ta n ? 1 ? ta n ? ? ta n ?

? 2 ? tan ? ? tan ?

??

? 2 ? tan ? ? ? ? tan ?

?? ?
2

?2



∴当且仅当 ?

? ? ??

时,最大值为 ? 2
? 0

.
? my ? 1

(2)由题可知,斜率一定存在且 k

,设过焦点 F 的直线方程为 x

, A ? x1 , y 1 ? ,

B ? x2 , y2

? , M ? x0 , y0 ? ,

?x 2 ? y ?1 ? 联立 ? 2 ,则 x 2 ? 2 y 2 ? 2 m y ? 1 ? 0 ?x ? my ? 1 ?

2

?

?



?2 ? y ? y2 ? 2 ? 1 m ? 2 ? ?1 ? ∴ ? y1 y 2 ? 2 m ? 2 ? 2 ? ? ? 8 ? m ? 1? ? ?
2

2 ? x0 ? 2 ? ? m ? 2 ,∴ ? ?m ?y ? 0 2 ? m ? 2 ?





OM

?

m m
2

? 4 ? 2





QM

?

1 2

PQ ?

1 2

?2a

? e ? x1 ? x 2

??

?

1 ? ?2 2?

2 ?

1

? ?2x ? ? 2 ?

2

m m

2 2

?1 ? 2





OM

? QM

,∴

m m
2

2

? 4 ? 2

?

2

m m

2 2

?1 ? 2

,∴ m 2

?

1 2

,∴ k 2

? 2

,∴ k

? ?

2

.

21.解:(1)定义域为 ? x
f '? x ? ? ? ? 2a ? ?? x ?1 ? ? 1

x ? ? 1且 x ? ? a ?



1

?x

? a?

2

? ? ? ? ?

x ? a ?a ? 2?
2

?x

? 1? ? x ? a ?

2



当a 当0

? 2

或a

? 0

时,

f '? x ? ? 0

恒成立,
? ? a ?2 ? a?

? a ? 2

时,由

f '? x ? ? 0

得x

或x

?

a ?2 ? a?



于是结合函数定义域的分析可得: 当a
? 2

时,函数 f ? x ? 在定义域 ? ? 1, ? ? ? 上是增函数; 时,函数 f ? x ? 定义域为 ? ? 1, ? ? ? ,此时有 ? 1 ?
a ?2 ? a?

当1 ?

a ? 2

?

a ?2 ? a?
a ?2 ? a?



于是 f ? x ? 在 ? ? 1, ?

? 上是增函数,在 ? ?

a ?2 ? ?a ?,

? 上是减函数,在

?

a ? 2 ? a ?, ??

? 上是增函数,
? x ? 定义域为 ? ? 1, ? ? ? ,

当a

? 1 时,函数 f

于是 f ? x ? 在 ? ? 1,1 ? 上为减函数,在 ? 1, ? ? ? 上为增函数,

当0

? a ? 1 时,函数 f

? x ? 定义域为 ? ? 1, ? a ?

? ? a , ? ? ? ,此时有 ? 1 ?
a ?2 ? a ?,?a

?

a ?2 ? a ? ? ?a


a ?2 ? a?

于是 f ? x ? 在 ? ? 1, ? 上是减函数,在 ? 当a
? 0

a ?2 ? a?

? 上是增函数,在 ? ? ? 上是增函数,

? 上是减函数,在 ? ? a ,

?

a ? 2 ? a ?, ??

时,函数 f ? x ? 定义域为 ? ? 1, ? a ?

??a, ?? ? ,

于是 f ? x ? 在 ? ? 1, ? a ? 上是增函数,在 ? ? a , ? ? ? 上是增函数. (2)由(1)知 f ? x ? 存在两个极值点时, a 的取值范围是 ? 0 ,1 ?
? ? x1 ? x 2 ? 0 ? ? x1 ? x 2 ? a ? a ? 2 ?

? 1, 2 ? ,

由(1)可知, ?



f

? x1 ? ?

f

? x2 ?

? ln ? 1 ? x 1 ? ?

2a x1 ? a

? ln ? 1 ? x 2

??

2a x2 ? a

? ln ? 1 ? x 1 ? x 2 ? x 1 ? x 2

??

2 a ? x1 ? x 2 ? 2 a ? x1 x 2 ? a ? x1 ? x 2

??

a

2

4a 2 2 2 ? ln ? ? a ? 1 ? ? ? ? ln ? ? a ? 1 ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? a ?a ? 2? ? a a ?1

2



不等式 f ? x1 ? ? 令a

f

? x2 ?

? 4

化为 ln ? ? a
?

2 2 ? 1? ? ? ? 2 ? 0 ? a ?1



? 1 ? t ? a ? ? 0 ,1 ?

? 1, 2 ? ? ,所以 t ? ? ? 1, 0 ?
? 2

? 0 ,1 ? ,

令 g ?t ? ?

ln ? t

2

??

2 t

, t ? ? ? 1, 0 ?
2 ln ? ? t ? ? 2 t

? 0 ,1 ? ,
? 2

当 t ? ? ? 1, 0 ? 时, g ? t ? ? 当 t ? ? 0 ,1 ? 时, g ? t ? ?

, ln ? ? t ? ?
1

0



2 t

? 0

,所以 g ? t ? ?

0

,不合题意;

2 ln t ?

2 t

? 2

, g '?t ?

? 2?

2 ? t ? 1? ? 1 ? ? 2??? 2 ? ? ? 0 2 t t ? t ?



所以 g ? t ? 在 ? 0 ,1 ? 上是减函数,所以 g ? t ? ? 综上,若 f ? x1 ? ? 22.解:(1)∵ ?
f

g ? 1 ? ? 2 ln 1 ?

2 1

? 2 ? 0

,适量题意,即 a ? ? 1, 2 ? .

? x2 ?

? 4

,此时正数 a 的取值范围是 ? 1, 2 ? .

? x ? ? cos ? ? y ? ? s in ?

,代入 y 2

? 4x

,∴ ?

s in ? ? 4 c o s ? ? 0

2

(2)不妨设点 A , B 对应的参数分别是 t 1 , t 2 , 把直线 l 的参数方程代入抛物线方程得: t 2 s in 2 ?
? 4 cos ? ? t ? 8 ? 0



4 cos ? ? t ? t2 ? 2 ? 1 s in ? ? ?8 ? ∴ ? t1 t 2 ? 2 s in ? ? ? ? ? 1 6 ? 1 6 s in 2 ? ? 0 ? ?

,则

A B ? t1 ? t 2 ?

1 6 ? 1 6 s in ? s in ?
2

2

? 4

6



∴ s in ?

?

2 2

,∴ ?

?

?
4

或?

?

3? 4

. ,∴ x ? ? ? 1, 3 ? .

23.解:(1)∵ f ? x ? (2)∵ m ∴

? ? 1 ? x ? 1 ? ? 3 ,∴ x ? 1 ? 2

? x ?1 ? m ? x ? 3 ? 0

的解集为 ? ? 2 , 4 ? ,

x ? 1 ? x ? 3 ? 2m





? 2 x ? 2, x ? 3 ? x ? 1 ? x ? 3 ? ? 4, ?1 ? x ? 3 ? ?2 ? 2 x, x ? ?1



∴当 m

? 3

时,解集为 ? 2 , 4 ? .