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高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式知识导航学案

最新中小学教案、试题、试卷 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 知识梳理 在三角恒等变换公式中, 余弦的差角公式是其他公式的基础, 由它出发, 用-β 代替 β 、 ? ±β 代替 β 、 α 代替 β 等换元法可以推导出其他公式.你能根据下表回顾推导过程吗? 2 知识导学 要学好本节内容,可复习已学过的其他知识,充分利用单位圆,分析其中有关几何元素 (角的终边及其夹角) 的关系, 为向量方法的运用做好准备.有意识地联想向量知识.向量的 数量积是解决距离与夹角问题的工具, 在两角差的余弦公式的推导中应如何能够体现它的作 用?探索过程的安排,应当先把握整体,然后逐步追求细节,在补充完善细节的过程中,需 要运用分类讨论思想, 突破两角差的余弦公式的推导这一难点后, 其他所有公式都可以通过 自己的独立探索而得出. 疑难突破 1.两角和与差的正弦公式是怎样推导的?两角和与差正切公式是怎样推导的? 剖析:用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化: ? -(α +β ) ] =cos [ ( 2 ? ? =cos( -α )cosβ +sin( -α )sinβ =sinα cosβ +cosα sinβ ; 2 2 sin(α +β )=cos [ ? 2 -α )-β ] sin(α -β )=sin[α +(-β )]=sinα cos(-β )+cosα sin(-β )=sinα cosβ -cosα sinβ ; tan(α +β )= sin(? ? ? ) sin ? cos ? ? cos? sin ? ? , cos(? ? ? ) cos? cos ? ? sin ? sin ? tan? ? tan ? . 1 ? tan? tan ? 分式分子、分母同时除以 cosα cosβ ,得到 tan(α +β )= 注意:α +β ≠ ? ? ? +kπ ,α ≠ +kπ ,β ≠ +kπ (k∈Z). 2 2 2 tan? ? tan(? ? ) tan? ? tan ? ? . 1 ? tan? tan??? ) 1 ? tan? tan ? tan(α -β )=tan[α +(-β ) ]= 注意:α -β ≠ ? ? ? +kπ ,α ≠ +kπ ,β ≠ +kπ (k∈Z). 2 2 2 对于两角和与差的公式的异同要进行对比与分析,便于理解记忆和应用. 最新中小学教案、试题、试卷 1 最新中小学教案、试题、试卷 (1)明确角、函数名和排列顺序以及公式中每一项的符号; (2)要牢记公式,并能熟练地进行左右互相转化; (3)和、差角公式可以看成是诱导公式的推广,诱导公式可以看成和、差角公式的特例. 2.三个基本的三角恒等变换. 剖析: (1)代换 这是一种常用的数学思想,特别是解三角题尤为突出,本部分主要代换是角的代换,常用的 有: α =(α +β )-β =β -(β -α )= 1 1 [(α +β )+(α -β )]= [(α +β )-(β -α )], 2 2 2α =(α +β )+(α -β )=(α +β )-(β -α ), 4α =2·2α ,α =2· ? 等. 2 1 11 ,cos(α +β )= ? ,则 cosβ =_____________. 7 14 这几种代换形式要灵活掌握,解题中经常用到. 如 α 、β 为锐角,cosα = 若展开 cos(α +β )进行运算,则烦琐难解,但若利用 β =(α +β )-α 代换,则解法简便, 大大降低了解题难度. (2)公式的逆向、多向变换 使用任何一个公式都要注意它的逆向、多向变换,这是灵活使用公式所必需的,特别是三角 函数公式. 如:计算 sin20°cos50°-sin70°cos40°,能逆用两角差的正弦化为: sin(20°-50°)=sin(-30°)=- 1 . 2 计算 tan15? 1 2 tan15? 1 3 . ? ? ? tan30? ? 2 2 4 1 ? tan 15? 2 1 ? tan 15? 2 以下几种变换要熟练掌握: tanα ±tanβ =tan(α ±β )(1 ? tanα tanβ ), 1 ? tanα tanβ = 2 tan? ? tan ? , tan( ? ? ?) 2 2 2 cos2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α , cos α = 2 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 ,sin α = . 2 2 (3)引入辅助角的变换 对于形如 asinα +bcosα (a,b 不同时为 0)的式子引入辅助角变为 Asin(α +φ )的形式,可 进行三角函数的化简,求周期最值等. 要熟记以下常用变换: sinα +cosα = 2 sin(α + ? ? ),sinα -cosα = 2 sin(α - ), 4 4 ? ? 3 sinα +cosα =2sin(α + ),sinα - 3 cosα =2sin(α - ). 6 3 最新中小学教案、试题、试卷 2

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