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2015年高考考前热身试卷文科数学(二)


【模拟二】

2015 年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自 己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. (1)已知集合 A ? {x || x |? 1} , B ? {x | x ? 0} ,则 A I B ? (A) ( ?1,0) (B) ( ?1,1) (C) (0, )

1 2

(D) (0,1)

(2)复数 z ? (1 ? i )2 的实部是 (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) ? 1

(3)已知向量 a , b 满足 a ? b ? 0 , | a |? 1 , | b |? 2 ,则 | a ? b |? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 5

(4)在长为 3 的线段上任取一点,则该点到两端点的距离均不小于 1 的概率为 (A)

1 3

(B)

2 3

(C)

4 9

(D)

5 9

(5)在△ ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 b sin A = 3 a cos B ,则 B ? (A)

? 6

(B) ?

4

(C)

? 3

(D)

? 2

(6)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中的 x 的值是 (A)2 (B) (C)
9 2 3 2
正视图

x

2

1

侧视图

1

(D)3
俯视图

文科数学试题

第 1 页(共 11 页)

(7)已函数 f ( x) ? ? (A) 2

2 ? ? x ? 2 x ? 2, x ? 0 ,若 f ( f (a)) ? 2 ,则 a ? 2 ? x , x ? 0 ? ?

(B) ? 2

(C) 0

(D) ?2

A 到平面 A1BC (8)在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC ? BC ? 2 , AA 1 ? 1 ,则点
的距离为 (A)

3 4

(B)

3 2

(C)

3 3 4

(D) 3

开始

(9)如图,程序输出的结果 S ? 132 ,则判断框中应填 (A) i ? 10 ? (B) i ? 11? (C) i ? 11? (D) i ? 12 ?

i=12,S=1 否 是

S=S*i
i=i-1

输出 S 结束

? x ? y ?1 ? (10)已知不等式组 ? x ? y ? ?1 所表示的平面区域为 D ,若直线 y ? kx ? 3 与平面区域 D ? y?0 ?
有公共点,则 k 的取值范围为是 (A) [?3,3] (C) ( ??, ?3] (B) ( ??, ? ]

1 3

1 [ , ?? ) 3

[3, ??)

(D) [ ? , ]

1 1 3 3

(11) 在直角坐标系 xOy 中, 设 P 是曲线 C :xy ? 1( x ? 0) 上任意一点,l 是曲线 C 在点 P 处的切线,且 l 交坐标轴于 A , B 两点,则以下结论正确的是 (A)△ OAB 的面积为定值 2 (C)△ OAB 的面积有最大值为 4 (B)△ OAB 的面积有最小值为 3 (D)△ OAB 的面积的取值范围是 [3, 4]

( 12 )已知定义在 R 上的可导函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x) ,若对于任意实数 x , 有

f ( x) ? f ? ( x),且 y ? f ( x ) ? 1 为奇函数,则不等式 f ( x) ? e x 的解集为
(A) (??,0) (B) (0, ??) (C) (??, e4 ) (D) (e4 , ??)

文科数学试题

第 2 页(共 11 页)

第Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 (13)已知 ? ? (0,

?
2

) , cos ? ?

4 ,则 sin(? ? ? ) ? 5



(14)抛物线 y 2 ? ?12 x 的准线与双曲线 等于 .

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线所围成的三角形的面积 9 3

(15)若函数 f ( x) ? 2sin(

x ? )( ?2 ? x ?14) 的图象与 x 轴交于点 A ,过点 A 的直线 l 8 4 uu u r uuu r uur C 两点, O 为坐标原点, 与函数 f ( x ) 的图象交于 B 、 则 (OB ? OC) ? OA ? .

?

?

(16)某社区诊所医生和护士共有 16 名,无论是否把某医务人员甲算在内,在这 16 名医务 人员中,下面说法都是正确的: ①护士多于医生; ②女医生多于女护士; ③女护士多于男护士; ④至少有一名男医生. 由此可判断,甲的性别与职业是 .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 在等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式. (Ⅱ)若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项,试求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

(18) (本小题满分 12 分)

ABCD 是等腰梯形, AB ? 2 , 如图,在四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,底面
BC ? CD ? 1 AB ∥ CD ,顶点 D1 在底面 ABCD 内的射影恰为点 C .
(Ⅰ)求证: AD1 ? BC ; (Ⅱ)在 AB 上是否存在点 M ,使得 A1 D1 C1 B1

C1M ∥平面 ADD1 A1 ?若存在,确定点 M
的位置;若不存在,请说明理由. A D C B

文科数学试题

第 3 页(共 11 页)

(19) (本小题满分 12 分) 丹东市为增强市民的环保意识, 面向全市征召宣传志愿者. 现从符合条件的志愿者中随 机抽取 100 名按年龄分组: 第 1 组 [20,25) , 第 2 组 [25,30) , 第 3 组 [30,35) , 第 4 组 [35,40) , 第 5 组 [40,45] ,得到的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽 取 6 名志愿者参加广场的宣传活动,应从第 3,4,5 组各抽取多少名志愿者? (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,决定在这 6 名志愿者 中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,求第 4 组至少 有一名志愿者被抽中的概率.
0. 07 0. 06 0. 05 0. 04 0. 03 0. 02 0. 01 O 20 25 30 35 40 45 年龄 频率/组距

(20) (本小题满分 12 分) 已知圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 的圆心是 C1 ,点 C2 (2,0) ,在圆 C1 上任取一点 P ,连接

C2 P ,线段 C2 P 的垂直平分线交直线 C1P 于点 M .
(Ⅰ)当点 P 在圆 C1 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)设轨迹 E 与 x 轴交于 A1、A2 两点,在轨迹 E 上任取一点 Q( x0 , y0 ) ( y0 ? 0) ,直 线 QA1 , QA2 分别交 y 轴于 D , E 两点,求证:以线段 DE 为直径的圆 C 过两个定点,并求出 定点坐标.

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ( a ? R, e 为自然对数的底数) .
x

(Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性;
x 2 (Ⅱ)若 a ? 1 ,函数 g ( x) ? ( x ? m) f ( x) ? e ? x ? x 在 x ? (2,??) 上为增函数,求

实数 m 的取值范围.

文科数学试题

第 4 页(共 11 页)

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做 答时请写清题号. (22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 PE 切⊙ O 于点 E ,割线 PBA 交⊙ O 于 A 、 B 两点, ? APE 的平分线和

AE , BE 分别交于点 C , D .求证:
(Ⅰ) CE ? DE ; C ?O A

E D B P

CA PE ? (Ⅱ) . CE PB

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 3 cos? , ( ? 为参数) , 以原点 O 为 ? y ? sin ?

极点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? sin(? ? (Ⅰ)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C 2 的直角坐标方程; (Ⅱ)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C 2 上点的距离的最小值.

?
4

) ? 4 2.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ?a . (Ⅰ)若关于 x 不等式 f ( x) ? 6 的解集是 {x | ?2 ? x ? 3} ,求实数 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)条件下,若存在实数 n ,使 f (n) ? m ? f (?n) 成立,求实数 m 的取值 范围.

文科数学试题

第 5 页(共 11 页)

考进入考场前,一定要“练就一个好的状态,找到一种好的感觉”!

2015 年普通高等学校招生全国统一考试【模拟二】

数学(文科)试题参考答案与评分参考
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答末改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。 一、选择题: (1)D (7)A 二、填空题 (13) (2)C (8)B (3)D (9)B (4)A (10)C (5)C (11)A (6)D (12)B

3 5

(14) 3 3

(15) 72

(16)男护士

【详解】 (1)解: A I B ? {x | 0 ? x ? 1} . (2)解: z ? (1 ? i) ? 2i ,实部是 0 .
2

(3)解: | a ? b |? a2 ? 2a ? b ? b 2 ? 5 . (4)解:设“长为 3 的线段 PQ”对应区间 [0,3] , 事件“与线段两端点 P,Q 的距离均不小于 1”A 对应区间 [1, 2] ,因此 P ?

1 . 3

(5)解:根据正弦定理, sin B sin A = 3 sin A cos B ,所以 tan B ? 3 , B ? (6)解:从俯视图的右上点拽起来, 得到一个四棱锥 P ? ABCD ,其中 PA ? 平面 ABCD , 底面 ABCD 是直角梯形, BC ? AB , BC // AD , 体积 ?

?

3



1 1 1 1 ( BC ? AD) AB ? PA ? ? (1 ? 2) ? 2 ? x ? x , 3 2 3 2

因此 x ? 3 . (7)解:令 f ( x) ? 2 ,得 ? 解得 x ? 0 或 x ? ?2 ,
文科数学试题 第 6 页(共 11 页)

?x ? 0 ?x ? 2x ? 2 ? 2
2

或?

?x ? 0
2 , ?? x ? 2

由 f ( x) ? 0 ,得 ?

?x ? 0 ?x ? 2x ? 2 ? 0
2

或?

?x ? 0
2 ?? x ? 0

,无解;

再由 f ( x) ? ?2 ,得 ?

?x ? 0 ? x ? 2 x ? 2 ? ?2
2

或?

?x ? 0
2 ? ? x ? ?2

,解得 x ?

2.

(8)解:因为 BC ? 1 , A ? 5 ,所以 S?A1BC ? 2 , S?ABC ? 3 , 1B ? AC 1

d ,由 VA? A1BC ? VA1 ? ABC 得 2 ? d ? 设点 A 到平面 A 1BC 的距离为

1 3

1 3 3 ?1 , d ? . 3 2

( 9 )解:由 题 意 , S 表 示 从 12 开 始 的 逐 渐 减 小 的 若 干 个 整 数 的 乘 积 , 由 于 12×11=132 , 故 此 循 环 体 需 要 执 行 两 次 所 以 每 次 执 行 后 i 的 值 依 次 为 11 , 10 , 由 于 i 的 值 为 10 时 , 就 应 该 退 出 循 环 , 再 考 察 四 个 选 项 , B 符 合 题 意 . (10)解:画平面区域,得△ ABC , 经过 D(0, ?3) 的直线 l : y ? kx ? 3 , 当 l 经过 A(?1, 0) 时, k ? ?3 , 当 l 经过 B(1, 0) 时, k ? 3 , 当 l 经过 C (0,1) 时, k 不存在, 因此 k ? (??, ?3] [3, ??) . (11)解:曲线 C : y ?

1 1 1 ( x ? 0) ,设 P( x0 , )( x0 ? 0) , y? ? ? 2 , x x x0

所以 l 的方程是 y ?

1 1 x 2 ? ? 2 ( x ? x0 ) ,即 y ? ? 2 ? , x0 x0 x0 x0

所以 A(0,

1 2 2 ) , B(2x0 ,0) ,△ OAB 面积 S ? ? ? 2 x0 ? 2 . 2 x0 x0
f ( x) f ?( x) ? f ( x) ? 0 , h( x) 在 R 单调递减, ,则 h?( x) ? x e ex

(12)解:设 h( x ) ?

因为 y ? f ( x ) ? 1 为奇函数,所以 0 ? f (0) ? 1 , f (0) ? 1 , h(0) ? 1 不等式 f ( x) ? e 等价于
x

f ( x) ? 1 ,即 h( x) ? h(0) ,因此 x ? 0 . ex 3 3 4 ,所以 sin ? ? ,因此 sin(? ? ? ) ? sin ? ? . 5 5 5

(13)解:因为 ? ? (0,

?
2

) , cos ? ?

(14)解:抛物线准线是 x ? 3 与双曲线两条渐近线是 y ? ? 的正三角形,面积是 S ?

3 x 所围成的三角形是高为 3 3

1 ? 2 3 ?3 ? 3 3 . 2

(15)解:因为 ?2 ? x ? 14 ,所以 f ( x ) ? 0 的解为 x ? 6 ,即 A(6,0) ,
文科数学试题 第 7 页(共 11 页)

而 A(6,0) 恰为函数 f ( x ) 图像的一个对称中心,所以 B , C 关于 A 对称, 所以 (OB ? OC) ? OA ? 2OA ? OA ? 2 | OA |2 ? 2 ? 36 ? 72 . (16)解:因为总数 16 是偶数,①护士多于医生,则护士比医生至少多 2 人, ②③④都与男护士无关,因此甲的性别与职业是男护士. 三、解答题 (17)解 : (Ⅰ)因为 {an } 为等比数列,所以 所以 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n .

uu u r uuu r uur

uur uur

uur

a4 3 =q ? 8; 所以 q ? 2 a1
????6 分

(Ⅱ)因为 b3 ? a3 ? 23 ? 8 , b5 ? a5 ? 25 ? 32 ,又因为 {bn } 为等差数列 所以 b5 ? b3 ? 24 ? 2d ,所以 d ? 12 , a1 ? a3 ? 2d ? ?16 , 所以 Sn ? ?16n ?

n( n ? 1) ? 12 ? 6n 2 ? 22n . 2

????12 分

(18)解: (Ⅰ)证明:连接 D1C ,则 D1C ? 平面 ABCD , 所以 D1C ? BC ,在等腰梯形 ABCD 中,连接 AC , 因为 AB ? 2 , BC ? CD ? 1 , AB ∥ CD , 所以 BC ? AC ,所以 BC ? 平面 AD1C ,所以 AD1 ? BC . (Ⅱ)设 M 是 AB 上的点,因为 AB ∥ CD 所以 AM ∥ D1C1 , 因经过 AM 、 D1C1 的平面与平面 ADD1 A1 相交与 AD1 , 要使 C1M ∥平面 ADD1 A1 ,则 C1M ∥ AD1 ,即四边形 AD1C1M 为平行四边形, 此时 D1C1 ? DC ? AM ? ????6 分

1 AB ,即点 M 为 AB 的中点., 2

所以在 AB 上存在点 M ,使得 C1M ∥平面 ADD1 A1 , 此时点 M 为 AB 的中点. (19)解 : (Ⅰ)第 3 组的人数为 0.3× 100=30, 第 4 组的人数为 0.2× 100=20, 第 5 组的人数为 0.1× 100=10. 因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者,所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者,每组抽取的人数分别为: 第 3 组:
30 20 10 × 6=3;第 4 组: × 6=2;第 5 组: × 6=1; 60 60 60

??12 分

即应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人.

????6 分

(Ⅱ)记第 3 组的 3 名志愿者为 A1 , A2 , A3 ,第 4 组的 2 名志愿者为 B1 , B2 ,第 5 组的 1 名志愿者为 C1 .则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有:
文科数学试题 第 8 页(共 11 页)

( A1 , A2 ) , ( A1 , A3 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A1 , C1 ) , ( A2 , A3 ) , ( A2 B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A2 , C1 ) , ( A3 , B1 ) , A3 , B2 ) , ( A3 , C1 ) , ( B1 , B2 ) , ( B1 , C1 ) , ( B2 , C1 ) ,共有 15 种. 其中第 4 组的 2 名志愿者 B1 , B2 至少有一名志愿者被抽中的有: ( A1 ,B1 ) , ( A1 ,B2 ) , ( A2 B1 ) , ( A2 ,B2 ) , ( A3 ,B1 ) , ( A3 ,B2 ) , ( B1 ,B2 ) , ( B1 , C1 ) , ( B2 , C1 ) ,共有 9 种,………10 分 所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 (20)解: (Ⅰ)根据题意 MC1 ? MC2 ? ?2 , 因为 2 ? 4 ,所以 M 点轨迹是以 C1、C2 为焦点的双曲线,
2 所以 2a ? 2, 2c ? 4 ,所以点 M 的轨迹 E 的方程是 x ?

9 3 ? . 15 5

????12 分 ????2 分 ????4 分

y2 ? 1;????6 分 3

y0 ? ?QA1 : y ? x ? 1 ( x ? 1) ? 0 (Ⅱ)因为 A , 1 (?1,0)、A 2 (1,0) ,所以 ? y 0 ?QA : y ? ( x ? 1) 2 ? x0 ? 1 ?
所以 D(0,

y0 ? y0 ) , E (0, ), x0 ? 1 x0 ? 1

????8 分

所以 DE 中点 (0,

? y0 x0 ? 1
2

) , | DE |?

2 x0 y 0 x0 ? 1
2



所以以 DE 为直径的圆 C 方程 x ? ( y ?
2

) ? , 2 2 x0 ? 1 ( x0 ? 1) 2
2

y0

x0 y 0

2

2

因为 x0 ?
2

y0 2 3 3 ? 1 ,所以圆 C 方程的是 x 2 ? ( y ? )2 ? ( )2 ? 3 ,???10 分 3 y0 y0
????12 分

当 y ? 0 时, x ? ? 3 ,圆 C 过两个定点定点为 (? 3,0) . 注:第(Ⅰ)问分析时,我画的参考图:

文科数学试题

第 9 页(共 11 页)

(21)解:(Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 x ? R , f ?( x) ? e x ? a , 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 R 上为增函数; 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ln a , 则:当 x ? ( ??,ln a ) 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 (??, ln a) 上为减函数, 当 x ? (ln a, ??) 时, f ?( x) ? 0 , 所以函数 f ( x) 在 (ln a, ??) 上为增函数. (Ⅱ)当 a ? 1 时, g ( x) ? ( x ? m)(e x ? x) ? e x ? x 2 ? x , 因为 g ( x) 在 x ? (0,??) 上为增函数, ?????6 分

? g?( x) ? xe x ? me x ? m ? 1 ? 0 在 x ? (2,??) 恒成立,
xe x ? 1 即m ? x 在 x ? (2,??) 恒成立, e ?1
xe x ? 1 令 h( x ) ? x , x ? (2,??) , e ?1

(e x )2 ? xe x ? 2e x e x (e x ? x ? 2) , h?( x ) ? ? (e x ? 1)2 (e x ? 1)2
令 L( x) ? e x ? x ? 2 , L?( x) ? e x ? 1 ? 0 在 x ? (2,??) 恒成立, 即 L( x) ? e ? x ? 2 在 x ? (2,??) 单调递增,
x

即 L( x) ? L(2) ? e ? 4 ? 0 ,? h?( x) ? 0
2

xe x ? 1 即 h( x ) ? x 在 x ? (2,??) 单调递增, e ?1 2e 2 ? 1 2e 2 ? 1 h( x) ? h(2) ? 2 ,所以 m ? 2 . e ?1 e ?1
(22)证明:(Ⅰ) PE 切⊙ O 于点 E ,??A ? ?BEP , 因为 PC 平分 ?APE ,??A ? ?CPA ? ?BEP ? ?DPE ,
?ECD ? ?A ? ?CPA , ?EDC ? ?BEP ? ?DPE , ??ECD ? ?EDC ,? EC ? ED . (Ⅱ) ?PDB ? ?EDC , ?EDC ? ?ECD , ?PDB ? ?PCE , PE PC ??BPD ? ?EPC ,??PBD ∽ ?PEC ,? , ? PB PD PC CA PE CA 同理 ?PDE ∽ ?PCA ,? ,? , ? ? PD DE PB DE CA PE . DE ? CE , ? ? CE PB

?????12 分

????5 分

????10 分

x ? x ? 3 cos? ? ? cos? ? (23)解:(Ⅰ)由曲线 C1 : ? 得? 3 , ? y ? sin ? ? y ? sin ? ?
文科数学试题 第 10 页(共 11 页)

x2 ? y2 ? 1, 3 2 ? ? (sin ? ? cos? ) ? 4 2 , 由曲线 C 2 : ? sin(? ? ) ? 4 2 得: 4 2 即:曲线 C 2 的直角坐标方程为: x ? y ? 8 ? 0 . ????5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆 C1 与直线 C 2 无公共点,
即:曲线 C1 的普通方程为: 椭圆上的点 P( 3 cos? , sin ? ) 到直线 x ? y ? 8 ? 0 的距离为

, ? 2 2 ? 所以当 sin(? ? ) ? 1 时, d 的最小值为 3 2 . ????10 分 3 24.解: (Ⅰ)由 2 x ? a ? a ? 6 得 2 x ? a ? 6 ? a , 所以 a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? a ,即 a ? 3 ? x ? 3 , 所以 a ? 3 ? ?2 ,所以 a ? 1 . ????5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? x ? ? 2x ?1 ? 1 ,令 ? ? n ? ? f ? n ? ? f ? ?n ? ,

d?

3 cos? ? sin ? ? 8

2 sin(? ?

?
3

) ?8

1 ? 2 ? 4 n , n ? ? ? 2 ? 1 1 ? ? ?n? , 则, ? ? n ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 ? ?4, 2 2 ? 1 ? n? ?2 ? 4n, 2 ? 所以 ? ? n ? 的最小值为 4,故实数 m 的取值范围是 ? 4, ?? ? .

????10 分

文科数学试题

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