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三余弦定理与三正弦定理


1. 设 A 为面上一点,过 A 的直线 AO 在面上的射影为 AB,AC 为面上的一条 直线,那么∠OAC,∠BAC,∠OAB 三角的余弦关系为: cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB (cos∠BAC 和 cos∠OAB 只能是锐角) 通俗点说就是, 斜线与平面内一条直线夹角 ? 的余弦值 =斜线与平面所成角 ? 1 的余弦值 ? 射影与平面内直线夹角的 余弦值.

三余弦定理(又叫最小角定理或爪子定理)
定理证明:如上图,自点 O 作 OB⊥AB 于点 B,过 B 作 BC⊥AC 于 C,连 OC, 则易知△ABC、△AOC、△ABO 均为直角三角 形. cos ? 1 ?
AB OA , cos ? 2 ? AC AB , cos ? ? AC OA

? cos ? ? cos ? 1 ? cos ? 2
辅助记忆:这三个角中,角 ? 是最大的,其余弦值最小,等于另外两个角的余弦值之 积。斜线与平面所成角 ? 1 是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角。

2.设二面角 M-AB-N 的度数为 ? ,在平面 M 上有一条射线 AC,它和棱 AB 所成角为 ? ,和平面 N 所成的角为 ? ,则 sin ? =sin ? ·sin ? (如图)
?

三正弦定理
定理证明:如上图,过 C 作 CO⊥平面 N 于点 O,过 O 作直线 OB⊥二面角的棱 于点 B,连 OA,CB,则易知△CAO,△CBO,△ABC 均为直角三角形. 于是,sin=
CO AC

,sin=

CO BC

,sin ? =

BC AC

?

sin ? =sin ? ·sin ?

如果将三余弦定理和三正弦定理联合起来使用,用于解答立体几何综合题, 你会发现出乎意料地简单,甚至不用作任何辅助线!

例1

如图, 已知 A1B1C1-ABC 是正三棱柱, 是 AC 中点, AB1⊥BC1, D 若 求以 BC1 为棱, DBC1 与 CBC1 为面的二面角 α 的度数.(1994 年全 国高考理科数学 23 题)

例 2 已知 Rt△ABC 的两直角边 AC=2,BC=3.P 为斜边 AB 上一点,现沿 CP 将此直角三 角形折成直二面角 A-CP-B(如下图) ,当 AB=√7 时,求二面角 P-AC-B 大小.(上海 市 1986 年高考试题,难度系数 0.28)

例 3.已知菱形 ABCD 的边长为 1,∠BAD=60° ,现沿对角线 BD 将此菱形折成直二面角 A-BD-C(如图 6).( 1)求异面直线 AC 与 BD 所成的角;( 2)求二面角 A-CD-B 的大小.


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