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2018_2019学年高中数学第三章推理与证明3综合法与分析法课件北师大版选修1_2_图文

第三章 推理与证明

§3 综合法与分析法

学习目标
1.理解综合法、分析法的意义,掌握综合法、分析法的思维特点.
2.会用综合法、分析法解决问题.

内容索引

问题导学

题型探究
达标检测

问题导学

知识点一

综合法

思考 阅读下列证明过程,总结此证明方法有何特点?

已知a,b>0,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
证明:因为b2+c2≥2bc,a>0,所以a(b2+c2)≥2abc.

又因为c2+a2≥2ac,b>0,所以b(c2+a2)≥2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc. 答案 利用已知条件a>0,b>0和重要不等式,最后推导出所要证明的结

论.

梳理 综合法的定义及特点
(1)定义:从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通

过 演绎推理 ,一步一步地接近要证明的 结论 ,直到完成命题的证明,
我们把这样的思维方法称为综合法.

(2)思路:综合法的基本思路是“由因导果”.
(3)模式:综合法可以用以下的框图表示
P?Q1 → Q1?Q2 → Q2?Q3 →…→ Qn?Q

其中P为条件,Q为结论.

知识点二

分析法

思考 阅读证明基本不等式的过程,试分析证明过程有何特点? a+b 已知 a,b>0,求证: 2 ≥ ab. a +b 证明:要证 2 ≥ ab,
只需证 a+b≥2 ab, 只需证 a+b-2 ab≥0, 只需证( a- b)2≥0, 因为( a- b)2≥0 显然成立,所以原不等式成立.

答案

从结论出发开始证明,寻找使证明结论成立的充分条件,最终把

要证明的结论变成一个明显成立的条件.

梳理 分析法的定义及特征 (1)定义:从求证的 结论 出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的

条件 充分条件 , 直 到 归 结 为 这 个 命 题的
__________________ 等.我们把这样的思维方法称为分析法. (2)思路:分析法的基本思路是“执果索因”.

定义、公理、定理 ,或者归结为

(3) 模式:若用 Q 表示要证明的结论,则分析法可以用如下的框图来表 Q?P1 → P1?P2 → P2?P3 →…→ 得到一个明显成立的条件 示:

[思考辨析 判断正误] 1.综合法是执果索因的逆推证法.( × ) 2.分析法就是从结论推向已知.( × ) 3.分析法与综合法证明同一问题时,一般思路恰好相反,过程相逆.( √ )

题型探究

类型一 用综合法证明不等式
例1 已知a,b,c∈R,且它们互不相等,求证:a4+b4+c4>a2b2+

b2c2+c2a2. 证明 ∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,a4+c4≥2a2c2,

∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),
即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.

又∵a,b,c互不相等,
∴a4+b4+c4>a2b2+b2c2+c2a2.

证明

反思与感悟 综合法证明问题的步骤:

跟踪训练1 已知a,b,c为不全相等的正实数,
b+c-a c+a-b a+b-c 求证: a + b + >3. c

证明

类型二 分析法的应用
2 例 2 设 a,b 为实数,求证: a +b ≥ 2 (a+b). 证明 当 a+b≤0 时,∵ a2+b2≥0,
2 2

2 ∴ a +b ≥ 2 (a+b)成立. 当a+b>0时,用分析法证明如下:
2 2
? 2 ? 2 ?2 要证 a2+b2≥ 2 (a+b),只需证( a2+b2)2≥? ? a + b ? ? ? , 2 ? ? 1 2 2 2 2 即证 a +b ≥2(a +b +2ab),即证 a2+b2≥2ab.

∵a2+b2≥2ab对一切实数恒成立,
2 ∴ a +b ≥ 2 (a+b)成立.综上所述,不等式得证.
2 2

证明

反思与感悟

分析法格式与综合法正好相反,它是从要求证的结论出发,

倒着分析,由未知想需知,由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过
的定义、定理、公理、公式、法则等 ).这种证明的方法关键在于需保证

分析过程的每一步都是可以逆推的.它的常见书写表达式是“要证……只
需……”或“?”.

跟踪训练 2

设 a>b>0,求证: a -b + ab-b > a( a- b).
2 2 2

证明 因为a>b>0,所以a2>ab>b2,所以a2-ab>0.
要证 a2-b2+ ab-b2> a( a- b),

a -ab a -ab 只需证 2 , 2 2 2> a + ab a -b - ab-b
2 2

只需证 a2-b2- ab-b2< a2+ ab.

又 a2-b2< a2+ ab+ ab-b2显然成立,
所以 a -b + ab-b > a( a- b)成立.
2 2 2

证明

类型三 分析法与综合法的综合应用 例3 △ABC的三个内角 A,B,C成等差数列,其对边分别为 a,b,c.

求证:(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.

证明

引申探究 a+b c 本例改为求证 > . 1+a+b 1+c
证明 a+b c 要证 > , 1+a+b 1+c

只需证a+b+(a+b)c>(1+a+b)c, 即证a+b>c. 而a+b>c显然成立,
a+b c 所以 > . 1+a+b 1+c
证明

反思与感悟

综合法由因导果,分析法执果索因,因此在实际解题时,

常常把分析法和综合法结合起来使用,即先利用分析法寻找解题思路,
再利用综合法有条理地表述解答过程.

跟踪训练3 已知a,b,c是不全相等的正数,且0<x<1.
a+b b+c a+c 求证:logx 2 +logx 2 +logx 2 <logxa+logxb+logxc.

证明

达标检测

1.命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的证明过程为:“cos4θ

-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ”,其应用


A.分析法 √
B.综合法

C.综合法、分析法综合使用
D. 类比法 解析 在证明过程中使用了平方差公式,以及同角的三角函数的关系 式,符合综合法的定义,故证明过程使用了综合法.

1

2

3

4

5

解析

答案

2.要证 2- 3< 6- 7成立,只需证 A.( 2- 3)2<( 6- 7)2 B.( 2- 6) <( 3- 7)
2 2



C.( 2+ 7)2<( 3+ 6)2 D.( 2- 3- 6)2<(- 7)2

解析 根据不等式性质,当a>b>0时,才有a2>b2,
∴只需证 2+ 7< 6+ 3,即证( 2+ 7)2<( 3+ 6)2.

1

2

3

4

5

解析

答案

1 3.设 0<x<1,则 a= 2x,b=x+1,c= 中最大的是 1-x

A.a C.c √
解析

B.b D.随x取值不同而不同
∵0<x<1,∴b=x+1>2 x> 2x=a,

2 1 - ? 1 - x ? 1 x2 ∵ -(x+1)= = >0, 1-x 1-x 1-x

∴c>b>a.

1

2

3

4

5

解析

答案

a?2x+1?-2 1 4.已知f(x)= (x∈R)是奇函数,那么实数a的值为__. x 2 +1
解析 a?2x+1?-2 ∵f(x)= (x∈R)是奇函数, x 2 +1
-x

a?2 +1?-2 a?2 +1?-2 ∴f(-x)+f(x)= + =0, x -x 2 +1 2 +1
x

∴a=1.

1

2

3

4

5

解析

答案

5.已知 a,b,c 都为正实数,求证:

a +b +c a+b+c ≥ . 3 3
2 2 2

1

2

3

4

5

证明

规律与方法
1.综合法证题是从条件出发,由因导果;分析法是从结论出发,执果索
因.

2.分析法证题时,一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”
等词语.

3.在解题时,往往把综合法和分析法结合起来使用.

本课结束


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