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2011年湖北省高考数学试题(文科)(完整版)


2011 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学试题(文史类) 本试题卷共 4 页,三大题 21 小题。全卷满分 150 分,考试用时 120 分钟。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 ? 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , A ? 1 , 3 , 5 , 7 , B ? 2 , 4 , 5 , 1.已知 U 则? ? B ? ? ? ? ? ? ?? U ?A A.

? 6 , 8?

B. ? 5 , 7 ?

C. ? 4, 6, 7? A. ?

1 ,3,5,6,8 D. ? ?

? 1 , 2 , b ? 1 , ? 1 2.若向量 a ,则 2a+b 与 a ? b 的夹角等于 ? ? ? ?

? ? ? 3? B. C. D. 4 6 4 4 x 3.若定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 和奇函数 g ( x ) 满足 f(x )?gx ( )? e ,则 g ( x ) = ?x ?x ?x 1 1 ?x 1 A. e x ? e B. ( e x ? e ) C. ( e ? e x ) D. ( e x ? e ) 2 2 2 2 4. 将两个顶点在抛物线 y ?2 另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 n , p x (p?0 )上, 则 A. n ? 0 B. n ? 1 C. n ? 2 D.n ? 3 5.有一个容量为 200 的样本,其频率分布直方图如 图所 示,根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在 区间 ? ?1 0 ,1 2 ? 内的频数为
A.18 B.36 C.54 D.72 6.已知函数 f ,若 f ( x) ? 1 , () x?3 s i n x ? c o s, x x ? R 的取值范围为 ?x ? x ? ? ? ? A. ? x |2 k ? ?? ? 2 k ? ? ? , k ? Z xk |? ? ? ? k ? ? ? , k ? Z ? B. ? ? 3 3 ? ? ? ? ?x2 5 ?k ?x 5 ?k ? ? ? ? C. ? x |2 k ? ? ?? k ? ? , ? Z xk |? ? ? ? k ? ? , ? Z ? D. ? ? 6 6 6 6 ? ? ? ? 7.设球的体积为 V 1 ,它的内接正方体的体积为 V 2 ,下列说法中最合适的是 A. V 1 比 V 2 大约多一半 C. V 1 比 V 2 大约多一倍 B. V 1 比 V 2 大约多两倍半 D. V 1 比 V 2 大约多一倍半

则 x

?x ? 0 ?y ? 0 ? x ? y ? 1 0 ? 0 8.直线 2 与不等式组 ? 表示的平面区域的公共点有 x ? y ? ? 2 ? ? ?4x ? 3y ? 20 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数个 9. 《九章算术》 “竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为

A.1 升

B.

6 7 升 6 6

C.

4 7 升 4 4

D.

3 7 升 3 3

2 2 10.若实数 a,b 满足 a ?0 ( a , b )? a ? b ? a ? b ,那么 ,b?0,且 ab ? 0 ,则称 a 与 b 互补,记 ? ?(a,b) ?0是 a 与 b 互补的 A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上, 一题两空的题,其答案按先后次序填写,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 11. 某市有大型超市 200 家、 中型超市 400 家、 小型超市 1400 家。 为掌握各类超市的营业情况, 现按分层抽样方法抽取一个容量为 100 的样本,应抽取中型超市__________家。

1 ? ? 15 12. ? x ? (结果用数值表示) ? 的展开式中含 x 的项的系数为__________。 3 x ? ? 13.在 30 瓶饮料中,有 3 瓶已过了保质期,从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶,则至少取到 1 瓶已过 保质期饮料的概率为__________。 (结果用最简分数表示) 2 2 14.过点(—1,—2)的直线 l 被圆 x 截得的弦长为 2 ,则直线 l 的斜率为 ? y ? 2 x ? 2 y ?? 10 __________。 15.里氏震级 M 的计算公式为:M ? lg A ? lg A0 ,其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,

18

A0 是相应的标准地震的振幅。假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是 1000,此时标准地 震的振幅为 0.001,则此次地震的震级为 级;9 级地震的最大振幅是 5 级地震最 大振幅的 倍。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 1 设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a? 1 ,b?2 ,c o sC? 4 (I) 求 ?ABC 的周长; (II)求 cos(A?C) 的值。

17. (本小题满分 12 分) 成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列 ? b n ? 中的 b 3 、 b 4 、 b 5 。 (I) 求数列 ? b n ? 的通项公式;
5? ? (II) 数列 ? b n ? 的前 n 项和为 S n ,求证:数列 ? S n ? ? 是等比数列。 4? ?

18. (本小题满分 12 分) 如图,已知正三棱柱 A B C - A 1 B 1 C 1 的底面边长为 2,侧棱





3 2 ,点 E 在侧棱 A A1 上,点 F 在侧棱 B B 1 上,且

AE ? 2 2 , BF ? 2 . (I) 求证: CF ? C1E ;

(II) 求二面角 E?C F?C 1 的大小。

19. (本小题满分 12 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流 速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆 /千米)的函数,当桥上的车流密度达到 200 辆 /千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆 /千米时,车流速度 为 60 千米/小时,研究表明:当 2 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数。 0 ? x ? 2 0 0 (I)当 0 时,求函数 v(x)的表达式; ? x? 2 0 0 (II)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小 时) f(x (精确到 1 辆/小时) 。 )?x ?vx ( )可以达到最大,并求出最大值。

20. (本小题满分 13 分) 3 2 2 设函数 f , , 其中 x ? R , a、 b 为常数, 已知曲线 y ? f ( x) () x? x ? 2 a x ? b x ? a gx ( )? x ? 3 x ? 2 与 y ? g ( x) 在点(2,0)处有相同的切线 l。 (I) 求 a、b 的值,并写出切线 l 的方程; ( II )若方程 f( 有三个互不相同的实根 0 、 x 1 、 x 2 ,其中 x 1 ? x 2 ,且对任意的 x ) ? gx () ? m x

x??x 恒成立,求实数 m 的取值范围。 () x ? g () x ? m ( x ? 1 ) 1, x 2 ?, f

21. (本小题满分 14 分) 平面内与两定点 A 1 ? ?a,0? 、 A2 ? a , 0 ? ( a ? 0 )连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹, 加 A2 上

A

1



A
两点所成的曲线 C 可以是圆、椭圆或双曲线。 (Ⅰ)求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 值的关系; (Ⅱ)当 m ? ?1 时,对应的曲线为 C1 ;对给定的 m ? (?1,0) ? (0,??) ,对应的曲线为 C2 ,设 F1 、

F2 是 C2 的两个焦点。试问:在 C1 上,是否存在点 N ,使得△ F1 N F2 的面积 S ?| m | a2 。若存在,

求 tan F1 N F2 的值;若不存在,请说明理由。


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