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高中概率知识点、考点、易错点归纳


高中数学第十一章-概率知识要点
3.1.随机事件的概率
3.1.1 随机事件的概率 1、必然事件:一般地,把在条件 S 下,一定会发生的事件叫做相对于条件 S 的必然事件。 2、不可能事件:把在条件 S 下,一定不会发生的事件叫做相对于条件 S 的不可能事件。 3、确定事件:必然事件和不可能事件统称相对于条件 S 的确定事件。 4、随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件。 5、频数:在相同条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数。 6、频率:事件 A 出现的比例

f

n

( A)= n A 。 n

7、概率:随机事件 A 的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值. 3.1.2 概率的意义 1、概率的正确解释:随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机性中含有规律性。 认识了这种随机中的规律性,可以比较准确地预测随机事件发生的可能性。 2、游戏的公平性:抽签的公平性。 3、决策中的概率思想:从多个可选答案中挑选出正确答案的决策任务,那么“使得样本出 现的可能性最大”可以作为决策的准则。 ——极大似然法、小概率事件 4、天气预报的概率解释:明天本地降水概率为 70%解释是“明天本地下雨的机会是 70%” 。 5、试验与发现:孟德尔的豌豆试验。 6、遗传机理中的统计规律。 3.1.3 概率的基本性质 1、事件的关系与运算 (1)包含。对于事件 A 与事件 B,如果事件 A 发生,则事件 B 一定发生,称事件 B 包含 事件 A(或事件 A 包含于事件 B) ,记作 B ? A(或A ? B)。 不可能事件记作 ? 。 (2)相等。若 B ? A且A ? B ,则称事件 A 与事件 B 相等,记作 A=B。 (3) 事件 A 与事件 B 的并事件 (和事件) : 某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生。 (4) 事件 A 与事件 B 的交事件 (积事件) : 某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生。 (5)事件 A 与事件 B 互斥: A ? B 为不可能事件,即 A ? B=? ,即事件 A 与事件 B 在任 何一次试验中并不会同时发生。 (6)事件 A 与事件 B 互为对立事件: A ? B 为不可能事件, A ? B 为必然事件,即事件 A 与事件 B 在任何一次试验中有且仅有一个发生。

1

2、概率的几个基本性质 (1) 0 ? P( A) ? 1. (2)必然事件的概率为 1. P( E ) ? 1 . (3)不可能事件的概率为 0. P( F ) ? 0 . (4)事件 A 与事件 B 互斥时,P(A ? B)=P(A)+P(B)——概率的加法公式。 (5)若事件 B 与事件 A 互为对立事件, ,则 A ? B 为必然事件, P( A ? B) ? 1 .

3.2 古典概型
3.2.1 古典概型 1、基本事件: 基本事件的特点: (1)任何两个事件是互斥的; (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本时间的和。 2、古典概型: (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (2)每个基本事件出现的可能性相等。 具有这两个特点的概率模型称为古典概型。 3、公式: P( A)=

A包含的基本事件的个数 基本事件的总数

3.2.2 (整数值)随机数的产生 如何用计算器产生指定的两个整数之间的取整数值的随机数?——书上例题。

3.3 几何概型
3.3.1 几何概型 1、几何概型:每个事件发生的概率只有与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例的 概率模型。 2、几何概型中,事件 A 发生的概率计算公式:

P( A) ?

构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

3.3.2 均匀随机数的产生 常用的是 ? 0,1? 上的均匀随机数,可以用计算器来产生 0~1 之间的均匀随机数。

本章知识小结

2

随机事件

频率

概率,概率的意 义与性质

古典概型

几何概型

应 用 概 率 解 决 实 际 问 题

随机数与随机模拟

(1)在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,进一步了解概率的意 义以及频率与概率的区别。 (2)通过实例,了解两个互斥事件的概率加法公式。 (3)通过实例,理解古典概型及其概率计算公式,会用列举法计算一些随机事件所含的基 本事件数及事件发生的概率。 (4)了解随机数的意义,能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计概率, 初步体会几何概型的意义(参见例 3) 。 (5)通过阅读材料,了解人类认识随机现象的过程。

重难点的归纳:
重点: 1、了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,正确理解概率的意义. 2、理解古典概型及其概率计算公式. 3、关于几何概型的概率计算 4、体会随机模拟中的统计思想:用样本估计总体. 难点: 1、理解频率与概率的关系. 2、设计和运用模拟方法近似计算概率. 3、把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题.

3

(二)高考概率
概率考试内容:随机事件的概率.等可能性事件的概率.互斥事件有一个发生的概率.相互 独立事件同时发生的概率.独立重复试验. 考试要求: (1)了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义. (2)了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的 概率。 (3)了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件 的概率乘法公式计算一些事件的概率. (4)会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 κ 次的概率. 以下归纳 9 个常见考点: 解析概率与统计试题是高考的必考内容。 它是以实际应用问题为载体, 以排列组合和概率 统 计等知识为工具,以考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算和随机变量概率分 布 列性质及其应用为目标的中档师,预计这也是今后高考概率统计试题的考查特点和命题趋 向。 下面对其常见题型和考点进行解析。 考点 1 考查等可能事件概率计算。 在一次实验中可能出现的结果有 n 个, 而且所有结果出现的可能性都相等。 如果事件 A 包含的结果有 m 个,那么 P( A) ?

m 。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计 n 算公 n

式。 高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题 的能力。 例 1(2004 天津)从 4 名男生和 2 名女生中任 3 人参加演讲比赛. (I)求所选 3 人都是男生的概率; (II)求所选 3 人中恰有 1 名女生的概率; (III)求所选 3 人中至少有 1 名女生的概率. 考点 2 考查互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算。 不可能同时发生的两个事件 A、B 叫做互斥事件,它们至少有一个发生的事件为 A+B, 用概率的加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)计算。 事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,则 A、B 叫做相互独 立事件,它们同时发生的事件为 AB。用概率的乘法公式 P(AB)=P(A)P(B)计算。 高考常结合考试竞赛、 上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进 行考查。 例 2.(2005 全国卷Ⅲ)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某 一小时内,甲、乙都需要照顾的概率为 0.05,甲、丙都需要照顾的概率为 0.1,乙、丙都需 要照顾的概率为 0.125, (Ⅰ)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多 少; (Ⅱ)计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率。 考点 3 考查对立事件概率计算。
4

必有一个发生的两个互斥事件 A、B 叫做互为对立事件。用概率的减法公式 P(A)=1-P(A)计算其概率。 高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查。 例 3.(2005 福建卷文)甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为

1 2 和 。 2 5

(Ⅰ)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求恰好命中一次的概率; (Ⅱ)甲、乙两人在罚球线各投球二次,求这四次投球中至少一次命中的概率; 考点 4 考查独立重复试验概率计算。 若 n 次重复试验中, 每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果, 则此试验叫做 n 次独立重复试验。若在 1 次试验中事件 A 发生的概率为 P,则在 n 次独立重复试验中,事 件 A 恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)= Pn ( A) ? Cn p (1 ? p )
k k n?k



高考结合实际应用问题考查 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率的计算方法 和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。 例 4. (2005 湖北卷)某会议室用 5 盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相同。假定 每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关,该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为 p1,寿 命为 2 年以上的概率为 p2。从使用之日起每满 1 年进行一次灯泡更换工作,只更换已坏的 灯泡,平时不换。 (Ⅰ)在第一次灯泡更换工作中,求不需要换灯泡的概率和更换 2 只灯泡的概率; (Ⅱ)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的概率; (Ⅲ)当 p1=0.8,p2=0.3 时,求在第二次灯泡更换工作,至少需要更换 4 只灯泡的概率(结 果保留两个有效数字) 考点 5 考查随机变量概率分布与期望计算。 解决此类问题时, 首先应明确随机变量可能取哪些值, 然后按照相互独立事件同时发生 概率的法公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列, 最后根据分布列和期望、 方差 公式去获解。以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决 实际 问题的能力。 例 5. (2005 湖北卷)某地最近出台一项机动车驾照考试规定;每位考试者一年之内最多有 4 次参加考试的机会,一旦某次考试通过,使可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一 直考到第 4 次为止。 如果李明决定参加驾照考试, 设他每次参加考试通过的概率依次为 0.6, 0.7,0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数 ξ 的分布列和 ξ 的期望,并求李明在一年 内领到驾照的概率。 考点 6 考查随机变量概率分布列与其他知识点结合 1、考查随机变量概率分布列与函数结合。 例 6.(2005 湖南卷)某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率 分别是 0.4,0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,设 ξ 表示客人离开该城市时游览 的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。 (Ⅰ)求 ξ 的分布及数学期望; (Ⅱ)记“函数 f(x)=x2-3ξx+1 在区间[2,+∞)上单调递增”为事件 A,求事件 A 的概率。 2、考查随机变量概率分布列与数列结合。
5

例 7 甲乙两人做射击游戏,甲乙两人射击击中与否是相互独立事件,规则如下:若射击一 次击中,原射击者继续射击,若射击一次不中,就由对方接替射击。已知甲乙两人射击一次 击中的概率均为 7,且第一次由甲开始射击。 (1)求前 4 次射击中,甲恰好射击 3 次的概率。 (2)若第 n 次由甲射击的概率为 a n ,求数列{ a n }的通项公式;求 lim a n ,并说明极 n→∞ 限值的实际意义。 3、考查随机变量概率分布列与线形规划结合。 例 8(2005 辽宁卷)某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都是经过第一和第二工序加工 而成, 两道工序的加工结果相互独立, 每道工序的加工结果均有 A、 B 两个等级对每种产品, 两道工序的加工结果都为 A 级时,产品为一等品,其余均为二等品。 (Ⅰ)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为 A 级的概率如表一所示,分别求生产 出的甲、乙产品为一等品的概 P(甲)、P(乙); (Ⅱ)已知一件产品的利润如表二所示,用 ξ、η 分别表示一件甲、乙产品的利润,在(I) 的条件下,求 ξ、η 的分布列及 Eξ、Eη; (Ⅲ)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人 40 名,可用资金 60 万元。设 x、y 分别表示生产甲、乙产品的数量,在(II)的条件下,y 为何值时,z=xEξ + yEη x 最大?最大值是多少?(解答时须给出图示) 考查随机变量概率分布列性质 性质应用 考点 7 考查随机变量概率分布列性质应用。 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.,高 考常结合应用问题对随机变量概率分布列及其性质的应用进行考查。 例 9(2004 年全国高考题)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:每题回 答正确得 100 分,回答不正确得 0 分。假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8,且各题回 答正确与否相互之间没有影响.。 ①求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望; ②求这名同学总得分不为负分(即 ξ≥0)的概率。 考点 8 样本抽样识别与计算。 简单随机抽样,系统抽样,分层抽样得共同特点是不放回抽样,且各个体被抽取得概率 相等,均为

n (N 为总体个体数,n 为样本容量)。系统抽样、分层抽样的实质分别是等距抽 N

样与按比例抽样,只需按照定义,适用范围和抽样步骤进行,就可得到符合条件的样本。 高考常结合应用问题,考查构照抽样模型,识别图形,搜集数据,处理材料等研究性学 习的能力。 例 11 (2005 年湖北湖北高考题)某初级中学有学生 270 人,其中一年级 108 人,二、三 年级各 81 人,现要利用抽样方法抽取 10 人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽 样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统 一编号为 1,2,…,270;使用系统抽样时,将学生统一随机编号 1,2,…,270,并将整 个编号依次分为 10 段.如果抽得号码有下列四种情况:①7,34,61,88,115,142,169, 196,223,250;②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92, 119,146,173,200,227,254;④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270;
6

关于上述样本的下列结论中,正确的是() A.②、③都不能为系统抽样 B.②、④都不能为分层抽样 C.①、④都可能为系统抽样 D.①、③都可能为分层抽样 考点 9 考查直方图。这是统计的知识,不是概率的吧? 例 12.(2005 江西卷)为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校 100 名高三学 生的视力情况,得到频率分布直方图,如右,由于不慎将部分数据丢失,但知道前 4 组的频 数成等比数列,后 6 组的频数成等差数列,设最大频率为 a,视力在 4.6 到 5.0 之间的学生 数为 b,则 a、b 的值分别为() A.0,27,78 B.0,27,83 C.2.7,78 D.2.7,83 方法小结: 解决概率问题时,一定要根据有关概念,判断问题是否是等可能性事件、互斥事件、相 互独立事件, 还是某一事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的情况, 以便选择正确的计 算方法,同时注意上述各类事件的综合问题,要全面考虑,特别是近几年高考概率与期望的 综合,体现了高考对概率知识要求的进一步提高。下面仅以几个例题作以小结。 一、用排列组合求概率 例 1 从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个三位数不 能被 3 整除的概率为() (A)19/54 (B)35/5 (C)38/54 (D)41/60 分析:等可能事件的概率关键是利用排列组合出基本事件数。 答案:B 点评:本题将等可能事件与对立事件的概率,以及分类讨论综合在一起,体现了知识交汇点 的命题精神,是高考的热点。 二、互斥事件有一个发生的概率 例 2 某厂生产 A 产品,每盒 10 只进行包装,每盒产品都需要检验合格后才能出厂,规定以下, 从每盒 10 只中任意抽 4 只进行检验,如果次品数不超过 1 只,就认为合格,否则就认为不合格, 已经知道某盒 A 产品中有 2 只次品 (1)求该盒产品被检验合格的概率 (2)若对该盒产品分别进行两次检验,求两次检验的结果不一致的概率 分析: 对一个复杂事件的概率可以分拆成几个互斥事件的概率或者转化为求其对立事件的概 率。 点评:求相互独立事件同时发生的概率,要保证两者确是“相互独立”事件。本例的“比赛 型”题,分析比较简单,只要结合有关比赛规则即可解决,此类题也是高考的热点题。 三、对立重复试验 例 3 一位学生每天骑自行车上学,从他家到学校有 5 个交通岗,假设他在交通岗遇到红灯是相 互独立的,且首末两个交通岗遇到红灯的概率均为 p,其余 3 个交通岗遇到红灯的概率均为

1 。 2
(1) 若 p=2/3,求该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率; (2) 若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过 5/18,求 p 的取值范围。 分析:首末两个交通岗遇红灯的概率相同,其余 3 个交通岗遇红灯的概率也相同,可看作独
7

立重复试验。 点评:要注意恰有 k 次发生和某指定的 k 次发生的差异。对独立重复试验来说,前者的概率 为 总结:概率初步的考题一般以(1)等可能事件; (2)互斥事件有一个发生; (3)相互独立 事件同时发生; (4)独立重复试验为载体。有的考题可能综合多个概率题型;在等可能事件 的概率计算中,关键有二:一是谁是一次试验(一次事件所含的基本事件的总数) ;二是事 件 A 所含基本事件数。当然,所有基本事件是等可能的是前提;善于将复杂的事件分解为 互斥事件的和与独立事件的积是解题的关键。

(三)高考数学概率中的易错题辨析
一、概念理解不清致错 例 1.抛掷一枚均匀的骰子,若事件 A: “朝上一面为奇数” ,事件 B: “朝上一面的点 数不超过 3” ,求 P(A+B) 错误解法 1:事件 A:朝上一面的点数是 1,3,5;事件 B:趄上一面的点数为 1,2,

3 3 1 ? ? 6 6 2 错因分析:事件 A:朝上一面的点数是 1,3,5;事件 B:趄上一面的点数为 1,2,3, 很明显,事件 A 与事件 B 不是互斥事件。 即 P(A+B)≠P(A)+P(B) ,所以上解是错误的。实际上: 正确解法为:A+B 包含:朝上一面的点数为 1,2,3,5 四种情况 4 2 ∴P(A+B)= ? 6 3 错误解法 2:事件 A:朝上一面的点数为 1,3,5;事件 B:朝上一面的点数为 1,2, 3,即以 A、B 事件中重复的点数 1、3 ∴P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B) 1 1 1 1 3 = ? ? ? ? 2 2 2 2 4 2 错因分析:A、B 事件中重复点数为 1、3,所以 P(A·B)= ;这种错误解法在于简 6
3,∴P(A+B)=P(A)+P(B)= 单地类比应用容斥原理 Card( A ? B) ? Card( A) ? Card( B) ? Card( A ? B) 致错 正确解答:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B) =

1 1 2 2 ? ? ? 2 2 6 3

?1, (当第n次掷出偶数) 例 2.某人抛掷一枚均匀骰子,构造数列 {a n } ,使 a n ? ? ,记 ?? 1, (当第n次掷出奇数)

S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n 求 S i ? 0(i ? 1,2,3,4) 且 S 8 ? 2 的概率。
错解:记事件 A: S 8 ? 2 ,即前 8 项中,5 项取值 1,另 3 项取值-1

8

1 5 ∴ S 8 ? 2 的概率 P( A) ? C8 ? ( )8 2
记事件 B: S i ? 0(i ? 1,2,3,4) ,将 S i ? 0(i ? 1,2,3,4) 分为两种情形: (1)若第 1、2 项取值为 1,则 3,4 项的取值任意 (2)若第 1 项为 1,第 2 项为-1,则第 3 项必为 1 第四项任意

1 1 3 ∴P(B)= ( ) 2 ? ( ) 3 ? 2 2 8 3 5 1 8 ∴所求事件的概率为 P=P(A) ·P(B)= ? C8 ?( ) 8 2
错因分析: S i ? 0 且 S 8 ? 2 是同一事件的两个关联的条件,而不是两个相互独立事件。

S i ? 0 对 S 8 ? 2 的概率是有影响的,所以解答应为:
正解:∵ S i ? 0(i ? 1,2,3,4) ∴前 4 项的取值分为两种情形

1 3 ①若 1、3 项为 1;则余下 6 项中 3 项为 1,另 3 项为-1 即可。即 P1 ? C 6 ? ( )8 ; 2 ②若 1、2 项为正,为避免与第①类重复,则第 3 项必为-1, 1 3 则后 5 项中只须 3 项为 1,余下 2 项为-1,即 P2 ? C5 ? ( )8 , 2 1 15 3 3 ∴所求事件的概率为 P ? (C 6 ? C5 ) ? ( )8 ? 7 2 2 二、有序与无序不分致错 例 3.甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有 10 个不同的题目,其中选择题 6 个,判断 题 4 个,甲、乙依次各抽一题。 求: (1)甲抽到选择题,乙提到判断题的概率是多少? (2)甲、乙两人中至少有 1 人抽到选择题的概率是多少?
1 错误解法: (1)甲从选择题抽到一题的结果为 C 6 1 乙从判断题中抽到一题的结果为 C 4 2 而甲、乙依次抽到一题的结果为 C10

∴所求概率为:

1 1 C6 C4 2 C10

?

8 15

2 错因分析:甲、乙依次从 10 个题目各抽一题的结果,应当是先选后排,所以应为 A10 。 1 为避免错误,对于基本事件总数也可这样做:甲抽取一道题目的结果应为 C10 种,乙再抽取 1 余下的 9 道题中的任一道的结果应为 C 9 种,所以

9

正确解答:

1 1 C6 C4 1 1 C10 C9

?

4 15

2 (2)错误解法:从对立事件考虑,甲、乙都抽到判断题的结果为 C 4 种,所以都抽到判

断题的概率为

2 C4 1 1 C10 C9

?

1 1 14 ,所求事件的概率为 1 ? ? 15 15 15

错因分析:指定事件中指明甲、乙依次各抽一题,那么甲、乙都提到判断题的结果应为
1 1 C4 C 3 种,所以所求事件概率应为 1 ?

1 1 C4 C3 1 1 C10 C9

?

2 15

说明:对于第(2)问,我们也可以用这样解答:

1?

2 C4 2 C10

?

2 ,这里启示我们,当基本事件是有序的,则指定事件是有序的(指定事件 15

包含在基本事件中) ;当基本事件是无序的,则指定事件也必无序。关键在于基本事件认识 角度必须准确。 例 4.已知 8 支球队中有 3 支弱队,以抽签方式将这 8 支球队分为 A、B 两组,每组 4 支,求:A、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率。
4 4 C 4 种方法:A、B 两组中有一组恰有两 错解:将 8 支球队均分为 A、B 两组,共有 C 8 2 2 C3 支弱队的分法为: 先从 3 支弱队取 2 支弱队, 又从 5 支强队取 2 支强队, 组成这一组共有 C 5

种方法,其它球队分在另一组,只有一种分法。 ∴所求事件的概率为:
2 2 C5 C2 4 4 C8 C4

?

3 。 7

错因分析:从基本事件的结果数来看,分组是讲求顺序的,那么指定事件: “A、B 组 中有一组有 2 支弱队”应分为两种情形。即“A 组有”或“B 组有” ,所以正确解答为: 正解:
2 2 2C 5 C2 4 C 84 C 4

?

C 2C 2 6 6 或 4 54 2 2 ? 7 C 8 C 4 / A2 7

说明:这道题也可从对立事件求解:
1 1 ? C5 3 支弱队分法同一组共有: C 5 种结果。

∴所求事件概率为 1 ?

1 1 C5 ? C5 4 4 C8 C4

?

6 7

三、分步与分类不清致错 例 5.某人有 5 把不同的钥匙,逐把地试开某房门锁,试问他恰在第 3 次打开房门的概 率? 错误解法:由于此人第一次开房门的概率为

1 ,若第一次未开,第 2 次能打开房门的概 5

10

1 1 ;所以此人第 3 次打开房门的概率为 。 4 3 错因分析:此人第 3 次打开房门实际是第 1 次未打开,第 2 次未打开,第 3 次打开“这 三个事件的积事件” ,或者理解为“开房门是经过未开、未开、开”这三个步骤,不能理 解为此事件只有“开房门”这一个步骤,所以,正确解答应为: 4 3 正解:第 1 次未打开房门的概率为 ;第 2 次未开房门的概率为 ;第 3 次打开房门 5 4 1 4 3 1 1 的概率为 ,所求概率为: P ? ? ? ? 。 3 5 4 3 5 例 5.某种射击比赛的规则是:开始时在距目标 100m 处射击,若命中记 3 分,同时停 止射击。若第一次未命中,进行第二次射击,但目标已在 150m 远处,这时命中记 2 分,同 时停止射击;若第 2 次仍未命中,还可以进行第 3 次射击,此时目标已在 200m 远处。若第 3 次命中则记 1 分,同时停止射击,若前 3 次都未命中,则记 0 分。已知身手甲在 100m 处 1 击中目标的概率为 , 他命中目标的概率与目标的距离的平方成反比, 且各次射击都是独立 2 的。求:射手甲得 k 分的概率为 Pk,求 P3,P2,P1,P0 的值。 :设射手射击命中目标的概率 P 与目标距离 x 之间的关系 k 1 k 为 P ? 2 ,由已知 ? ?k ?5000 2 2 100 x 1 错误解法: P3 ? 2 5000 2 P2 ? ? 150 2 9 5000 1 P1 ? ? 200 2 8 1 2 1 49 P0 ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? 2 9 8 144 错因分析:求 P2 时,将第 150m 处射击命中目标的概率作为第 2 次命中目标的概率, 隔离了第 1 次射击与第 2 次射击的关系, 实际上, 第 2 次射击行为的发生是在第 1 次未击中 的前提下才作出的。 ∴P2 应为“第 1 次未击中,第 2 次击中”这两个事件的积事件的概率。求 P1 时也如此。 1 正解: P3 ? 2 1 2 1 P2 ? (1 ? ) ? ? 2 9 9 1 2 1 7 P1 ? (1 ? )(1 ? ) ? ? 2 9 8 144 1 2 1 49 P0 ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? 2 9 8 144 四、考虑不周致错 例 6.某运动员射击一次所得环数 x 的分布列如下: x 7 8 9 10 P 0.2 0.2 0.2 0.2 现进行两次射击,以该运动员两次射击中最高的环数作为他的成绩记为 ? ,求:? 的分
率应为
11

布列。 错误解法:? 的取值为 8,9,10。? =7,两次环数为 7,7;? =8,两次成绩为 7,8 或 8, 8; ? =9,两次成绩 7,9 或 8,9 或 9,9; ? =10,两次队数为 7,10 或 8,10 或 9,10 或 10,10。 ∴ P(? ? 7) ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04

P(? ? 8) ? 0.2 ? 0.3 ? 0.3 2 ? 0.15 P(? ? 9) ? 0.2 ? 0.3 ? 0.3 ? 0.3 ? 0.3 2 ? 0.23 P(? ? 10) ? 0.2 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.3 ? 0.2 2 ? 0.2
(分布列略) 错因分析: ? ?8 , 即 两 次 成 绩 应 为 7 , 8 或 8 , 7 或 8 , 8 实 际 为 三 种 情 形 ,

P(? ? 8) ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.3 2 ? 0.21

? ? 9 两 次 环 数 分 别 为 7,9 ( 或 9,7 ); 8,9 ( 或 9,8 ), 9.9
P(? ? 9) ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 2 ? 0.3 ? 0.3 ? 0.3 2 ? 0.39
同理 P(? ? 10) ? 0.12 2 ? 2 ? 0.3 ? 0.2 ? 4 ? 0.2 2 ? 0.36



例 7.将 n 个球等可能地放入到 N(n×n)个有编号的盒子中(盒子中容纳球的个数不 限) 。求 A:某指定的 n 个盒子中恰有一球的概率。 错误解法:将 n 个球等可能地放入到 N 个盒子中,共有 Nn 种方法。 n! 而指定的 n 个盆中各有一球的放法有:n!种,则所求概率: P( A) ? m N 错因分析:这种解法不全面,如果球是有编号的,则答案是对的。若球是不可辨认的, 则答案错了, 若球是不可辨认的, 则若考虑盒子中球的个数而不考虑放的是哪几个球, 为此, 我们用“□”表示一个盒子;用“○”表示一个球,先将盒子按编号 1 2 3 4 5 n 把 n 个球放入 N 中盒子中, 形如: 1010011??10001, 正好看作 N+1 个 “1” 和n个 “0”
n 的全排列。由于两边必为“1”所以排法只有 C N ? n ?1 种;而指定的 n 个盒子中恰有一球的放

法只有 1 种,故 P( A) ?

1
n CN ? n ?1

?

n!( N ? 1)! ( N ? n ? 1)!

五、混淆“互斥”与“独立”出错 例 8.甲投篮命中概率为 0.8,乙投篮命中概率为 0.7,每人投 3 次,两人恰好都命中 2 次的概率是多少? 错解:设“甲恰好投中 2 次”为事件 A, “乙恰好投中 2 次”为事件 B,则两人恰好投 中 2 次为 A+B。
2 2 0.8 2 ? 0.2 ? C3 0.7 2 ? 0.3 ? 0.825 。 所以 P(A+B)=P(A)+P(B)= C3

12

错因分析: 本题解答错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑。 将 两人都恰好投中 2 次理解为“甲恰好投中 2 次”与“乙恰好投中 2 次”的和。 正解:设“甲恰好投中 2 次”为事件 A, “乙恰好投中 2 次”为事件 B,则两人恰好都 投中 2 次为 AB。
2 2 所以 P(AB)=P(A)×P(B)= C3 0.8 2 ? 0.2 ? C3 0.7 2 ? 0.3 ? 0.169

六.混淆有放回与不放回致错 例 9.某产品有 3 只次品,7 只正品,每次取 1 只测试,取后不放回,求: (1)恰好到第 5 次 3 只次品全部被测出的概率; (2)恰好到第 k 次 3 只次品全部被测出的概率 f (k ) 的最大值和最小值。

3 2 7 5 1 1 ? ? ? ? ? 10 9 8 7 6 144 3 3 3 (2) P5 (3) ? C5 ? (1 ? ) 2 ? 0.21 。 10 10 错因分析:错解(1)的错误的原因在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球是不 独立的;而错解(2)的错误的原因则在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球袋内球 的总数是变的(比前一次少一个) 。
错解: (1)P(A)= 正解: (1) P ?
1 2 4 C3 ? C7 ? A 44
3

A10
3
37 3

5

?

1 20

(2) P ?

k ?3 k ?1 C1 ? A4 43 ? C 4 k ?1
3

?

1 (k ? 1)(k ? 2), (3 ? k ? 10, k ? Z ) 240

1 ; 120 3 当 k ? 3 时, [ f (k )] max ? f (10) ? 。 10
当 k ? 3 时, [ f (k )] min ? f (3) ?

13


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