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( 人教A版)2017-2018学年高中数学选修2-1:1.1.2-1.1.3四种命题间的相互关系课件 (共28张PPT)_图文

1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系

考纲定位

重难突破

1.了解四种命题的概念,会写出某

命题的逆命题、否命题和逆否命题. 重点:掌握四种命题之间的相互关系.
2.认识四种命题之间的关系以及真 难点:等价命题的应用.
假性之间的联系.

3.会利用命题的等价性解决问题.

01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业

一、四种命题

[自主梳理]

栏目 内容

定义

表示形式

名称

对于两个命题,如果一个命题的条件和

互逆命题

结论分别是另一个命题的结论和条件, 原命题为“若 p,
那么这样的两个命题叫作互逆命题.其 则 q”,逆命题为 中一个命题叫原命题,另一个叫作原命 “ 若 q,则 p ”

题的 逆命题

栏目 内容 名称

定义

表示形式

对于两个命题,其中一个命题的

条件和结论恰好是另一个命题的

互否命题

条件的否定 和结论的否定,这样 原命题为“若 p,则 q”;否 的两个命题叫作互否命题.如果 命题为“若綈 p,则綈 q ”

把其中的一个命题叫作原命题,

那么另一个叫作原命题的 否命题

栏目

内容

定义

表示形式

名称

对于两个命题,其中一个命题的条

互为逆 否命题

件和结论恰好是另一个命题的 结论 的否定 和 条件的否定 ,这样的两 原命题为“若 p,则 q”;逆 个命题叫作互为逆否命题.如果把 否命题为“若綈 q,则綈 p ”

其中的一个命题叫作原命题,那么

另一个叫作原命题的 逆否命题

二、四种命题之间的关系及真假性判断 1.四种命题之间的关系:
2.四种命题的真假性之间的关系如下: (1)两个命题互为逆否命题,它们有 相同 的真假性. (2)两个命题若为互逆命题或互否命题,则它们的真假性 没有关系 .

[双基自测] 1.命题“若一个数是负数,则它的相反数是正数”的逆命题是( ) A.“若一个数是负数,则它的相反数不是正数” B.“若一个数的相反数是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的相反数不是正数” D.“若一个数的相反数不是正数,则它不是负数” 解析:其逆命题是“若一个数的相反数是正数,则它是负数”. 答案:B

2.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题,这四个命题中( ) A.真命题的个数一定是奇数 B.真命题的个数一定是偶数 C.真命题的个数可能是奇数也可能是偶数 D.以上判断均不正确 解析:由四种命题的真假关系可知,真命题是成对出现的,故选 B. 答案:B

3.命题“若 m=10,则 m2=100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题

中,真命题是( )

A.原命题、否命题

B.原命题、逆命题

C.原命题、逆否命题

D.逆命题、否命题

解析:由题意知原命题是真命题,其逆否命题也为真命题. 答案:C

探究一 四种命题之间的转换 [典例 1] 写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题. (1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线垂直于平面; (2)如果 x>10,那么 x>0; (3)当 x=2 时,x2+x-6=0.

[解析] (1)逆命题:如果直线垂直于平面,那么直线垂直于平面内的两条相交直线; 否命题:如果直线不垂直于平面内的两条相交直线, 那么直线不垂直于平面; 逆否命题:如果直线不垂直于平面,那么直线不垂直于平面内的两条相交直线. (2)逆命题:如果 x>0,那么 x>10; 否命题:如果 x≤10,那么 x≤0; 逆否命题:如果 x≤0,那么 x≤10. (3)逆命题:如果 x2+x-6=0,那么 x=2; 否命题:如果 x≠2,那么 x2+x-6≠0; 逆否命题:如果 x2+x-6≠0,那么 x≠2.

写出一个命题的逆命题,否命题,逆否命题的方法 (1)写命题的四种形式时,首先要找出命题的条件和结论,然后写出命题的条件的 否定和结论的否定,再根据四种命题的结构写出所求命题. (2)在写命题时,为了使句子更通顺,可以适当地添加一些词语,但不能改变条件 和结论.

1.命题:“若 a·b 不为零,则 a,b 都不为零”的逆否命题是________. 答案:若 a,b 至少有一个为零,则 a·b 为零

探究二 四种命题的关系及真假判断

[典例 2] 对于原命题:“已知 a、b、c∈R,若 a>b,则 ac2>bc2”,以及它的逆

命题、否命题、逆否命题,在这 4 个命题中,真命题的个数为( )

A.0 个 B.1 个

C.2 个

D.4 个

[解析] 逆命题为“若 ac2>bc2,则 a>b”为真命题.

否命题为“若 a≤b,则 ac2≤bc2”为真命题.

逆否命题为“若 ac2≤bc2,则 a≤b”为假命题. [答案] C

判断四种命题之间四种关系的两种方法 方法一:利用四种命题的定义判断; 方法二:可以巧用“逆、否”两字进行判断,如“逆命题”与“逆否命题”中不 同有“否”字,是互否关系;而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二 字,其关系为逆否关系.

2.在命题 p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中,正确命题的个

数记为 f(p),已知命题 p:若两条直线 l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0

平行,则 a1b2-a2b1=0.那么 f(p)=( )

A.1

B.2

C.3 D.4

解析:若两条直线 l1:a1x+b1y+c1=0 与 l2:a2x+b2y+c2=0 平行,则必有 a1b2

-a2b1=0,但当 a1b2-a2b1=0 时,直线 l1 与 l2 不一定平行,还有可能重合,因

此命题 p 是真命题,但其逆命题是假命题,从而其否命题为假命题,逆否命题为

真命题,所以在命题 p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中,有

2 个正确命题,即 f(p)=2. 答案:B

探究三 等价命题的应用
[典例 3] 判断命题“已知 a,x 为实数,若关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0
的解集不是空集,则 a≥1”的逆否命题的真假. [解析] 法一 原命题的逆否命题: 已知 a,x 为实数,若 a<1,则关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 的解集为 空集.真假判断如下: ∵抛物线 y=x2+(2a+1)x+a2+2 开口向上, 判别式 Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7, 若 a<1,则 4a-7<0. 即抛物线 y=x2+(2a+1)x+a2+2 与 x 轴无交点. 所以关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 的解集为空集. 故原命题的逆否命题为真.

法二 先判断原命题的真假. 因为 a,x 为实数,且关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 的解集不是空集, 所以 Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0, 即 4a-7≥0, 解得 a≥74. 因为 a≥74,所以 a≥1,所以原命题为真. 又因为原命题与其逆否命题等价,所以逆否命题为真.

“正难则反”的处理原则 (1)当原命题的真假不易判断,而逆否命题较容易判断真假时,可通过判断其逆否 命题的真假来判断原命题的真假. (2)在证明某一个命题的真假性有困难时,可以证明它的逆否命题为真(假)命题, 来间接地证明原命题为真(假)命题.

3.证明:若 m2+n2=2,则 m+n≤2. 证明:将“若 m2+n2=2,则 m+n≤2”视为原命题,则它的逆否命题为“若 m +n>2,则 m2+n2≠2”. 由于 m+n>2,则 m2+n2≥12(m+n)2>12×22=2, 所以 m2+n2≠2. 故原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题.

写否命题时忽略大前提而致误 [典例] 将命题“a>0 时,函数 y=ax+b 的值随 x 的增大而增大”,写成“若 p, 则 q”的形式,并写出其否命题. [解析] “若 p,则 q”的形式:当 a>0 时,若 x 增大,则函数 y=ax+b 的值也 随着增大; 否命题:当 a>0 时,若 x 不增大,则函数 y=ax+b 的值也不增大.

[错因与防范] (1)易把大前提“a>0”作为原命题的条件而致误. (2)写否命题时易忽略否定命题的条件而致误. (3)改写命题大前提保持不变. (4)写否命题时,既要否定条件,又要否定结论.

[随堂训练]

1.命题“若 a>-3,则 a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题

的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析:命题“若 a>-3,则 a>-6”的逆命题为“若 a>-6,则 a>-3”,为假命

题,则它的否命题“若 a≤-3,则 a≤-6”也必为假命题;它的逆否命题“若 a≤

-6,则 a≤-3”为真命题.故真命题的个数为 2. 答案:B

2.已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2≥3”的否命题是( ) A.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3 B.若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2<3 C.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2≥3 D.若 a2+b2+c2≥3,则 a+b+c=3
解析:其否命题为“若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3”. 答案:A

3.有下列四个命题:

①“若 x+y=0,则 x、y 互为相反数”的逆命题;

②“若 a>b,则 a2>b2”的逆否命题;

③“若 x≤-3,则 x2+x-6>0”的否命题;

④“若 ab 是无理数,则 a、b 是无理数”的逆命题.

其中真命题的个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

解析:①逆命题“x、y 互为相反数,则 x+y=0”是真命题. ②原命题为假,∴其逆否命题为假命题. ③否命题“若 x>-3,则 x2+x-6≤0”,如 x=4>-3 但 x2+x-6=14>0.∴是 假命题. ④逆命题“若 a、b 是无理数,则 ab 也是无理数”,如 a=( 2) 2,b= 2,则 ab =2 是有理数.∴是假命题. 答案:B

4.命题“若 a>b,则 2a>2b-1”的否命题为________.

解析:若 p 则 q

若綈 p 则綈 q,其中“>”改为“≤”.

答案:若 a≤b,则 2a≤2b-1


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