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三角恒等变换二含答案


三角恒等变换(二) 1、和差角公式

2、二倍角公式

sin 2? ? 2 sin ? cos ? ;
cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ;

tan 2? ?

2 tan ? ; 1 ? tan 2 ?

3、降幂变形

4、升幂变形:

5、辅助角公式

已知 ? , ? ? ?

3 ? ? 12 ? 3? ? , ? ? ,sin ?? ? ? ? ? ? , sin( ? ? ) ? ,则 cos(? ? ) ? _________ 5 4 4 13 ? 4 ?

【 解 析 】 由 于 ? , ?? ?

3? ? ? 3? ? 3? ? ,故 ,? ? ? ? ? ? 2? , ? ? ? ? ? ,所 以 2 2 4 4 ? 4 ?

? ? ? ?? 56 ? 4 ? 5 co? s( ? ? ) ? , cos( ? ? ) ? ? , cos(? ? ) ? cos ?(? ? ? ) ? ? ? ? ?? ? ? . 4 4 ?? 65 ? ? 5 4 13
π? 1 已知 cos? ?α-4?=4,则 sin2α 的值为________. π π? 7 2? ? 【解析】sin2α=cos? ?2-2α?=2cos ?α-4?-1=-8. π? 2 2 1 方法 2:cos? ?α-4?= 2 cosα+ 2 sinα=4. 1 1 1 7 两边平方得, + sin2α= ,∴sin2α=- . 2 2 16 8 设若 0<?<

?
2

,-

?

? ? 3 ? 1 ? ,则 cos(? ? ) ? <?<0 , cos( ? ? ) ? , cos( ? ) ? 4 2 3 2 4 3 2

【解析】由

? 2 2 3 ? ? ? ? ,由于 ?? ? ? , 得 s i n ( ??) ? ? ? ? ,得 4 3 4 4 4 4 4 2 2 6 ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? 5 3 ,所以 cos(? ? ) ? cos?? ? ? ? ? ? ? ?? ? sin . ? ? ?? 2 9 ?4 2? 3 ? ? 4 2 ?? ?? 4

?

?

?

已知 A、B 均为钝角且 sin A=

5 10 ,sin B= ,则 A+B 的值为________. 5 10 5 10 ,sin B= , 5 10

【解析】A、B 均为钝角且 sin A= 得 cos A=- 1-sin2A=- cos B=- 1-sin2B=-

2 2 5 =- , 5 5

3 3 10 =- , 10 10

所以 cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B 2 5 ? 3 10? 5 10 2 =- × - × = , 5 ?- 10 ? 5 10 2 π π 7π 又因为 <A<π, <B<π,所以 π<A+B<2π,故 A+B= . 2 2 4 π π 1 5 3 1、已知 0<α< , <β<π,且 cos α= ,sin β= ,则 β-α 的值为________. 2 2 7 14

π π 【解析】因为 0<α< , <β<π,所以 0<β-α<π, 2 2 1 5 3 4 3 11 又 cos α= ,sin β= ,所以 sin α= ,cos β=- , 7 14 7 14 1 π 所以 cos(β-α)= ,所以 β-α= . 2 3 1 1 2、已知 tan α= ,tan β= ,且 α,β∈(0,π),则 α+2β=________. 7 3 2 1 3 + 3 tan α+tan 2β 7 4 2tan β 3 1 【解析】tan 2β= = ,所以 tan(α+2β)= = =1.∵tan α= 2 = 1 4 3 7 1-tan β 1-tan αtan 2β 1- 1- 9 28 π? π ? π? ? 3 ? <1,α∈(0,π),∴α∈? ?0,4?,同理 β∈?0,4?,∴α+2β∈?0,4π?,所以 α+2β=4. 若锐角 α、β 满足(1+ 3tan α)(1+ 3tan β)=4,则 α+β=______. 【解析】∵(1+ 3tan α)(1+ 3tan β)=4, ∴1+ 3(tan α+tan β)+3tan αtan β=4, 即 tan α+tan β= 3(1-tan αtan β). tan α+tan β 3(1-tan αtan β) ∴tan(α+β)= = = 3. 1-tan αtan β 1-tan αtan β π 又∵0<α+β<π,∴α+β= . 3 若 ? , ? ? (0, ? ) , cos? ? ?

7

1 , tan ? ? ? ,求 α+2β。 3 50
7 50

【解析】∵ ? , ? ? (0, ? ) , cos? ? ?

∴ tan? ? ? ∴?, ? ? ( 又 tan2β=

1 3 1 3 ? (? ,0), tan ? ? ? ? (? ,0), 7 3 3 3

5? 5? , ? ) ,α+2β ? ( ,3? ) , 6 2

2 tan ? 3 tan? ? tan 2 ? ? ? , tan( ? ? 2? ) ? ? ?1 , 2 4 1 ? tan ? 1 ? tan? tan 2 ?

∴α+2β=

11? 4

已知 cos?? ?

? ?

? ? ?? 1 ?? ? 2 ? ? ? , sin ? ? ? ? ? ,且 ? ? ? ? ,0 ? ? ? ,则 cos(? ? ? ) = 2 2 2? 9 ?2 ? 3

【解析】∵

?
2

? ? ? ? ,0 ? ? ?

?
2







∴ 1 3 若 cos(α+β)= ,cos(α-β)= ,则 tan αtan β=________. 5 5 1 3 【解析】由 cos αcos β-sin αsin β= ,cos αcos β+sin αsin β= , 5 5 2 1 1 解得 cos αcos β= ,sin αsin β= ,所以 tan αtan β= . 5 5 2 已知 cos(? ?

?
6

) ? sin? ?

7? 2 3 )= ,则 sin(? ? 6 3

2 3 ? ? 2 3 ,? cos? cos ? sin ? sin ? sin ? ? , 6 3 6 6 3 ? 2 7? ? 2 3 3 2 3 ? ? ) ? sin( ? ? ) ? ,? sin( ? ? ) ? ,? sin( ? cos? ? sin ? ? 6 3 6 6 3 2 2 3
【解析】? cos(? ?

?

) ? sin ? ?

tan17?+tan28?+tan17?tan28?=

化简得 tan17?+tan28?=1-tan17?tan28? ∴tan17?+tan28?+tan17?tan28?=1 ?cos70?cos20?+sin110?sin20? 原式=

1 3 ? sin 10? cos10?

原式

1 ? tan 75? 原式 1 ? tan 75?

A ? 已知向量 m=(sin x,1),n=? n 的最大值为 6. ? 3Acos x, 2 cos 2x?(A>0),函数 f(x)=m· (1)求 A; π (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 12 5π? 1 ,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象.求 g(x)在? ?0,24?上的值域. 2 A 【解析】(1)f(x)=m· n= 3Asin xcos x+ cos 2x= 2 A? 3 1 ?=Asin?2x+π?. 6? ? ? 2 sin 2x+2cos 2x?

因为 A>0,由题意知 A=6. π? (2)由(1)得 f(x)=6sin? ?2x+6?. π 将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位后得到 y= 12 π ? π? π? ? 6sin?2? ?x+12?+6 =6sin?2x+3?的图象;

?

?

π? 1 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 , 纵坐标不变, 得到 y=6sin? 因 ?4x+3?的图象. 2 π? 此 g(x)=6sin? ?4x+3?. 5π? π ?π 7π? 因为 x∈? ?0,24?,4x+3∈?3, 6 ?, π? ? 1 ? ∴sin? ?4x+3?∈?-2,1?. 5π? ∴g(x)在? ?0,24?上的值域为[-3,6].

x π? x π 已知函数 f(x)=2 3sin + · cos? ?2+4?-sin(x+π). 2 4 (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0,π]上的 6 最大值和最小值. π 3 1 x+ ?+sin x= 3cos x+sin x=2? cos x+ sin x? 【解析】 (1)因为 f(x)= 3sin? ? 2? 2 ?2 ? π? =2sin? ?x+3?,所以 f(x)的最小正周期为 2π. π (2)∵将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象, 6 π? π ?π 7π? π ? π? π ? π? ∴g(x)=f? ?x-6?=2sin[?x-6?+3]=2sin?x+6?.∵x∈[0,π],∴x+6∈?6, 6 ?,∴当 x+6= π? π π ,即 x= 时,sin? ?x+6?=1,g(x)取得最大值 2. 2 3 π? π 7π 1 当 x+ = ,即 x=π 时,sin? ?x+6?=-2,g(x)取得最小值-1. 6 6 3π? 1.函数 y=cos? sin2x 的最小正周期为________. ?2x- 4 ?-2 2· 3π? 3π 3π 2 【解析】y=cos? ?2x- 4 ?- 2(1-cos 2x)=cos 2x cos 4 +sin 2x sin 4 + 2cos 2x- 2= 2 sin 2x+ π? 2 2π cos 2x- 2=sin? ?2x+4?- 2,所以 f(x)的最小正周期 T= 2 =π. 2

π? π? ? 2.函数 y=sin? ?2x+6?+cos?2x-3?的最大值为________. π π π π 【解析】法一:由题意可知 y=sin 2xcos +cos 2xsin +cos 2xcos +sin 2xsin = 3sin 2x+ 6 6 3 3 π? cos 2x=2sin? ?2x+6?,所以最大值为 2. π? π? π? π? ?? ? 法二:y=sin? ?2x+6?+cos ?2x+6?-2 =2sin?2x+6?,所以最大值为 2.

?

?

(天津理)已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ,x ? R . (Ⅰ) 求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ) 求函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. 8 4 (湖南文)已知函数 f ( x) ? 1 ? 2sin 2 ? x ?

? π 3π ? ? ?

? ?

π? π? π? ? ? ? ? 2sin ? x ? ? cos ? x ? ? . 8? 8? 8? ? ?

求: (I)函数 f ( x ) 的最小正周期; (II)函数 f ( x ) 的单调增区间.

(辽宁) 已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ?

? ?

π? π? ? 2 ?x , ,x ? R(其中 ? ? 0 ) ? ? sin ? ? x ? ? ? 2cos 6? 6? 2 ?

(I)求函数 f ( x ) 的值域; (II) (文)若函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? ?1 的两个相邻交点

π ,求函数 y ? f ( x) 的单调增区间. 2 ? 在 △ ABC 中,已知内角 A ? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?
间的距离为 (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求函数 y ? f ( x) 的最大值. 已知 cosα=
1 π 13 ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< ,(Ⅰ)求 tan2α 的值; (Ⅱ)求 β. 7 2 14

(天津文)在 △ ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ? (Ⅰ)求 sin B 的值; (Ⅱ)求 sin ? 2 B ?

4 . 5

? ?

?? ? 的值. 6?
??? ?

(湖北理) 已知 △ ABC 的面积为 3 , 且满足 0≤ AB ? AC ≤ 6 , 设 AB 和 AC 的夹角为 ? . (I) 求 ? 的取值范围; (II)求函数 f (? ) ? 2sin 2 ?

??? ?

?π ? ? ? ? ? 3 cos 2? 的最大值与最小值. ?4 ?

2 已知函数 f ( x) ? sin(? ? ? x)cos ? x ? cos ? x ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? , (Ⅰ)求 ? 的

值; (Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的

1 ,纵坐标不变,得到函数 2

? ? ? y ? g ( x) 的图像,求函数 y ? g ( x) 在区间 ? 0, ? 上的最小值. ? 16 ?

已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos x ?1( x ? R)
2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及在区间 ? 0,

? ?? 上的最大值和最小值; ? 2? ?

(Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

6 ?? ? ? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2 x0 的值。 5 ?4 2?

【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的 性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识,考查基本运算能力,满分 12 分。 (1)解:由 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos x ?1 ,得
2

f ( x) ? 3(2sin x cos x) ? (2 cos 2 x ? 1) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? 因为 f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

?

? ?

??

? ?? ?? ? ? ? 在区间 ?0, ? 上为增函数,在区间 ? , ? 上为减函数,又 6? ? 6? ?6 2?

?? ? f (0) ? 1, f ? ? ? 2, ?6?

?? ? ? ?? f ? ? ? ?1 ,所以函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的最大值为 2,最小值 ?2? ? 2?

为-1 (Ⅱ)解:由(1)可知 f ( x0 ) ? 2sin ? 2 x0 ?

? ?

??
? 6?

又因为 f ( x0 ) ?

6 ?? 3 ? ,所以 sin ? 2 x0 ? ? ? 5 6? 5 ?

由 x0 ? ?

? ? 2? 7? ? ?? ? ? , ? ,得 2 x0 ? ? ? , ? 6 ? 3 6 ? ?4 2?
? ?

从而 cos ? 2 x0 ? 所以

??

?? 4 2? ? ? ? 1 ? sin ? 2 x0 ? ? ? ? 6? 6? 5 ?

?? ?? ?? ?? ? ? ? ? 3? 4 3 ? ? cos 2 x0 ? cos ?? 2 x0 ? ? ? ? ? cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin ? 6 ? 6? 6? 6 6? 6 10 ? ? ??

设 ?ABC 是锐角三角形, a, b, c 分别是内角 A, B, C 所对边长,并且

sin 2 A ? sin(
(Ⅰ)求角 A 的值;

?
3

? B) sin(

?
3

? B) ? sin 2 B 。

(Ⅱ)若 AB?AC ? 12, a ? 2 7 ,求 b, c (其中 b ? c ) 。

??? ? ??? ?


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