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2015年福州中考数学试卷含答案(word版)


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2015 年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试 数学试题 (全卷共 4 页,三大题,26 小题;满分 150 分;考试时间:120 分钟) 友情提示:请把所有答案填写(涂)在答题卡上,请不要错位、越界答题! 毕业学校_______________________姓名_______________考生号__________ 一、选择题(共 10 小题,每题 3 分,满分 30 分;每小题只有一个正确选项. ) 1.a 的相反数是( C ) A.|a| B.

1 a

C.-a

D. a

2.下列图形中,由∠1=∠2 能得到 AB∥CD 的是( B )
A 2 B A 1 2 C D C D 1 2 C B A B

A C

1 2

B D

1

D

A.

B.

C.

D.

? x ? ?1, 3.不等式组 ? 的解集在数轴上表示正确的是( A ) ?x ? 2

-1

0

2

-1

0

2

-1

0

2

-1 0

2

A.

B.

C.

D.

4.计算 3.8 ?107 ? 3.7 ?107 ,结果用科学记数法表示为( D ) A. 0.1?107 A.扇形图 A.-1 B. 0.1?106 B.条形图 C ) C.1 D.-a B.0 C. 1 ? 10 7 C.折线图 D. 1 ? 10 6 ) D.直方图 5.下列选项中,显示部分在总体中所占百分比的统计图是( A 6.计算 a ? a ?1 的结果为(

7.如图,在 3×3 的正方形网格中有四个格点 A,B,C,D,以其中一点 为原点,网格线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系,使其余三个点中 存在两个点关于一条坐标轴对称,则原点是( A.A 点 B.B 点 B ) C.C 点 D.D 点

· A

· B

· C · D

第7题

8.如图,C,D 分别是线段 AB,AC 的中点,分别以点 C,D 为圆心,BC 长为半径画弧,两弧交于点 M,测量∠AMB 的度数, 结果为( A.80? ( C ) A.0 B.2.5 C.3 B ) B.90? C.100?

· · · A C D
第8题

· B

D.105?

9.若一组数据 1,2,3,4,x 的平均数与中位数相同,则实数 x 的值不可能是 D.5

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10.已知一个函数图象经过(1,-4) , (2,-2)两点,在自变量 x 的某个取值范围内, 都有函数值 y 随 x 的增大而减小,则符合上述条件的函数可能是( D A.正比例函数 B.一次函数 C.反比例函数 二、填空题(共 6 小题,每题 4 分,满分 24 分) 11.分解因式 a 2 ? 9 的结果是___(a+3) (a-3)_______. 12.计算(x-1) (x+2)的结果是_____ x 2 ? x ? 2 _____. 13.一个反比例函数图象过点 A(-2,-3) ,则这个反比例函数的解析式是 ____ y ? ) D.二次函数

6 ____. x

14.一组数据:2015,2015,2015,2015,2015 的方差是____0____. 15.一个工件,外部是圆柱体,内部凹槽是正方体,如图所示.其中, 正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上,若圆柱底面周长为 2 ? cm,则正方体的体积为__ 2 2 __cm 3 . 15.如图, 在 Rt△ABC 中,∠ABC=90?, AB=BC= 2 .将△ABC 绕点 C 逆时针旋转 60?,得到△MNC,连接 BM,则 BM 的长是 ___ 3 ? 1 ___. 三、解答题(共 10 题,满分 96 分) 17. (7 分)计算: (?1) 解:原式=-1+
2015

第 15 题

M

C N B 第 16 题 A

+sin30?+ (2 ? 3)(2 ? 3) .

1 1 +1= . 2 2
( a ? b) 2 2ab ? . a2 ? b2 a2 ? b2
C 1 2 3 B 4 D

18. (7 分)化简: 解:原式=

a 2 ? 2ab ? b 2 ? 2ab a2 ? b2 = =1. a 2 ? b2 a2 ? b2

19. (8 分)如图,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AC=AD. 证明:∵∠3=∠4, ∴∠ABC=∠ABD. ∵∠1=∠2,AB=AB, ∴△ABC≌△ABD. ∴AC=AD. 20. (8 分)已知关于 x 的方程 x 2 ? (2m ? 1) x ? 4 ? 0 有两个相等的实数根,求 m 的值. 解:∵方程 x 2 ? (2m ? 1) x ? 4 ? 0 有两个相等的实数根, ∴△= (2m ? 1) 2 ? 16 ? 0 . 解得 m=
第 19 题 A

5 3 ,或 m= ? . 2 2

21. (9 分)有 48 支队 520 名运动员参加篮球、排球比赛,其中每支篮球队 10 人,每 支排球队 12 人,每名运动员只能参加一项比赛,篮球、排球队各有多少支参赛? 解:设有 x 支篮球队参赛,则有(48-x)支排球队参赛. 依题意列方程 10x+12(48-x)=520. 解得 x=28. 专业·严谨·实用·便捷- 2 -

初中数学研究网 所以 48-x=20. 答:篮球、排球队各有 28、20 支参赛.

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22. (9 分)一个不透明袋子中有 1 个红球,1 个绿球和 n 个白球,这些球除颜色外无其 他差别. (1)当 n=1 时,从袋中随机摸出 1 个球,摸到红球和摸到白球的可能性是否相同? (在答题卡相应位置填“相同”或“不相同” ) ; (2)从袋中随机摸出一个球,记录其颜色,然后放回.大量重复该实验,发现摸到绿 球的频率稳定于 0.25,则 n 的值是________; (3)在一个摸球游戏中,所有可能出现的结果如下:

第一次



绿

白1

白2

第二次

绿

白1 白2 红 白1 白2 红

绿 白2 红 绿 白1

根据树状图呈现的结果,求两次摸出的球颜色不同的概率. 解: (1)相同 (2)2 (3)由树状图得一次试验中一共有 12 种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等, 事件“两次摸出的球颜色不同”包含其中的 10 种结果,所以所求概率为 23. (10 分)如图,Rt△ABC 中,∠C=90? ,AC= 5 ,tanB=
⌒ 别交 AC、BC 于点 D、E,得到DE .

10 5 = . 12 6

1 .半径为 2 的⊙C 分 2
C E D A O · B 第 23 题

(1)求证:AB 为⊙C 的切线; (2)求图中阴影部分的面积. 解: (1)过点 C 作 CF⊥AB,F 为垂足. ∵AC= 5 ,tanB= ∴BC= 2 5 . ∴AB= AC 2 ? BC 2 =5.
D A

AC 1 = , BC 2
C E O · F 第 23 题答图 B

1 1 AC·BC= AB·CF. 2 2 5 ?2 5 ∴CF= =2. 5
∵ S ?ABC = ∴点 C 到 AB 的距离等于⊙C 的半径. ∴AB 为⊙C 的切线.

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(2)由(1)得 S ?ABC = 而 S扇形CDE = ? ,

1 AC·BC=5, 2

阴影部分的面积=5- ? . 24. (12 分)定义:长宽比为 n ∶1(n 为正整数)的矩形称为 n 矩形. 下面,我们通过折叠的方式折出一个 2 矩形,如图①所示. 操作 1:将正方形 ABCD 沿过点 B 的直线折叠,使折叠后的点 C 落在对角线 BD 上的点 G 处,折痕为 BH. 操作 2:将 AD 沿过点 G 的直线折叠,使点 A,点 D 分别落在边 AB,CD 上,折痕为 EF. 则四边形 BCEF 为 2 矩形. 证明:设正方形 ABCD 的边长为 1,则 BD= 12 ? 12 ? 2 . 由折叠性质可知 BG=BC=1,∠AFE=∠BFE=90?,则四边形 BCEF 为矩形. ∴∠A=∠BFE. ∴EF∥AD.
A F G D E H B 第 24 题图① C

1 BF BG BF ? ∴ ,即 . ? 1 BD AB 2 1 ∴ BF ? . 2 1 ∴BC∶BF=1∶ = 2 ∶1. 2
∴四边形 BCEF 为 2 矩形. 阅读以上内容,回答下面问题:

(1)在①中,所有与 CH 相等的线段是___GH,GD____,tan∠HBC 的值是 ____ 2 ? 1 ____; (2)已知四边形 BCEF 为 2 矩形,模仿上述操作,得到 四边形 BCMN,如图②, 求证:四边形 BCMN 是 3 矩形. (3)将图②中的 3 矩形 BCMN 沿用(2)中的方式操作 3 次后,得到一个“ n 矩形” ,则 n 的值是____6_____.
B 第 24 题图② F N E M Q C

P

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解: (2) 证明: 设 2 矩形 BCEF 的边长 BF=1, 则 BC= 2 , 则 BE= ( 2 ) 2 ? 12 ? 3 . 由折叠性质可知 BP=BC= 2 ,∠FNM=∠BNM=90?,则四边形 BCMN 为矩形. ∴∠F=∠BNM. ∴MN∥FE. ∴

2 BN BP BN ? ,即 . ? 1 BE BF 3

∴ BN ?

2 . 3 2 = 3 ∶1. 3

∴BC∶BN= 2 ∶

∴四边形 BCMN 为 3 矩形. (3)附录:证明 n 矩形经过上述操作后得到 n ? 1 矩形. 如附录图,设 n 矩形 BCEF 的边长 BF=1,则 BC= n ,则 BE= ( n ) 2 ? 12 ? n ? 1 . 由折叠性质可知 BP=BC= n ,∠FNM=∠BNM=90?,则四 边形 BCMN 为矩形. ∴∠F=∠BNM. ∴MN∥FE. ∴
F N P E M Q C 第 24 题附录图

B

n BN BP BN ? ,即 . ? 1 BE BF n ?1

∴ BN ?

n . n ?1
n = n ? 1 ∶1. n ?1

∴BC∶BN= n ∶

∴四边形 BCMN 为 n ? 1 矩形.

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25. (13 分)如图①,在锐角△ABC 中,D、E 分别为 AB、BC 中点,F 为 AC 上一点, 且∠AFE=∠A,DM∥EF 交 AC 于点 M. (1)求证:DM=DA; (2)点 G 在 BE 上,且∠BDG=∠C,如图②,求证:△DEG∽△ECF; (3)在图②中,取 CE 上一点 H,使∠CFH=∠B,若 BG=1,求 EH 的长.
A

A


D F B E 第 25 题图① C B D



F E 第 25 题图② G C

解: (1)证明:∵DM∥EF, ∴∠AMD=∠AFE. ∵∠AFE=∠A,∴∠AMD=∠A. ∴DM=DA. (2)证明:∵∠DGB=180?-∠B-∠BDG, ∠A=180?-∠B-∠C, ∠BDG=∠C, ∴∠DGB=∠A. ∵∠A=∠AFE, ∴∠DGB=∠AFE. ∵∠DGE=180?-∠DGB, ∠EFC=180?-∠AFE, ∴∠DGE=∠EFC. 又∵DE 是中位线,∴DE∥AC.∴∠DEB=∠C. ∴△DEG∽△ECF. (3)提示:如答图, 由△BDG∽△BED,得 BD 2 ? BG ? BE , 由△EFH∽△ECF,得 EF 2 ? EH ? EC . 由 BD=DA=DM=EF,且 BE=EC, 得 EH=BG=1.
B A


D F G H E 第 25 题答图 C

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26. (13 分)如图,抛物线 y ? x 2 ? 4 x 与 x 轴交于 O、A 两点,P 为抛物线上一点,过 点 P 的直线 y=x+m 与对称轴交于点 Q. (1)这条抛物线的对称轴是___ __,直线 PQ 与 x 轴所夹锐角的度数是______; (2)若两个三角形面积满足 S?POQ = S?PAQ ,求 m 的值; (3) 当点 P 在 x 轴下方的抛物线上时,过点 C(2,2)的直线 AC 与直线 PQ 交于点 D, 求:①PD+DQ 的最大值;②PD·DQ 的最大值.
y y

1 3

O

A x

O

A x

第 26 题图

备用图

解: (1)x=2

45?

(2)设直线 PQ 交 x 轴于点 B,分别在△POQ 和△PAQ 中作 PQ 边上的高 OE 和 AF. 按点 B 的不同位置分三种情况讨论如下: ①如答图①,若点 B 在线段 OA 的延长线上,OE>AF, S?POQ = S?PAQ 不成立. ②如答图②,若点 B 在线段 OA 上, ∵ S?POQ = S?PAQ ,∴

1 3

1 3

OE 1 ? . AF 3

∵OB= 2OE ,AB= 2 AF . ∴AB=3OB. ∵A(4,0) ,∴OA=4. ∴OB=1. ∴B(1,0) . ∵点 B 在直线 y=x+m 上, ∴m=-1. ③若点 B 在线段 AO 的延长线上,与②类似,可得 OB= OA =2.∴B(-2,0) . ∴m=2.

1 2

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综上所述,当 m=-1 或 2 时, S?POQ = S?PAQ .
y

1 3

y

y

Q

B O A x

Q O P E

F A x

P

O

A

x

P

Q

第 26 题答图①

第 26 题答图②

第 26 题答图③

(3)①如答图④,过点 C 作 CH∥x 轴交直线 PQ 于点 H. 则△CHQ 是等腰直角三角形. 由 C(2,2) ,A(4,0)得直线 AC 与 x 轴所夹锐角的 度数为 45?. ∴CD 是等腰直角三角形 CHQ 斜边上的高. ∴DQ=DH. ∴PD+DQ=PH. 过点 P 作 PM⊥CH 于点 M, 则△PMH 也是等腰直角三 角形.∴PH= 2 PM .
第 26 题答图④ O P Q M C H D A x y

∵点 P 在抛物线 y ? x 2 ? 4 x 上,设它的横坐标为 n,则它的纵坐标为 n 2 ? 4n . ∴点 M 的纵坐标为 2,∴PM= ? n 2 ? 4n ? 2 . 配方,得 ? n 2 ? 4n ? 2 = ? (n ? 2) 2 ? 6 . ∵0<n<4, ∴当 n=2 时,PM 取得最大值是 6. ∵PD+DQ= PH= 2 PM ,∴PD+DQ 的最大值为 6 2 . ②由①可得 PD+DQ≤ 6 2 . 设 PD=a,则 DQ≤ 6 2 -a. ∴PD·DQ≤ a(6 2 ? a) = ? a 2 ? 6 2a = ? (a ? 3 2 )2 ? 18 . ∵a 的取值范围是 0<a≤

25 2, 8
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∴当 a= 3 2 时,PD·DQ 的最大值为 18. 附加说明: (对 a 的取值范围的说明) 设点 P 的坐标为(n, n 2 ? 4n ) ,延长 PM 交 AC 于点 N.

2 2 2 2 PN = [4 ? n ? (n 2 ? 4n)] = ? (n ? 3n ? 4) = 2 2 2 2 3 25 ? (n ? ) 2 ? 2. 2 2 8 2 ∵? <0,0<n<4, 2 3 25 ∴当 n= 时,a 有最大值为 2. 2 8 25 ∴0<a≤ 2. 8
PD=a= 说明:本卷解答由张越初中数学提供,仅供参考!如有疏漏或谬误之处,尚祈专家、同 行不吝指教!

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