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2013届高三数学一轮复习讲义 平面向量的概念及线性运算教案 新人教A版


平面向量的概念及线性运算
自主梳理 1.向量的有关概念 (1)向量的定义:既有__大小____又有__方向____的量叫做向量.平面向量是自由向量 (2)表示方法: 用 有向线段 来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,箭头 → → 所指的方向表示向量的方向. 用字母 a,b,?或用AB,BC,?表示. (3)模:向量的__长度____叫向量的模,记作___ |a|__或__ AB __. 向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系. 同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、 方向相同的向量是相等的.向量只 有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. (4)零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作 0;零向量的方向是__任意的___. (5)单位向量:长度为_1 个___单位长度的向量叫做单位向量.与 a 平行的单位向量 e= __±

??? ?

a ___. |a|

(6)平行向量:方向__相同___或__相反__的__非零___向量;平行向量又叫___ 共线向量 _________,任一组平行向量都可以移到同一直线上.规定:0 与任一向量_平行 __. 向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线和重合的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行 证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. (7)相等向量:长度___相等___且方向__相同___的向量. 2.向量的加法运算及其几何意义 → → (1)已知非零向量 a,b,在平面内任取一点 A,作AB=a,BC=b,则 → 向量AC叫做 a 与 b 的 和 ,记作 a+b , → → → 即 a+b =AB+BC= AC , 这种求向量和的方法叫做向量加法的 三角形法则 .? (2)以同一点 O 为起点的两个已知向量 a,b 为邻边 → 作平行四边形 OACB,则以 O 为起点的对角线OA就是 a 与 b 的和, 这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 平行四边形法则

.

(3)加法运算律 a+b=___ b+a _____ (交换律); (a+b)+c=__ a+(b+c)__________(结合律). 3.向量的减法及其几何意义 (1)相反向量 与 a____长度相等__、____方向相反__的向量,叫做 a 的相反向量,记作__-a ____. (2)向量的减法

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1

① 定义 a-b=a+__(-b) __,即减去一个向量相当于加上这个向量的__相反向量____. → → → → ② 图,AB=a, AD=b,则AC= a+b , ,DB=__ a-b ____.

4.向量数乘运算及其几何意义 (1)定义:实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作__λ a ____,它的长度与方向规定如下: ①|λ a|=___|λ ||a| ___; ②当 λ >0 时,λ a 与 a 的方向__相同____;当 λ <0 时,λ a 与 a 的方向__相反______;当 λ =0 时,λ a=____. (2)运算律 设 λ ,μ 是两个实数,则 ① λ (μ a)=__(λ μ )a ___.(结合律) ② (λ +μ )a=__λ a+μ a ___.(第一分配律) ③λ (a+b)=__λ a+λ b ____.(第二分配律) (3)两个向量共线定理:向量 b 与 a (a≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ ,使 b= λ a. 5.重要结论 → 1 → → → PG= (PA+PB+PC)?G 为△ABC 的___重心__; 3 → → → PA+PB+PC=0?P 为△ABC 的___重心___. 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ ,使得___ b =λ a _. 自我检测 1.设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC =16 ,| AB ? AC = AB ? AC ,|则 → |AM|等于 A.8 1. ( B.4 C.2 ) D.1

??? 2 ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

2.下列四个命题: ①对于实数 m 和向量 a,b,恒有 m(a-b)=ma-mb; ②对于实数 m 和向量 a,b (m∈R),若 ma=mb,则 a=b; ③若 ma=na (m,n∈R,a≠0),则 m=n; ④若 a=b,b=c,则 a=c, 其中正确命题的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.C [①根据实数与向量积的运算可判断其正确;②当 m=0 时,ma=mb=0,但 a 与 b 不 一定相等,故②错误;③正确;④由于向量相等具有传递性,故④正确.] 3.如图,正六边形 ABCDEF 中, BA+ CD + EF =(

??? ??? ??? ? ?
??? ?

)

A.0

B. BE

??? ?

C. AD

??? ? D. CF
用心 爱心 专心 2

4.设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC + BA=2 BP ,则(

??? ??? ?

??? ?

)

??? ??? ? A. PA ? PB =0 ? ??? ??? ? C. PB + PC =0

??? ??? ? B. PC + PA=0

??? ??? ??? ? ? D. PA ? PB + PC =0

→ → → → → 5.在平行 ABCD 中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M 为 BC 的中点,则MN等于 ( ) 1 1 1 1 A.- a+ b B.- a+ b 4 4 2 2 1 3 3 C.a+ b D.- a+ b 2 4 4 → → → → A [由AN=3NC得 4AN=3AC=3(a+b), 1 1 1 → → 3 ? 1 ? 又AM=a+ b,所以MN= (a+b)-?a+ b?=- a+ b.] 2 4 4 4 ? 2 ? ???? ? → → → → → 6.已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0.若存在实数 m 使得AB+AC=m AM 成立,则 m 等 于 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 B [由题目条件可知,M 为△ABC 的重心,连接 AM 并延长交 BC 于 D, → 2→ 则AM= AD,① 3 → → → → → → 因为 AD 为中线,AB+AC=2AD=mAM,即 2AD=mAM,② 联立①②可得 m=3.] → → → 7.在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,若AC=λ AE+μ AF,其中 λ 、 μ ∈R,则 λ +μ =______. → → 解析 设AB=a,AD=b, 1 → 1 → → 那么AE= a+b,AF=a+ b,又∵AC=a+b, 2 2 →

AC= (AE+AF),即 λ =μ = ,∴λ +μ = .
例 1 ①有向线段就是向量,向量就是有向线段; ②向量 a 与向量 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; → → ③向量AB与向量CD共线,则 A、B、C、D 四点共线; ④如果 a∥b,b∥c,那么 a∥c. ⑤a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b. 以上命题中正确的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.0 [①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段; ②不正确,若 a 与 b 中有一个为零向量时也互相平行,但零向量的方向是不确定的,故两向 量方向不一定相同或相反; ③不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行; ④不正确,如果 b=0 时,则 a 与 c 不一定平行. 探究提高 (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键. (2)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (3)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.

2 → 3



2 3

4 3

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3

(4)向量可以平移, 平移后的向量与原向量是相等向量.解题时, 不要把它与函数图象移动混 为一谈. (5)非零向量 a 与

a a 的关系是: 是 a 方向上的单位向量. |a| |a|

变式训练 1 (1)下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号). ①|a|=|b|? a=b; ②若 a=b,b=c,则 a=c; ③|a|=0? a=0; ④若 a=b,则|a|=|b|;⑤若 λ =0,则 λ a=0; → → ⑥若 A、B、C、D 是不共线的四点,则AB=DC?四边形 ABCD 是平行四边形. ⑦若将所有的单位向量都平移到同一个起点,则它们的终点在同一个单位圆上. 变式训练 1 解析 ①模相同,方向不一定相同,故①不正确; ②两向量相等,要满足模相等且方向相同,故向量相等具备传递性,②正确; ③ 只有零向量的模才为 0,故③正确; → → ⑥④AB=DC,即模相等且方向相同,即平行四边形对边平行且相等.故⑥正确. 故应选②③④⑤⑥⑦. (2)判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量 a 与 b 同向,且|a|>|b|,则 a>b; (2)若|a|=|b|,则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且 a 与 b 方向相同,则 a=b; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量 a 与向量 b 平行,则向量 a 与 b 的方向相同或相反; (6)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (7)任一向量与它的相反向量不相等. 解 (1)不正确,因为向量只讨论相等和不等,而不能比较大小.(2)不正确,因为向量模

相等与向量的方向无关.(3)正确.(4)不正确,因为规定零向量与任意向量平行.(5)不正确, 因为两者中若有零向量, 零向量的方向是任意的.(6)正确. 对于一个向量只要不改变其大小 与方向,是可以任意平行移动的. (7)不正确,因为零向量可以与它的相反向量相等. 二 向量的线性运算 例 2 在△ABC 中,D、E 分别为 BC、AC 边 上的中点,G 为 BE 上一点,且 GB=2GE, → → → → 设AB=a,AC=b,试用 a,b 表示AD,AG. 1 → 1 → → 1 解 AD= (AB+AC)= a+ b; 2 2 2

AG=AB+BG=AB+ BE=AB+ (BA+BC)= AB+ (AC-AB)



→ → → 2→ 3



1 → → 3

2→ 3

1 → → 3

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1→ 1→ 1 1 = AB+ AC= a+ b. 3 3 3 3

探究提高 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系,能熟练地找出图 形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化. (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位置;②寻找相应的三 角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果. 变式训练2 (1)在△ABC 中,E、F 分别为 AC、AB 的

→ → 中点,BE 与 CF 相交于 G 点,设AB=a,AC=b, → 试用 a,b 表示AG.

? ??? 1 ???? ? → → → → → ??? 解 AG=AB+BG=AB+λ BE= AB ? ? ( BA ? AC ) 2
= AB ? ? ( ? AB ?

??? ?

??? ?

? 1? 1 ???? AC ) = (1 ? ? )a ? b . 2 2

→ → → → → → m → → 又AG=AC+CG=AC+mCF=AC+ (CA+CB) 2 → m→ m =(1-m)AC+ AB= a+(1-m)b, 2 2

?1-λ =m ? 2 ∴? λ ? ?1-m= 2

2 1 → 1 ,解得 λ =m= ,∴AG= a+ b. 3 3 3

(2)如图所示,若四边形 ABCD 是一个等腰梯形,AB∥DC,M、N 分别是 DC、AB 的中点,已知 → → → → → → → AB=a,AD=b,DC=c,试用 a、b、c 表示BC,MN,DN+CN. 变式迁移 2 解

BC=BA+AD+DC

→ → →



题型三 共线向量问题 例 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线,

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5

→ → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A、B、D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. → → → (1)证明 ∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b), → → → ∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b) → =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB. → → ∴AB、BD共线,又∵它们有公共点 B, ∴A、B、D 三点共线. (2)解 ∵ka+b 与 a+kb 共线, ∴存在实数 λ ,使 ka+b=λ (a+kb), 即 ka+b=λ a+λ kb.∴(k-λ )a=(λ k-1)b. ∵a、b 是不共线的两个非零向量, ∴k-λ =λ k-1=0,∴k -1=0.∴k=±1.
2

探究提高 (1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区 别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. (2)向量 a、b 共线是指存在不全为零的实数 λ 1,λ 2,使 λ 1a+λ 2b=0 成立,若 λ 1a+λ 2b =0,当且仅当 λ 1=λ 2=0 时成立,则向量 a、b 不共线. 变式训练3 (1) 设两个非零向量 e1 和 e2 不共线. → → → ①如果AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,求证:A、C、D 三点共线; → → → ②如果AB=e1+e2,BC=2e1-3e2,CD=2e1-ke2,且 A、C、D 三点共线,求 k 的值. → → → (1)证明∵AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2, 1 1→ → → → ∴AC=AB+BC=e1-e2+3e1+2e2=4e1+e2= ? (-8e1-2e2) = ? CD.

2

2

→ → → → ∴AC与CD共线.又∵AC与CD有公共点 C,∴A、C、D 三点共线. → → → (2)AC=AB+BC=(e1+e2)+(2e1-3e2) =3e1-2e2,∵A、C、D 三点共线, → → → → ∴AC与CD共线.从而存在实数 λ 使得AC=λ CD 即 3e1-2e2=λ (2e1-ke2).
? ?3=2λ , 由平面向量的基本定理得? ?-2=-λ k. ?

?λ =3, ? 2 解之,得? 4 ?k=3. ?

4 ∴k 的值为 . 3

1 (2)如图所示,△ABC 中,在 AC 上取一点 N,使得 AN= AC,在 AB 上取一点 M,使得 AM= 3
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1 1 AB,在 BN 的延长线上取点 P,使得 NP= BN,在 CM 的延长 3 2 → → → → 线上取点 Q,使得MQ=λ CM时,AP=QA,试确定 λ 的值. → → → 1 → → 解:∵AP=NP-NA= (BN-CN) 2 1 → → 1→ = (BN+NC)= BC, 2 2 → → → 1→ → QA=MA-MQ= BM+λ MC, 2 1→ → → → 1→ 又∵AP=QA,∴ BM+λ MC= BC, 2 2 1 → 1→ 即 λ MC= MC,∴λ = . 2 2 → → (3)如图所示,平行四边形 ABCD 中,AD=b,AB=a,M 为 AB 中点,N 为 BD 靠近 B 的三等分 点,求证:M、N、C 三点共线. 证明 → → → → → → 在△ABD 中BD=AD-AB.因为AB=a, AD=b,所以BD=b-a.

→ → 由共线向量定理知:CM∥CN, → → 又∵CM与CN有公共点 C,∴M、N、C 三点共线.

(4)设 OA,OB 不共线,点 P 在 AB 上,求证:OP =λ OA+μ ∈R. 证明:∵P 在 AB 上,∴ AP 与 AB 共线. ??? ??? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ∴ AP =t AB .∴ OP - OA=t( OB - OA ).

? ??? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ? OB 且 λ

+μ =1,λ ,μ

??? ?

??? ?

∴ OP = OA+t OB -t OA =(1-t) OA +t OB .

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? 设 1-t=λ ,t=μ ,则 OP =λ

??? ? ??? ? OA+μ OB 且 λ

+μ =1,λ ,μ ∈R.

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用方程思想解决平面向量的线性运算问题 → 1→ → 1→ 如图所示,在△ABO 中,OC= OA, OD= OB,AD 与 BC 4 2 → → → 相交于点 M,设OA=a, OB=b.试用 a 和 b 表示向量OM.



→ 设OM=ma+nb,

→ → → 则AM=OM-OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb.

AD=OD-OA= OB-OA=-a+ b.
→ → 又∵A、M、D 三点共线,∴AM与AD共线. 1 ? → → ? ∴存在实数 t,使得AM=tAD,即(m-1)a+nb=t?-a+ b?. 2 ? ? 1 ∴(m-1)a+nb=-ta+ tb. 2



→ → 1→ → 2

1 2

?m-1=-t ? ∴? t ?n=2 ?

,消去 t 得,m-1=-2n,即 m+2n=1.①

1 → → → ? 1? 又∵CM=OM-OC=ma+nb- a=?m- ?a+nb, 4 ? 4?

CB=OB-OC=b- a=- a+b.
→ → 又∵C、M、B 三点共线,∴CM与CB共线. → → ? 1? ? 1 ? ∴存在实数 t1,使得CM=t1CB,∴?m- ?a+nb=t1?- a+b?, ? 4? ? 4 ?



→ →

1 4

1 4

?m-1=-1t1 ? 4 ∴? 4 ?n=t1 ?

,消去 t1 得,4m+n=1.②

1 3 3 → 1 由①②得 m= ,n= ,∴OM= a+ b. 7 7 7 7 变式训练 4
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综合问题 如图,OM∥AB,点 P 在由射线 OM、线段 OB 及 AB 的延长线围成 的阴影区域内(不含边界)运动,且OP=xOA+yOB,则 x 的取值范围是 1 ________;当 x=- 时,y 的取值范围是________. 2 解析:由题意得:OP=a?OM+b?OB (a,b∈R ,0<b<1) = a?λ AB + b? OB (λ >0)= aλ ( OB - OA )+ b? OB =-α λ ? OA +(α λ + b)? OB .由-



























aλ <0,求得 x∈(-∞,0). → → → 1 1 ?1 3? 又由OP=xOA+yOB,则有 0<x+y<1,当 x=- 时,有 0<- +y<1,求得:y∈? , ?. 2 2 ?2 2?

?1 3? 答案:(-∞,0) ? , ? ?2 2?
变式训练 5 如图,平面内有三个向量 , , OC , 其中 OA与OB 的夹角为 120 , OA OB ???
0

??? ??? ??? ? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? | OB OC OA与OC 的夹角为 300, 且 | OA ? | |? 1,| |? 2 3, ??? ? ??? ? ??? ? OC ? ? OA + ? OB(? , ? ? R), 则 ? ? ? 的值是_6__.

F B O A

C

E

在△ABC 中, O 是△ABC 的重心.∠A,∠B, ∠C 的对边分别为 a,b,c,若aOA ? bOB ? cOC ? 0, 求证△ABC 是等边三角形.

??? ?

??? ?

??? ?

?

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平面向量的概念及线性运算练习一 一、选择题 1.若 O、E、F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 ( ) → → → → → → → → → → → → A.EF=OF+OE B.EF=OF-OE C.EF=-OF+OE D. EF=-OF-OE → → → 2. 已知 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边中点,且 2OA+OB+OC=0,那么( ) → → A.AO=OD → → C.AO=3OD ? ? ??? ??? ??? ? 3.如图,正六边形 ABCDEF 中, BA + CD + EF = A.0
??? ? B. BE ??? ? C. AD

→ → B.AO=2OD

→ → D.2AO=OD ( )

BC + BA =2 BP , 4. 设 P 是△ABC 所在平面内的一点, 则(
A.P、A、B 三点共线 C.P、B、C 三点共线 B.P、A、C 三点共线 D.以上均不正确

??? ?

??? ? D.CF

??? ?

??? ?

)

5.已知向量 a,b 不共线,c=ka+b (k∈R),d=a-b.如果 c∥d,那么 A.k=1 且 c 与 d 同向 C.k=-1 且 c 与 d 同向 B.k=1 且 c 与 d 反向 D.k=-1 且 c 与 d 反向

(

)

→ → → 1→ → 6.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,AD=2DB,CD= CA+λ CB,则 λ 等于( 3 2 1 1 2 A. B. C.- D.- 3 3 3 3



7. 在△ABC 中,M 为边 BC 上任意一点,N 为 AM 中点, AN =λ AB +μ AC ,则 λ +μ 的值为( 1 A. 2 ) B. 1 3
??? ?
??? ?

????

??? ?

????

1 C. 4
??? ?
??? ?

D.1 )

8.在四边形 ABCD 中, AB = DC ,且 AC ? BD =0,则四边形 ABCD 是 ( A.矩形 B.菱形 C.直角梯形 D.等腰梯形

9.如图,e1,e2 为互相垂直的单位向量,则 向量 a-b 可表示为 ( ) A.3e2-e1 B.-2e1-4e2 C.e1-3e2 D.3e1-e2 10.已知向量 p= + ,其中 a、b 均为非零向量, |a| |b| 则|p|的取值范围是 ( A.[0, 2] ) B.[0,1] C.(0,2] D.[0,2]

a

b

???? → → → 11.化简:(1)AB+BC+CD=___ AD _____; ??? ? → → → (2)AB-AD-DC=___ CB _____; ? → → → → (3)(AB-CD)-(AC-BD)=____ 0 ____.
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→ |AB| → → → 12.已知在平面上不共线的四点 O、A、B、C,若OA-3OB+2OC=0,则 =__2______. → |BC| 13.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的 两个向量是共线向量;④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. → → → → → 14.已知 D 为三角形 ABC 边 BC 的中点,点 P 满足PA+BP+CP=0,AP=λ PD,则实数 λ 的值 为_____-2____. 15.已知|a|=3,|b|=5,且 a=λ b,则实数 λ 的值是____ __. 3 解析:∵a=λ b,∴a 与 b 共线,λ =± . 5 16.已知 a,b 是不共线的向量,若 AB =λ 1a+b, AC =a+λ 2b(λ 1,λ 2∈R),则 A、B、

??? ?

??? ?

C 三点共线的充要条件为_____.
解析:A、B、C 三点共线? AB ∥ AC ?λ 1λ 2-1?1=0? λ 1λ 2=1. 17.已知|a|=6,|b|=8,且|a + b|=|a - b|,则|a - b|= __10______. 18.已知 3x+4y=a,2x-3y=b,其中 a,b 为已知向量,则向量

??? ?

??? ?

x=________,y=________.
3 4 答案: a+ b 17 17 2 3 a- b 17 17

19.设两个非零向量 a 与 b 不共线, ??? ? ??? ? ??? ? (1)若 AB =a+b, BC =2a+8b,CD =3(a-b),求证:A、B、D 三点共线. (2) 试判断 A、C、D 三点是否共线,并说明理由. (3)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. 解 (1)∵ AB =a+b, BC =2a+8b,

??? ?

??? ?

∴ BD = BC + CD =2a+8b+3(a-b), =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5 AB . ∴ AB 、 BD 共线,又∵它们有公共点 B,∴A、B、D 三点共线. (2)解:A、C、D 三点不共线. ∵ AB =a+b,BC=2a+8b, ??? ??? ??? ? ? ? ∴ AC = AB + BC =a+b+2a+8b=3a+9b. ??? ? 而 CD =3a-3b, ??? ? ??? ? 假设存在 λ ∈R,使得 AC =λ CD , 即 3a+9b=3λ a-3λ b.

??? ??? ??? ? ? ?
??? ?

??? ? CD =3(a-b),

??? ?

??? ?

??? ?

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? ?3=3λ , 则? ?9=-3λ ?

显然满足上述条件的实数 λ 不存在,故 A、C、D 三点不共线.

(3)∵ka+b 与 a+kb 共线, ∴存在实数 λ ,使 ka+b=λ (a+kb),即 ka+b=λ a+λ kb. ∴(k-λ )a=(λ k-1)b. ∵a、b 是不共线的两个非零向量, 2 ∴k-λ =λ k-1=0,∴k -1=0,∴k=±1.

??? ? ??? ? ??? ? 20.设两个非零向量 e1 和 e2 不共线.如果 AB =e1+e2, BC =2e1-3e2,CD =2e1-ke2,且
A、C、D 三点共线,求 k 的值. ? ? ??? ??? ??? ? AC = AB + BC =(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2, ? ??? ??? ? ∵A、C、D 三点共线,∴ AC 与 CD 共线,从而存在实数 λ 使
?3=2λ , ??? ? ??? ? ? 得 AC =λ CD ,即 3e1-2e2=λ (2e1-ke2),得? ? ?-2=-λ k,

3 4 解得 λ = ,k= . 2 3

平面向量的概念及线性运算练习二 1.给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量; ②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小; ③λ a=0 (λ 为实数),则 λ 必为零;④λ ,μ 为实数,若 λ a=μ b,则 a 与 b 共线. 其中错误命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 ( )

2.平面向量 a,b 共线的充要条件是 ( ) A.a,b 方向相同 B.a,b 两向量中至少有一个为 0 C.存在 λ ∈R,使 b=λ a D.存在不全为零的实数 λ 1,λ 2,使 λ 1a+λ 2b=0 解析:a,b 共线时,a,b 方向相同或相反,故 A 错.a,b 共线时,a,b 不一定是零向量, 故 B 错.当 b=λ a 时,a,b 一定共线,若 b≠0,a=0,则 b=λ a 不成立,故 C 错.排除 A、B、C. 3.下列命题是假命题的是 A.对于两个非零向量 a、b,若存在一个实数 k 满足 a=kb,则 a、b 共线 B.若 a=b,则|a|=|b| C.若 a、b 为两个非零向量,则|a+b|>|a-b| D.若 a、b 为两个方向相同的向量,则|a+b|=|a|+|b| 4.设 a,b 是任意的两个向量,λ ∈R,给出下面四个结论: ①若 a 与 b 共线,则 b=λ a;②若 b=-λ a,则 a 与 b 共线; ③若 a=λ b,则 a 与 b 共线;
用心 爱心 专心 12

(

)

④当 b≠0 时,a 与 b 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ =λ 1,使得 a=λ 1b. 其中正确的结论有 ( A.①② B.①③ C.①③④ D.②③④

)

5.已知点 O,N 在△ABC 所在平面内,且| OA |=| OB |=| OC |, NA + NB + NC =0, 则点 O,N 依次是△ABC 的( A.重心 外心 ) C.外心 重心 D.外心 内心

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

B.重心 内心

??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ???? 解析:由| OA |=| OB |=| OC |知,O 为△ABC 的外心; NA + NB + NC =0,知,N 为
△ABC 的重心. 答案:C

6. 已知△ABC 中, D 是 BC 的中点,过点 D 的直线分别交直线 AB、AC 于 E、F 两点, AB 点 若

??? ?

???? ??? ? ???? 1 4 =λ AE (λ >0), AC =μ AF (μ >0),则 + 的最小值是( λ μ
A.9 B. 7 2 C.5 9 D. 2

)

解析:由题意得, AB + AC =2 AD =λ AE +μ AF ? AD = λ 2 μ 2 1 λ 4 μ λ 2 μ 2 1 λ

??? ?

????

??? ?

??? ?

????

??? ?

? μ ???? λ ??? AE + AF ,又 D、 2 2
4 μ 5 2λ μ 5 + ≥ + 2 μ 2λ 2

E、 在同一条直线上, F 可得 + =1.所以 + =( + )( + )= +
9 2= ,当且仅当 2λ =μ 时取等号. 2 答案:D

? ??? ??? ??? ? ??? ? 7.已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足 PA+ PB + PC = AB ,则点 P 与△
ABC 的关系为
( ) A.P 在△ABC 内部 B.P 在△ABC 外部

??? ??? ??? ??? ? ? ? 解析:∵ PA+ PB + PC = AB ,
∴P 是 AC 边的一个三等分点.

C.P 在 AB 边所在直线上

D.P 是 AC 边的一个三等分点

? ? ??? ??? ? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ∴ PA+ PB + PC = PB - PA,∴ PC =-2 PA=2 AP ,
→ → → → 8.O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足OP=OA+λ (AB+AC), λ ∈(0,+∞),则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( ) A.外心 B.垂心 C.内心 D.重心 → → → 9.已知 P 是△ABC 所在平面内的一点,若CB=λ PA+PB,其中 λ ∈R,则点 P 一定在( A.△ABC 的内部 B.AC 边所在直线上 C. AB 边所在直线上
用心 爱心 专心

)

D.BC 边所在直线上
13

→ → 10.O 是平面上一定点, A 、 B 、 C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足: OP = OA +λ → ? ? → ? AB + AC ?,λ ∈[0,+∞),则 P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( ?|→| |→|? AC ? ? AB A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 )

解:由条件得=λ ,因与都是单位向量,故点 P 在∠BAC 的平分线上,所以点 P 的轨迹通过△

ABC 的内心.选 B.
11.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交于 → → → 点 F.若AC=a,BD=b,则AF= ( ) 1 1 1 2 1 1 2 1 A. a+ b B. a+ b C. a+ b D. a+ b 4 2 3 3 2 4 3 3 2→ 1 2 1 → → → 解析:∵AF=AC+CF=a+ CD=a+ (b-a)= a+ b.故选 D. 3 3 3 3

→ → → 12.设 a、b 是两个不共线向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若 A、B、D 三点共线, 则实数 p 的值为___-1_______.

13.已知向量 a , b 是两个非零向量,则在下列四个条件中,能使 a 、 b 共线的条件是 _________(将正确的序号填在横线上). ①2a-3b=4e,且 a+2b=-3e; ②存在相异实数 λ 、μ ,使 λ ?a+μ ?b=0; → → ③x?a+y?b=0(实数 x,y 满足 x+y=0);④若四边形 ABCD 是梯形,则AB与CD共线.

???? 1 λ -1 → → → → 14.已知 OP1 =a,OP2=b,P1P2=λ PP2,则OP=_________. a+ b λ λ

λ -1 1 λ -1 =a+ (b-a)= a+ b. λ λ λ → → 15.如图,以向量OA=a,OB=b 为边作?OADB, →

BM= BC,CN= CD,用 a、b 表示OM、ON、MN.
解 1 → → → → 1→ 1 ∵BA=OA-OB=a-b, BM= BA= a- b, 6 6 6

1→ → 1→ 3 3

→ → →

用心 爱心 专心

14

5 → → → 1 → ∴OM=OB+BM= a+ b.又OD=a+b, 6 6 → → 1→ 1→ 1→ 2→ 2 ∴ON=OC+ CD= OD+ OD= OD= (a+b). 3 2 6 3 3 2 1 5 1 1 → → → 2 ∴MN=ON-OM= a+ b- a- b= a- b. 3 3 6 6 2 6 5 1 → 1 → 2 2 → 1 即OM= a+ b,ON= a+ b, MN= a- b. 6 6 3 3 2 6

1 16.若 a,b 是两个不共线的非零向量,a 与 b 起点相同,则当 t 为何值时,a,tb, (a+b) 3 三向量的终点在同一条直线上? 解 → → → 1 设OA=a,OB=tb,OC= (a+b), 3 2 1 → → → ∴AC=OC-OA=- a+ b, 3 3

AB=OB-OA=tb-a.
→ → 要使 A、B、C 三点共线,只需AC=λ AB. 2 1 即- a+ b=λ tb-λ a. 3 3 2 ?-3=-λ , ? ∴有? 1 ?3=λ t, ?



→ →

?λ =2, ? 3 ?? 1 ?t=2. ?

1 ∴当 t= 时,三向量终点在同一直线上. 2

平面向量的概念及线性运算练习三 → → → 1.若△ABC 满足|CB|=|AB+AC|,则△ABC 的形状必定为 ( A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形

) D.等边三角形

2.命题 p:a 与 b 是方向相同的非零向量,命题 q: a 与 b 是两平行向量,则命题 p 是命题 q 的( ) B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

A.充分不必要条件

→ → → → 3. ABC 所在平面上有一点 P, PA+PB+PC=AB, PBC 与△ABC 的面积之比是( 在△ 满足 则△

用心 爱心 专心

15

1 A. 3

1 B. 2

2 C. 3

3 D. 4

4.设 A1,A2,A3,A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若 A

????? ????? A3 =λ A1 A2 1

(λ ∈R),

????? ????? A1 A4 =μ A1 A2

1 1 (μ ∈R), + =2, 且 则称 A3,4 调和分割 A1,2.已知平面上的点 C(c,0), A A λ μ ( )

D(d,0)(c,d∈R)调和分割点 A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是
A.C 可能是线段 AB 的中点 C.C,D 可能同时在线段 AB 上

B.D 可能是线段 AB 的中点 D.C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上

解 依题意,若 C,D 调和分割点 A,B,则有 AC =λ

??? ?

? ??? ??? ? ??? ? 1 1 AB , AD =μ AB ,且λ +μ =2.

? ??? 1 ??? ? 若 C 是线段 AB 的中点,则有 AC = AB , 2
1 1 1 1 此时 λ = .又 + =2,∴ =0,不可能成立. 2 μ λ μ 因此选项 A 不正确,同理 B 也不正确. 若 C,D 同时在线段 AB 上,由 AC =λ

??? ?

??? ???? ? ??? ? AB , AD =μ AB 知 0<λ

1 <1,0<μ <1,此时 λ

1 1 1 + >2,与已知 + =2 矛盾,因此选项 C 不正确. μ λ μ 若 C,D 同时在线段 AB 的延长线上,则 AC =λ

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? AB 时,λ >1, AD =μ AB 时,μ >1,

1 1 1 1 此时 + <2,与已知 + =2 矛盾,故 C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上. λ μ λ μ

5.设 a,b 是两个不共线的非零向量,若 8a+kb 与 ka+2b 共线,则实数 k=__±4______. 解析: 因为 8a+kb 与 ka+2b 共线, 所以存在实数 λ , 8a+kb=λ (ka+2b), 使 即(8-λ k)a
?8-λ k=0, ? +(k-2λ )b=0.又 a,b 是两个不共线的非零向量,故? ? ?k-2λ =0,

解得 k=±4.

6.如图所示,平面内的两条相交直线 OP1 和 OP2 将该平面分割成四个部 分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界).若 OP =a OP 1 +b OP 2 ,且点 P 落在 第Ⅲ部分,则实数 a,b 满足

??? ?

??? ?

??? ?

a________0,b________0(用“>”,“<”或“=”填空).
解析:由于点 P 落在第Ⅲ部分,且 OP =a OP 1 +b OP 2 , 则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知 a>0,b<0. 答案:> < 7.设向量 a,b 满足|a|=2 5,b=(2,1),且 a 与 b 的方向相反,则 a 的坐标为_(-4,- 2)_______.
用心 爱心 专心 16

??? ?

??? ?

??? ?

解析:设 a=(x,y),x<0,y<0,则 x-2y=0 且 x +y =20,解得 x=4,y=2(舍去), 或者 x=-4,y=-2,即 a=(-4,-2).

2

2

??? ? ??? ? ??? ? 8.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 OB =a1OA+a200 OC ,且 A,B,C 三点共线(该直线 不过原点 O),则 S200=_100_____
→ 1→ 9.如图,在△ABC 中,AN= NC,P 是 BN 上的一点, 3 3 → → 2→ 若AP=mAB+ AC,则实数 m 的值为____ _____. 11 11

10.如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交 → → → → 直线 AB、AC 于不同的两点 M、N,若AB=mAM,AC=nAN,则

m+n 的值为____.
解析 方法一 若 M 与 B 重合,N 与 C 重合, 则 m+n=2. 方法二 ∵2=+=m+n, = = .∵O、M、N 共线,∴ + =1. ∴m+n=2. 2 2 2 2 2 2 11. 已知直线 x+y=a 与圆 x +y =4 交于 A、B 两点, → → → → 且|OA+OB|=|OA-OB|,其中 O 为坐标原点,则实数 a 的值为___±2_____.

m m

m n

12.如下图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若 →

AD=xAB+yAC,则 x=______,y=__________.
作 DF⊥AB 交 AB 的延长线于 F,设 AB=AC=1? BC=DE= 2,∵∠DEB=60°,∴BD= 由∠DBF=45°, 6 2 3 得 DF=BF= ? = , 2 2 2 3→ → 3→ → 所以BF= AB ? FD= AC, 2 2 → → → → 所以AD=AB+BF+FD=( 1 ? 3→ 3 → )AB+ AC. 2 2 6 . 2





14.△ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,OH=m(OA+OB+OC),则实数 m =________. 解析:如图所示,连接 BO,并延长交圆 O 于点 D,连接 CH,CD,



→ → →

AD,则∠BCD=∠BAD=90°,∴CD⊥BC,AD⊥AB.又 H 为△ABC

用心 爱心 专心

17

的垂心,∴AH⊥BC,CH⊥AB. ∴CD∥AH,AD∥HC. ∴四边形 AHCD 为平行四边形. ∴AH=DC =OC-OD. ∵O 为 BD 的中点,∴OB=-OD. ∴OH=OA+AH=OA+OC-OD=OA+OB+OC. ∴m=1.故填 1. 1 → → → 15.设 O 是△ABC 内部一点,且OA+OC=-2OB,则△AOB 与△AOC 的面积之比为___ _____. 2 三、解答题 16.如图,在△ABC 中,





→ →





→ → → → → → → → →

AM

1 AN 1 → → ? , ? , BN 与 CM 交于 P 点,且AB=a,AC=b.用 a, , AB 3 AC 4

b 表示AP.
→ 1→ 1 → 1→ 1 → → → 1 → → → 1 解析:由题意知:AM= AB= a,AN= AC= b,BN=AN-AB= b-a,CM=AM-AC= a-b. 3 3 4 4 4 3 λ μ 1 λ → → → → → → → → → 设PN=λ BN,PM=μ CM,则PN= b-λ a,PM= a-μ b,∴AP=AN-PN= b-( b-λ a) 4 3 4 4 1-λ =λ a+ b , 4 μ 1-μ 1-λ 1-μ → → → 1 → → AP=AM-PM= a-( a-μ b)= a+μ b 而AP=AP,∴λ a+ b= a+μ b 3 3 3 4 3 1-μ 1-λ 而 a,b 不共线.∴λ = 且 =μ . 3 4 3 2 → 3 ∴λ = .因此AP= a+ b. 11 11 11 17 已知点 G 是△ABO 的重心,M 是 AB 边的中点. → → → (1)求GA+GB+GO; → → → → (2)若 PQ 过△ABO 的重心 G,且OA=a,OB=b,OP=ma,OQ=nb, 1 1 求证: + =3.



m n

→ → → → → (1)解 ∵GA+GB=2GM,又 2GM=-GO, → → → → → ∴GA+GB+GO=-GO+GO=0. → 1 (2)证明 显然OM= (a+b). 2

用心 爱心 专心

18

→ 2→ 1 因为 G 是△ABO 的重心,所以OG= OM= (a+b). 3 3 → → 由 P、G、Q 三点共线,得PG∥GQ, → → 所以,有且只有一个实数 λ ,使PG=λ GQ. → → → 1 ?1 ? 1 而PG=OG-OP= (a+b)-ma=? -m?a+ b, 3 ?3 ? 3

GQ=OQ-OG=nb- (a+b)=- a+?n- ?b, 3

→ → →

1 3

1 3

? ?

1?

?

? 1 ? 1? ? ?1 ? 1 所以? -m?a+ b=λ ?- a+?n-3?b?. 3 ? 3 ? ? ? ? 3 ?

?1-m=-1λ ?3 3 又因为 a、b 不共线,所以? 1 1 ? ?3=λ ?n-3? ? ? ? ?
1 1 消去 λ ,整理得 3mn=m+n,故 + =3.



m n

用心 爱心 专心

19


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