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【2014唐山二模】河北省唐山市2014届高三第二次模拟考试 数学文试题 Word版)


河北省唐山市 2014 届高三 4 月第二次模拟

文 科 数 学
说明: 一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷.第Ⅰ卷为选择题;第Ⅱ卷为非选择题,分为必考和选 考两部分. 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项” ,按照“注意事项”的规定答题. 三、做选择题时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需改 动,用橡皮将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案. 四、考试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项符合题目要求. 1+ai (1)已知 a∈R,若 为实数,则 a= 2-i (A)2 (B)-2 1 (C)- 2 1 (D) 2

(2)已知命题 p:函数 y=e x

| -1|

? 的图象关于直线 x=1 对称,q:函数 y=cos 2x+ 6 的图象

(

)

? 关于点 6 ,0 对称,则下列命题中的真命题为 (A)p∧q (B)p∧?q (C)?p∧q

(

)

(D)?p∨?q
开始 n=0,S=0 S=S+2
n

(3)设变量 x,y 满足 ? 分别为 (A)1,-1 (C)1,-2

? ?1 ? x ? y ? 1 ,则 2x+y 的最大值和最小值 ? ?1 ? x ? y ? 1
(B)2,-2 (D)2,-1

n=n+1 是

(4)执行右边的程序框图,若输出的 S 是 255,则判断框内应填写 (A)n≤6? (B)n≤7? (C)n≥7? (D)n≥8? (5)已知 sin α+ 2cos α= 3,则 tan α= 2 2 (A) 2 (B) 2 (C)- 2

否 输出 S 结束

(D)- 2

? (6)已知函数 f (x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 f 2 = 3 2 (A)- 2 (B)- 2

( )

y

O

5π 12

3π x 4

3 (C) 2

2 (D) 2

(7) 用简单随机抽样的方法从含有 100 个个体的总体中依次抽取一个容量为 5 的样本, 则个 体 m 被抽到的概率为

(A)

1 100

(B)

1 20

(C)

1 99

(D)

1 50

(8)正三棱柱的底面边长为 3 ,高为 2,则这个三棱柱的外接球的表面为 (A)4 ? (D)8 ?

(B) 8 2

?

(C)

8 2 ? 3

(9)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 4 3 (A)4+4 3 (B) 3 (C)12 (D)8 (10)若实数 a,b,c 满足 a2+b2+c2=8,则 a+b+c 的最大值为 (A)9 (B)2 3 (C)3 2 (D)2 6

x2 y2 (11)已知椭圆 C1:a2+b2=1(a>b>0)与圆 C2:x2+y2=b2,若在 椭圆 C1 上存在点 P,使得由点 P 所作的圆 C2 的两条切线互相垂直,则椭圆 C1 的离心 率的取值范围是 1 2 3 2 3 (A) 2 ,1 (B) 2 , 2 (C) 2 ,1 (D) 2 ,1

[

)

[

]

[

)

[

)

(12)若不等式 lg 是

1 ? 2 x ? (1 ? a)3x ≥(x-1)lg 3 对任意 x ? (??,1) 恒成立,则 a 的取值范围 3

(A)(-∞,0] (C)[0,+∞)

[ ) (D)(-∞,1]
(B) 1,+∞

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上. (13)已知函数 f ( x) ?

e x ? e? x 1 ,若 f (a) ? ,则 f(-a)=____ x ?x e ?e 2

(14)已知向量 a=(2,1),b=(-1,2),若 a,b 在向量 c 上的投影相等,且(c-a)·(c-b) 5 =- 2 ,则向量 c 的坐标为________.

y2 (15)已知 F1,F2 为双曲线 C:x2- 3 =1 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos ∠F1PF2=_________. (16) 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边 a, b, c 成等差数列, 且 A-C=90?, 则 cos B=________.

三、解答题:本大题共 70 分,其中(17)—(21)题为必考题, (22) , (23) , (24)题为 选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 在公差不为 0 的等差数列{an}中,a3+a10=15,且 a2,a5,a11 成等比数列. (Ⅰ)求{an}的通项公式; 1 1 1 (Ⅱ)设 bn=a + +…+ ,试比较 bn+1 与 bn 的大小 ,并说明理由。 a a + n n 1 2n-1 (18) (本小题满分 12 分) 某种水果的单个质量在 500g 以上视为特等品 随机抽取 1000 个水果。结果有 50 个特等 品 将这 50 个水果的质量数据分组,得到右边的频率分布表。 (I)估计该水果的质量不少于 560g 的概率; (II)若在某批该水果的检测中,发现有 15 个特等品,据此估计该批水果中没有达到特 等品的个数。

(19) (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,且 PA⊥底面 ABCD,BD⊥PC,E 是 PA 的中点. (Ⅰ)求证:平面 PAC⊥平面 EBD; (Ⅱ)若 PA=AB=AC=2,求三棱锥 P-EBD 的体积.
P E A B C

D

(20) (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x)=x2-ln x-ax,a∈R. (I)当 a=1 时,求 f(x)的最小值; (II)若 f (x)>x,求 a 的取值范围; (21) (本小题满分 12 分) 已知抛物线 E:y2=2px(p>0)的准线与 x 轴交于点 M,过点 M 作圆 C:(x-2)2+y2 4 2 =1 的两条切线,切点为 A,B,|AB|= 3 . (Ⅰ)求抛物线 E 的方程; (Ⅱ)过抛物线 E 上的点 N 作圆 C 的两条切线,切点分别为 P,Q,若 P,Q,O(O 为 原点)三点共线,求点 N 的坐标. 请考生在第(22) , (23) , (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,E 是圆 O 内两弦 AB 和 CD 的交点,过 AD 延长线上一点 F 作圆 O 的切线 FG,G 为切点,已知 EF=FG.求证: (Ⅰ)△DEF∽△EAF; (Ⅱ)EF∥CB.
C

O A G

E D

B

F

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 长为 3 的线段两端点 A,B 分别在 x 轴正半轴和 y 轴的正半轴上滑动,→ BP =2→ PA ,点 P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)以直线 AB 的倾斜角 α 为参数,求曲线 C 的参数方程; (Ⅱ)求点 P 到点 D (0,-2)距离的最大值. (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f (x)=|x-a|-|x+3|,a∈R. (Ⅰ)当 a=-1 时,解不等式 f (x)≤1; (Ⅱ)若当 x∈[0,3]时,f (x)≤4,求 a 的取值范围.

文科数学参考答案
选择题: A 卷:CABAA BBDCD CD B 卷:DBBAA BADCD DC 二、填空题: 1 1 3 1 3 (13) 2 (14) 2 , 2 (15) 4 (16) 4 三、解答题: (17)解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d.由已知得 ?a1+2d+a1+9d=15, ? 2 ?(a1+4d) =(a1+d)(a1+10d). 注意到 d≠0,解得 a1=2,d=1. 所以 an=n+1. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 1 1 1 1 1 1 bn= + +…+2n,bn+1= + +…+ , n+1 n+2 n+2 n+3 2n+2 1 1 1 因为 bn+1-bn= + - 2n+1 2n+2 n+1 1 1 = - >0, 2n+1 2n+2 所以 bn+1>bn. (18)解: (Ⅰ)由已知可得该水果的质量不少于 560 g 的概率 p=0.16+0.04=0.2. (Ⅱ)设该批水果中没有达到特等品的个数为 x,则有 15 50 =1000,解得 x=285. x+15 (19)解: (Ⅰ)因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BD. 又 BD⊥PC,所以 BD⊥平面 PAC, 因为 BD?平面 EBD,所以平面 PAC⊥平面 EBD. A.

(

)

…4 分 …6 分

…10 分 …11 分 …12 分

…6 分 …12 分

…5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,BD⊥AC,所以 ABCD 是菱形,∠BAD=120?. 1 1 所以 S△ABD= 2 BD· 2 AC= 3. …7 分 设 AC∩BD=O,连结 OE,则(Ⅰ)可知,BD⊥OE. 1 所以 S△EBD= 2 BD·OE= 6. …9 分 设三棱锥 P-EBD 的高为 h,则 1 1 1 1 2 3 S△EBD·h= 3 S△ABD·AE,即 3 × 6h= 3 × 3×1,解得 h= 2 . …12 分

(20)解: (2x+1)(x-1) (Ⅰ)当 a=1 时,f (x)=x2-ln x-x,f ?(x)= . x 当 x∈(0,1)时,f ?(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,f ?(x)>0. 所以 f (x)的最小值为 f (1)=0. (Ⅱ)f (x)>x,即 f (x)-x=x2-ln x-(a+1)x>0. ln x 由于 x>0,所以 f (x)>x 等价于 x- x >a+1. x2-1+ln x ln x 令 g (x)=x- x ,则 g ?(x)= . x2 当 x∈(0,1)时,g ?(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,g ?(x)>0. g (x)有最小值 g (1)=1. 故 a+1<1,a 的取值范围是(-∞,0). (21)解: p (Ⅰ)由已知得 M - 2 ,0 ,C (2,0). 2 2 设 AB 与 x 轴交于点 R,由圆的对称性可知,|AR|= 3 . 1 于是|CR|= |AC|2-|AR|2= 3 , |AC| |AC| p 所以|CM|= = =3,即 2+ 2 =3,p=2. sin ∠AMC sin ∠CAR 故抛物线 E 的方程为 y2=4x. …5 分 …7 分

…12 分

(

)

…5 分

(Ⅱ)设 N (s,t). P,Q 是 NC 为直径的圆 D 与圆 C 的两交点. s+2 2 t 2 (s-2)2+t2 圆 D 方程为 x- 2 + y- 2 = , 4 即 x2+y2-(s+2)x-ty+2s=0. ① 又圆 C 方程为 x2+y2-4x+3=0. ② ②-①得(s-2)x+ty+3-2s=0. ③ …9 分 P,Q 两点坐标是方程①和②的解,也是方程③的解,从而③为直线 PQ 的方程. 3 因为直线 PQ 经过点 O,所以 3-2s=0,s= 2 . 3 3 故点 N 坐标为 2 , 6 或 2 ,- 6 . …12 分 (22)解: (Ⅰ)由切割线定理得 FG2=FA·FD. EF FD 又 EF=FG,所以 EF2=FA·FD,即FA= EF .

(

) (

)

(

) (

)

因为∠EFA=∠DFE,所以△FED∽△EAF.

…6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得∠FED=∠FAE. 因为∠FAE=∠DAB=∠DCB, 所以∠FED=∠BCD,所以 EF∥CB. …10 分 (23)解: (Ⅰ)设 P (x,y),由题设可知, 2 1 则 x= 3 |AB|cos(?-α)=-2cos α,y= 3 |AB|sin(?-α)=sin α, ?x=-2cos α, 所以曲线 C 的参数方程为? (α 为参数,90?<α<180?) . …5 分 ?y=sin α (Ⅱ)由(Ⅰ)得 |PD|2=(-2cos α)2+(sin α+2)2=4cos2α+sin2α+4sin α+4 2 2 28 =-3sin2α+4sin α+8=-3 sin α- 3 + 3 .

(

)

2 2 21 当 sin α= 3 时,|PD|取最大值 3 . …10 分 (24)解: (Ⅰ)当 a=-1 时,不等式为|x+1|-|x+3|≤1. 当 x≤-3 时,不等式化为-(x+1)+(x+3)≤1,不等式不成立; 5 当-3<x<-1 时,不等式化为-(x+1)-(x+3)≤1,解得- 2 ≤x<-1; 当 x≥-1 时,不等式化为(x+1)-(x+3)≤1,不等式必成立. 5 综上,不等式的解集为 - 2 ,+∞ . …5 分 (Ⅱ)当 x∈[0,3]时,f (x)≤4 即|x-a|≤x+7, 由此得 a≥-7 且 a≤2x+7. 当 x∈[0,3]时,2x+7 的最小值为 7, 所以 a 的取值范围是[-7,7]. …10 分

[

)


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