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10.1.1 直线的倾斜角与斜率(改)


10.1 直线与方程
一、直线的倾斜角与斜率
授课人:陈坤

日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

升高量 坡度(比) ? 前进量

升 高 量 前进量

一、直线的倾斜角与斜率 用什么量来刻画直 线的倾斜程度?

y

l3

l2

a2
o
P

a3
Q

l1

a1
x

1、直线的倾斜角 定义:设直线 l 与 x轴相交,则把 x轴 绕着交点按逆
叫做直线 l 的倾斜角. y

时针方向转到与直线重合时所转过的最小正角,

l
规定 当直线l与x轴平行或重合时, ? 它的倾斜角为 0 .

o

x

判断直线的倾斜角是否正确?
y

l
x o

y

l
x

o

l
o

y x

a?0
y o

0

l
x

y

想一想:
倾斜角的范围: ?
O

x

[0 ,180 )





直线的斜率

一条直线的倾斜角? 的正切值叫做 这条直线的斜率.

k? tan?
2 2
2

? ? ? ( ? ) ( ,? ) aa ?[ 0, ) ?

a?0

k? tan?
a ? [0, ) ? ( , ? ) 2 2

a?0
0?a?

k ?0
k ?0

?
2

?

?

?
2

?a??

k?0

k ? (??,??)

a?

?
2

时, k不存在 k ?

例1:已知直线的倾斜角,求直线的斜率

(1)30 2 ( 2) ? 3
例2:已知直线的斜率,求直线的倾斜角

0

(1)k ? 3 (2)k ? ?1

练习
1、已知直线的倾斜角,求直线的斜率

(1)1 3 5 ( 2)

0

?
4

2、已知直线的斜率,求直线的倾斜角

3 (1)k ? 3 ( 2) k ? 0

讨论思考区

l1 // l2 // l3
y

a1 ? a2 ? a3

l3

l2

l1

a3

a2

a1

O

x

三条直线的斜率怎样?

判断正误: ①直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan ? ②直线的斜率的范围是(??,??) ③任一条直线都有倾斜角,所以任一条直线都有 斜率。 ④直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 ⑤两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也相等 ⑥平行于x轴的直线的倾斜角是 0或? ( ( ) )





( ( (

) ) )

k? tan?
给定两点P1 ( x1 ,y1), P2 ( x2 ,y2), 并且 x1 ≠x2,如何计算直线P1 P2的斜率k?

l
y

P2(x2,y2)

P1(x1,y1)

? ?
o

Q ( x2, y1) x

两点的斜率公式
当 ? 为锐角时,? ? ?QP 1P 2 , x1 ? x2 , y1 ? y2 .

在直角 ?P1 P2Q 中

| QP2 | y2 ? y1 tan? ? tan ?QP1 P2 ? ? | P1Q | x2 ? x1
?

两点的斜率公式

?

? ? ? 180 ? ?QP1 P2 , x1 ? x2 , ? 当 为钝角时, y1 ? y2 . tan ? ? tan(180? ? ? ) ? ? tan?

在直角 ?P1 P2Q 中
y2 ? y1 tan? ? . x2 ? x1

| QP2 | y2 ? y1 y2 ? y1 tan? ? ? ?? | P1Q | x1 ? x2 x2 ? x1

两点的斜率公式

y 2 ? y1 k ? tan a ? x2 ? x1

1.已知直线上两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,运用 上述公式计算直线 AB? 斜率时,与 P 两点坐标的顺 1, P 2 序有关吗?

无关

2.当直线平行于y 轴,或与y 轴重合时,上述斜 率公式还适用吗?为什么?

不适用

两点的斜率公式

y 2 ? y1 k ? tan a ? x2 ? x1

当直线 P2 P1 与 x 轴平行或重合时,上述式子还成 立吗?为什么? 成立

经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )(x1 ? x2 ) 的直线的 斜率公式为: y 2 ? y1 k ? x 2 ? x1

例3、求经过下列两点的直线的斜率

(1) A(-2, 1), B(2, 4)

(2) A(3, 2), B(1, 4)

练习:求经过下列两点的直线的斜率

(1) A(2, 0), B(4, 2)

(2) A(0, - 4), B(- 3, - 5)

1), B(1, - 1) (3) A(0, 0), B(-1,3) (4) A(1,

典型例题

例4 如图 ,已知 A( 3,2), B( ?4,1), C (0,?1) ,求 直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角 是锐角还是钝角. 解:直线AB的斜率 1? 2 1 k AB ? ? ; ?4?3 7 直线BC的斜率 ?1?1 ? 2 1 k BC ? ? ?? ; 0 ? ( ?4 ) 4 2 ?1? 2 ? 3 ? ? 1; 直线CA的斜率 kCA ? 0?3 ?3 由 k AB ? 0 及 kCA ? 0 知,直线AB 与CA的倾斜角均 为锐角;由 kBC ? 0 知,直线BC的倾斜角为钝角.

y 2 ? y1 k? x2 ? x1

设任意两直线 l1 , l 2的斜率分别为 k1 , k 2

? l1 ? l 2 k

1

? k 2 ? ?1

一条直线的倾斜角? 的正切值叫做这条 当直线 l 与x轴相交时, 2、直线的斜率的定义直线的斜率 . 我们取x轴作为基准,
x轴正向与直线 l 向上 ? y ky ? tan ? 2 1 k ?a ? [0, ? ) ? (? , ? ) α 方向之间所成的角 2 2 x ? x 叫做直线 2 l 的倾斜角. 1

1、直线的倾斜角的定义

3、两点间斜率公式

0? ? ? ? 180?


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