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高中数学新人教A版选修1-1单元测试题:第3章 导数及其应用 同步练习 3.3.3 函数的最大值与最小值

3. 3.3 函数的最大值与最小值练习题 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 1.下列说法正确的是 A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2.函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f′(x) A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.以上都有可能 3.函数 y= A.0 1 4 1 3 1 2 x ? x ? x ,在[-1,1]上的最小值为 4 3 2 13 B.-2 C.-1 D. 12 ) B. (log 2 x)? ? 2 4.下列求导运算正确的是( A. ( x ? 1 1 )? ? 1 ? 2 x x 1 x ln 2 C. (3 x )? ? 3 x ? log3 e D. ( x cos x)? ? ?2 sin x 5.设 y=|x|3,那么 y 在区间[-3,-1]上的最小值是 A.27 B.-3 C.-1 D.1 3 2 6.设 f(x)=ax -6ax +b 在区间[-1,2]上的最大值为 3,最小值为-29,且 a>b,则 A.a=2,b=29 B.a=2,b=3 C.a=3,b=2 D.a=-2,b=-3 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 7.函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最小值是___________. 8. 已 知 函 数 f(x)=2-x2,g(x)=x . 若 f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)} , 那 么 f(x)*g(x) 的 最 大 值 是 . 9.将正数 a 分成两部分,使其立方和为最小,这两部分应分成____和____. 10.使内接椭圆 x2 y2 ? =1 的矩形面积最大,矩形的长为_____,宽为______ a2 b2 11.在半径为 R 的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为______时,它的面积最大. 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 9 分,共 27 分) 12.有一边长分别为 8 与 5 的长方形,在各角剪去相同的小正方形,把四边折起作成一 个无盖小盒,要使纸盒的容积最大,问剪去的小正方形的边长应为多少? 13.已知:f(x)=log3 x 2 ? ax ? b ,x∈(0,+∞).是否存在实数 a、b,使 f(x)同时满足下列两个 x 条件: (1)f(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数; (2)f(x)的最小值是 1,若 存在,求出 a,b,若不存在,说明理由. 14.一条水渠,断面为等腰梯形,如图所示,在确定断面尺寸时,希望在断面 ABCD 的 面积为定值 S 时,使得湿周 l=AB+BC+CD 最小,这样可使水流阻力小,渗透少,求此时的 高 h 和下底边长 b. E A h B 600 b C D 函数的最大值与最小值 一、1.D 2.A 3.A 4.B 5.D 6.B 二、7. -15 8. 1 10. 2 a 9. a 2 a 2 3 2 b 11. R 2 5 ) 2 三、12.解: (1)正方形边长为 x,则 V=(8-2x)·(5-2x)x=2(2x3-13x2+20x)(0<x< V′=4(3x2-13x+10)(0<x< 5 ) 2 V′=0 得 x=1 根据实际情况,小盒容积最大是存在的, ∴当 x=1 时,容积 V 取最大值为 18. 13.解:设 g(x)= x 2 ? ax ? b x ∵f(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数 ∴g(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数. ∴? ? g ' (1) ? 0 ? g (1) ? 3 ∴? ?b ? 1 ? 0 ?a ? b ? 1 ? 3 ?a ? 1 ?b ? 1 1 (AD+BC)h 2 解得 ? 经检验,a=1,b=1 时,f(x)满足题设的两个条件. 14.解:由梯形面积公式,得 S= 其中 AD=2DE+BC,DE= 3 h,BC=b 3 ∴AD= 2 3 h+b 3 ① ∴S= 1 2 3 3 ( h ? 2b)h ? ( h ? b)h 2 3 3 h 2 ? h ,AB=CD. cos30? 3 ∵CD= ∴l= 2 h ×2+b 3 ② 由①得 b= S 3 h,代入② ? h 3 ∴l= 4 3 S 3 S h? ? h ? 3h ? 3 h 3 h S S =0,∴h= 2 4 h 3 l′= 3 ? 当 h< 4 S S 时,l′<0,h> 时,l′>0. 4 3 3 ∴h= 24 3 S 时,l 取最小值,此时 b= S. 4 3 3

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