高中数学新人教A版选修1-1单元测试题：第3章 导数及其应用 同步练习 3.3.3 函数的最大值与最小值

3. 3.3 函数的最大值与最小值练习题
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1.下列说法正确的是 A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2.函数 y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是 M，最小值是 m,若 M=m,则 f′(x) A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.以上都有可能 3.函数 y= A.0

1 4 1 3 1 2 x ? x ? x ，在［－1，1］上的最小值为 4 3 2 13 B.－2 C.－1 D. 12
） B． (log 2 x)? ?
2

4.下列求导运算正确的是（ A． ( x ?

1 1 )? ? 1 ? 2 x x

1 x ln 2

C． (3 x )? ? 3 x ? log3 e

D． ( x cos x)? ? ?2 sin x

5.设 y=|x|3,那么 y 在区间［－3，－1］上的最小值是 A.27 B.－3 C.－1 D.1 3 2 6.设 f(x)=ax －6ax +b 在区间［－1，2］上的最大值为 3，最小值为－29，且 a>b,则 A.a=2,b=29 B.a=2,b=3 C.a=3,b=2 D.a=－2,b=－3 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 7.函数 y=2x3－3x2－12x+5 在［0，3］上的最小值是___________. 8. 已 知 函 数 f(x)=2-x2,g(x)=x ． 若 f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)} ， 那 么 f(x)*g(x) 的 最 大 值 是 ． 9.将正数 a 分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成____和____. 10.使内接椭圆

x2 y2 ? =1 的矩形面积最大，矩形的长为_____，宽为______ a2 b2

11.在半径为 R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为______时，它的面积最大. 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 12.有一边长分别为 8 与 5 的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一 个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？ 13.已知：f(x)=log3

x 2 ? ax ? b ,x∈(0,+∞).是否存在实数 a、b,使 f(x)同时满足下列两个 x

条件： （1）f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数； （2）f(x)的最小值是 1，若 存在，求出 a,b，若不存在，说明理由. 14.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面 ABCD 的 面积为定值 S 时，使得湿周 l=AB+BC+CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的 高 h 和下底边长 b.
E A h B 600 b C D

函数的最大值与最小值 一、1.D 2.A 3.A 4.B 5.D 6.B 二、7. －15 8. 1 10. 2 a 9.

a 2

a 2

3 2 b 11. R 2 5 ) 2

三、12.解： （1）正方形边长为 x,则 V=（8－2x)·(5－2x)x=2(2x3－13x2+20x)(0<x< V′=4(3x2－13x+10)(0<x<

5 ) 2

V′=0 得 x=1 根据实际情况，小盒容积最大是存在的， ∴当 x=1 时，容积 V 取最大值为 18. 13.解：设 g(x)=

x 2 ? ax ? b x

∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数 ∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数. ∴?

? g ' (1) ? 0 ? g (1) ? 3

∴?

?b ? 1 ? 0 ?a ? b ? 1 ? 3 ?a ? 1 ?b ? 1
1 (AD+BC)h 2

解得 ?

经检验，a=1,b=1 时，f(x)满足题设的两个条件. 14.解：由梯形面积公式，得 S=

其中 AD=2DE+BC，DE=

3 h,BC=b 3

∴AD=

2 3 h+b 3
①

∴S=

1 2 3 3 ( h ? 2b)h ? ( h ? b)h 2 3 3
h 2 ? h ,AB=CD. cos30? 3

∵CD=

∴l=

2 h ×2+b 3

②

由①得 b=

S 3 h,代入② ? h 3

∴l=

4 3 S 3 S h? ? h ? 3h ? 3 h 3 h
S S =0,∴h= 2 4 h 3

l′= 3 ?

当 h<

4

S S 时，l′<0,h> 时，l′>0. 4 3 3

∴h=

24 3 S 时，l 取最小值，此时 b= S. 4 3 3