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线性规划解题技巧


人教A版高三数学
线性规划解题技巧
y

x
o

【教学目标】 1.复习线性规划的约束条件、目标函数、可行解、 可行域以及最优解等基本概念; 2.掌握解线性规划问题的步骤,理解线性规划问题 的图解法,并能求解一些比较复杂的目标函数.
【教学重点】 运用图解法解决比较复杂的线性规划问题. 【教学难点】 准确求得线性规划问题的最优解.

【教学方法】 演绎法、讨论法.

复习引入
求z的最大值和最小值.

设z=2x+y,式中变量x、y满足下列条件

{

x-y≥0 x+y-1≤0 , y≥-1

y=-2x+ z,则z几何意义是 分析 : 将z=2x+y变形为

斜率为-2的直线在y轴上的截距.
解:作出可行域如图: 作直线l0 :2x+y=0, 则直线l: 2x+y=z是一组与 l0平行的 直线,故直线 l 可通过平移直线l0而得, 当直线往右上方平移时z逐渐增大: 当l 过点 (-1,-1)时, z最小,即zmin=- 3;

y x+y=1 0 y=-1
(-1,-1)

x-y=0 x
(2,-1)

1 1 ( , ) 2 2

当l 过点(2,-1)时, z最大,即zmax=3.

2x+y=0

有关概念
线性约束条件:约束条件中均为关于x、y的一次不等式或方程. 目标函数:欲求最值的关于x、y的一次解析式. 线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值. 可行解:满足线性约束条件的解(x,y). y 可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数达到最大值 x+y=1 x-y=0 或最小值的可行解.
设Z=2x+y,式中变量x、y

满足下列条件

{

x-y≥0 x+y-1≤0 , y≥-1

0 y=-1
(-1,-1)

1 1 ( , ) 2 2

x
(2,-1)

求Z的最大值和最小值.

2x+y=0

解线性规划问题的步骤

画 画出线性约束条件所表示的可行域; 2.移 在线性目标函数所表示的一组平行线
1. 中,用平移的方法找出与可行域有公 共点且纵截距最大或最小的直线;

求 通过解方程组求出最优解; 4. 答 作出答案.
3.

例题分析
例1 设z=2x-y,式中变量x、y满足条件

求z的最大值和最小值. 分析:将z=2x-y变形为y=2x-z, y -z为直线y=2x-z在y轴上的截距. 3x+5y=25 解:作出可行域如图:

x -4y≤ -3 3x+5y≤25 , x≥1
2x-y=0
C (1,4.4)

当z=0时,设直线 l0:2x-y=0, 平移l0, 当l0经过可行域上点A时, A (5,2) x-4y=-3 B -z最小,即z最大; x 平移l0, 当l0经过可行域上点C时, x=1 -z最大,即z最小. x=1 x-4y=-3 (1,4.4) ; (5,2) ; 由 得A点坐标_____ 由 得C点坐标_______ 3x+5y=25 3x+5y=25

o



zmax=2×5-2=8 ,

zmin=2×1-4.4= -2.4 .

例题分析
例2 已知x、y满足

x-4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1

,设z=ax+y (a>0), 若z

取得最大值时,对应点有无数个,求a 的值. 分析:将z=ax+y变形为y=-ax+z 解:当直线 l :y=-ax+z 与直线AC重合时,有无数个 点使函数值取得最大值,此 可有

y
3x+5y=25 x-4y=-3
C

kl ? k AC,
k =
AC



?

3 5

,
3 即a? . 5

A B

?

k l = -a ,

o

x

x=1

例题分析
例3 满足线性约束条件

3x +2≤10

x+4y≤11 的可行域中共有 x>0 y>0

多少个整数解?在哪个整数点Z=3x+y取最大值? y 解:由题意得可行域如图:

由图知满足约束条件的可行域
中的整点为(1,1)、(1,2)、(2,1)、 (2,2),故有四个整点可行解. Z=3x+y在(2,2)取 得最大值,最大值为8.

5
4 3 2

x +4y=11

1

0

1 2 3x+y=0

3

3x +2y=10

4

5

x

例题分析

?x ? y ? 2 ? 0 ? 例4 已知 ? x ? y ? 2 ? 0 ?x ? 2 ?

?1? Z ? x ? 2 y 的最大值; ,求: ? 2 ? Z =x 2 ? y 2的最小值; ? 3? Z ?
y ?1 的范围. x?2
y X=2 C(2,4)

(1)解:作出不等式组表 示的可行域:

当z=0时,x+2y=0,向
右上方平移的时候,z的值越 来越大,当经过可行域上的点

X+y-2=0 A(0,2) X-y+2=0 o

B(2,0) x X+2y=0

C时取最大值.

? Zmax ? 2 ? 2+4=8 .

例题分析

?x ? y ? 2 ? 0 ? 例4 已知 ? x ? y ? 2 ? 0 ?x ? 2 ?

?1? Z ? x ? 2 y 的最大值; 2 2 2 Z = x ? y 的最小值; ,求: ? ?
y ?1 的范围. ? 3? Z ? x ? 2y
X=2

(2)解:作出可行域如图:


Z?x ?y
2
2

2

变形为
2

C(2,4)
X+y-2=0 A(0,2) X-y+2=0 o B(2,0) x

Z ? ? x ? 0? ? ? y ? 0?

其几何意义是一点到原点 距离的平方,则z的最小值为可 行域中的点到原点距离的最小 值的平方 . 2

Z min

? 0?0?2 ? ?? ?2. ? 2 2 ? 1 ?1 ?

例题分析

?x ? y ? 2 ? 0 ? 例4 已知 ? x ? y ? 2 ? 0 ?x ? 2 ?

?1? Z ? x ? 2 y 的最大值; ,求: ? 2 ? Z =x 2 ? y 2 的最小值;
y ?1 的范围. ? 3? Z ? x?2 y
X=2 C(2,4)

(3) 解:作出可行域如图: 将

y ?1 Z ? 变形为 x?2 y ? ? ?1? Z ? x ? ? ?2 ?

X+y-2=0
A(0,2) X-y+2=0 o D(-2,-1) B(2,0) x

其几何意义是一点到定点 (-2,-1) 的斜率 ,则z的范围是可行域中的点到定 点(-2,-1)的斜率的范围.

0 ? ? ?1? 1 2 ? ? ?1? 3 ?1 3? Zmin ? ? ,Zmax ? ? . ? Z ? ? , ?. 2 ? ? ?2? 4 0 ? ? ?2? 2 ?4 2?

巩固练习
设S为平面上以A(3,-1)、B(-1,1)、C(1,3)为顶点的 三角形区域(含三角形内部及边界),若点(x,y)在区域S上变动, (2)求 Z ? ? x ? 1? ? y 的最小值;
2 2

(1)求 Z ? y ? x 的最大值,并指出其解;

BC上的点都是最优解;

y ?3 (3)求 Z ? 的范围. x?4 解:(1) Z max ? 2 ,线段
2

y
4
3
C(1,3) y=x D(4,3)

? ?1 ? 2 ? 0 ? 1 ? 4 (2)Z min ? ? ? ? 2 2 ? 1 ?2 ? 5

B(-1,1)

2 1

为点(-1,0)到直线AB的距离; ?1 ? 3 3?3 ? 4,Z min ? ?0 (3) Z max ? 3? 4 1? 4

(-1,0) -1

0
-1

1

2

3

4

x

A(3,-1)

? Z ??0, 4? .

小结
1.图解法求线性规划问题的基本步骤:







答;

2.求线性目标函数的最优解,主要注意分析 目标函数所表示的几何意义 ; 3.线性目标函数的最大值和最小值一般 在可行域的顶点或边界上取得.

课后作业
?y ? x ? 1.已知 ? x+y ? 1 ,求z=2x+y的最大值. ?y ?- 1 ?

? x ? 4 y ? ?3 ? 2.已知 ?3 x ? 5 y ? 25 ,求z=|x-4y+1|的最小值. ?x ? 1 ?
的最大值; ? ? 5 x + 3 y ? 15 ? 2 2 ? 2 Z = x ? 2 ? y ? 1 ? ? ? ? ? ? 的最小值; 3.已知 ? y ? x+1 ,求: ?x-5 y ? 3 y ?1 ? ? 3? Z ? 的范围.

1 Z ? x ? 3y

x?2


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