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北师大版选修2-1高中数学2.2.1《椭圆及其标准方程》word教案

2.2 椭 圆 2.2.1 椭圆及其标准方程 ◆ 知识与技能目标 理解椭圆的概念,掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题;理解椭圆标准方程的推导 过程及化简无理方程的常用的方法;了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法. ◆ 过程与方法目标 (1)预习与引入过程 当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时,观察平 面截圆锥的截口曲线(截面与圆锥侧面的 交 线)是什么图形?又是怎么样变化的?特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时,截口 曲线是椭圆,再观察或操作了课件后,提出两个问题:第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线 和抛物线叫做圆锥曲线;第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子.当学生把上述两个问题回答 清 楚后,要引导学生一起探究 P41 页上的问题(同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条(约 10cm 长,两端各结一个套),教师准备无弹性细绳子一条(约 60cm,一端结个套,另一端是活动 的),图钉两个).当套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的图形是椭圆.启发性提问:在这一 过程中,你能说出移动的笔小(动点)满足的几何条件是什么?〖板书〗2.1.1 椭圆及其标准方 程. (2)新课讲授过程 (i)由上述探究过程容易得到椭圆的定义. 〖板书〗把平面内与两个定点 F 1 , F2 的距离之和等于常数(大于 为 M 时,椭圆即为点集 P ? M | MF1 ? MF2 ? 2a . (ii)椭圆标准方程的推导过程 提问:已知图形,建立直角坐标系的一般性要求是什么?第一、充分利用图 形的对称性;第 二、注意图形的特殊性和一般性关系. 无理方程的化简过程是教学的难点,注意无理方程 的两次移项、平方整理. 设参量 b 的意义:第一、便于写出椭圆的标准方程;第二、 a, b, c 的关系有明显的几何意义. F1 F2 )的点的轨迹叫做椭 圆(ellipse).其中这两个定点叫做椭圆的焦点,两定点间的距离叫做椭圆的焦距.即当动点设 ? ? y 2 x2 类比:写出焦点在 y 轴上,中心在原点的椭圆的标准方程 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? . a b (iii)例题讲解与引申 例 1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ? ?2,0? , ? 2, 0? ,并且经过点 ? ? 5 3? , ? ? ,求它的标准 ?2 2? 方程. 分析:由椭圆的标准方程的定义及给出的条件,容易求出 a, b, c .引导学生用其他方法来 解. x2 y 2 ?5 3? 另解:设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,因点 ? , ? ? 在椭圆上, a b ?2 2? 9 ? 25 ? 2 ? 2 ?1 ? ?a ? 10 则 ? 4a . ?? 4b 2 2 b ? 6 ? ?a ? b ? 4 ? ? ? y 2 ? 4 上任取 一点 P ,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD , D 为垂足.当点 P 在圆上运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么? 例 2 如图,在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上运动,由点 P 移动引起点 M 的运动,则称点 M 是点 P 的伴 随点,因点 M 为线段 PD 的中点,则点 M 的坐标可由点 P 来表示,从而能求点 M 的轨迹方程. x2 y2 ? ? 1 上动点,求线段 AP 中点 M 的轨迹方程. 引申:设定点 A? 6,2? , P 是椭圆 25 9 解法剖析:①(代入法求伴随轨迹)设 M ? x, y ? , P ? x1 , y1 ? ;②(点与伴随点的关系)∵ 分析:点 P 在圆 x 2 M 为线段 AP 的中点,∴ ? x2 y2 ? x1 ? 2 x ? 6 ;③(代入已知轨迹求出伴随轨迹),∵ 1 ? 1 ? 1 , 25 9 ? y1 ? 2 y ? 2 2 ? x ? 3? ∴点 M 的轨迹方程为 1 ? ;④伴随轨迹表示的范围 25 9 4 例 3 如图,设 A , B 的坐标分别为 ? ?5,0? , ? 5, 0 ? .直线 AM , BM 相交 于点 M ,且它 4 们的斜率之积为 ? ,求点 M 的轨迹方程. 9 分析:若设点 M ? x, y ? ,则直线 AM , BM 的斜率就可以用含 x , y 的式 ? 子表示,由于直线 AM , BM 的斜率之积是 ? 关系式,即得到点 M 的轨迹方程. 解法剖析:设点 M ? y ? 1? 2 4 ,因此,可以求出 x , y 之间的 9 ? x, y ? ,则 k AM ? y ? x ? ?5 ? , x?5 y ? x ? 5? ; x?5 y y 4 ? ? ? ,化简即可得点 M 的轨迹方程. 代入点 M 的集合有 x?5 x?5 9 k BM ? 引申:如图,设△ ABC 的两个顶点 A ? ?a,0? , B ? a,0? ,顶点 C 在移动,且 k AC ? kBC ? k ,且 k ? 0 ,试求动点 C 的轨迹方程. 引申目的有两点:①让学生明白题目涉及问题的一般情形;②当 k 值在变化时, 线段 AB 的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴. ◆ 情感、态度与价值观目标 通过作图展示与操作,必须让学生认同:圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲 线,是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名;必须让学生认同与体会:椭圆的定 义及特殊情形当常数等于两定点间距离时,轨迹是线段;必须让学生认同与理解:已知几何图形建 立直角坐标系的两个原则,及引入参量 b ? a ? c 的意义,培养学生用对称的美学思维来体现 数学 的和谐美;让学生认同与领悟:例 1 使用定义解题是首选的,但也可以用其他方法来解,培养 学生从定义的角度思考问 题的好习惯;例 2 是典型的用代入法求动点的伴随点的轨迹,培养学生的 辩证思维方法,会用分析、联系的观点解决问题;通过例 3 培养学生的对问题引申、分段讨论的思 维品质. ◆能力

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