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数学:3.3《圆心角与圆周角的关系》课件1(北师大版九年级下)


回顾与思考
O
如图1 ,∠AOB是 圆心 角。 B A C 如图2 , AB=CD ,则∠AOB与∠COD的大小 关系是: 相等 。 B

O

D

A

用心想一想,马到功成
在射门游戏中,球员射中球门的难易与他所处的位 置B对球门AC的张角(∠ABC)有关。

用心想一想,马到功成

如图,当他站在 B,D , E 的位置射球时 ,对球门 AC的 张角的大小相等吗? 你能观察到这三个角有什么共同特征吗?

用心想一想,马到功成
为解决这个问题我们先来研究一种角。 观察图中的∠ABC,顶点在什么位置?角的两边有什么特点? A

B

C

用心想一想,马到功成
观察图中的∠ ABC ,可以发现,它的顶点在圆上,它的两 边分别与圆还有另一个交点。像这样的角,叫做圆周角。 A

B

C

请同学们考虑两个问题: (1)顶点在圆上的角是圆周角吗? (2)角的两边都和圆相交的角是圆周角吗? 为解决这个问题,我们先回答下面的问题。

下列各图形中的角是不是圆周角?请说明理由。

A

B

C

D

E

由圆周角的定义可知,只有C是圆周角,其它都不是。 你能总结出圆周角的特征吗? 圆周角有两个特征: ①角的顶点在圆上; ②两边在圆内的部分是圆的两条弦。

用心想一想,马到功成
我们再来研究圆周角的性质。
为了解决这个问题,我们先研究一条弧所对的圆周角与它所对 的圆心角之间的关系。 请同学们在圆上确定一条劣弧,画出它所对的圆心角与圆周 角。

A

C

用心想一想,马到功成
归纳同学们的意见我们得到以下几种情况。 A O B ① C A C O B B ② ③ A C O

①∠ABC的一边BC经过圆心O。 ②∠ABC的两边都不经过圆心O。 ③∠ABC的两边都不经过圆心O。

请问∠ ABC 与∠ AOC 它们的大小有什么关 系?说说你的想法, 并与同伴进行交流。

下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况,即∠ABC的一边BC 经过圆心O。 ∵ ∠AOC是△ABO的外角, ∴ ∠AOC=∠ABO+∠BAO。 ∵ OA=OB, ∴ ∠ABO=∠BAO。 ∴ ∠AOC=2∠ABO, 1 ∴ ∠ABC= 2 ∠AOC。

A O
B

C

下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况,即∠ABC的一边BC 经过圆心O。 ∵ ∠AOC是△ABO的外角, C A ∴ ∠AOC=∠ABO+∠BAO。 ∵ OA=OB, O ∴ ∠ABO=∠BAO。 ∴ ∠AOC=2∠ABO, B 1 ∴ ∠ABC= ∠AOC。 2 那么当∠ ABC 的两边都不经过圆心 O 时,∠ ABC 与∠ AOC 又 有怎样的大小关系呢? A A C C O B B O

我们可以考虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来考虑。 也就是借用直径,连接BO并延长,与圆相交于点D。 (此时我们得到与图①同样的情形) ∵ ∠1是△ABO的外角, A D
3

C

A O B ①

C

∴ ∠1=∠2+∠3。
∵ OA=OB, ∴ ∠2=∠3。 ∴ ∠1=2∠2, 1 ∴ ∠2= ∠1。 2 同理, ∠4= 1 ∠5。 2 1 ∴ ∠2+∠4= ( ∠ 1+∠5) 。 2 1 ∴ ∠ABC= ∠AOC。 2

1 5

24

O

B

如图,连接BO并延长,与圆相交于点D。(此时我们得到与图① 同样的情形) ∵ ∠AOD是△ABO的外角, ∴ ∠AOD=∠A+∠ABO。 A C D O B B O ① A C

∵ OA=OB,
∴ ∠A=∠ABO。 ∴ ∠AOD=2∠ABD, 1 ∴ ∠ABD= ∠AOD。 2

如图,连接BO并延长,与相交于点D。(此时我们得到与图①同 样的情形) ∵ ∠AOD是△ABO的外角, ∴ ∠ABD=∠A+∠ABO。 A C D O B B O ① A C

∵ OA=OB,
∴ ∠A=∠ABO。 ∴ ∠AOD=2∠ABD, 1 ∴ ∠ABD= ∠AOD。 2 1 同理 , ∠CBD= ∠COD。 2

如图,连接BO并延长,与相交于点D。(此时我们得到与图①同 样的情形) ∵ ∠AOD是△ABO的外角, ∴ ∠ABD=∠A+∠ABO。 A C D O B B O ① A C

∵ OA=OB,
∴ ∠A=∠ABO。

∴ ∠AOD=2∠ABD, 1 ∴ ∠ABD= ∠AOD。 2 1 同理 , ∠CBD= ∠COD。 2 1 1 ∴ ∠ABD-∠CBD= 2∠AOD- ∠COD 2 = 1 (∠AOD-∠COD)。 2 ∴ ∠ABC= 1 ∠AOC 2

认真观察,探求结果
通过对三种情形的证明,同学们再认真观察图形,你会得到什么结 果? A A C C C A O B O B B 一半 O

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的



如图,在⊙O中,∠BOC=50°, 则∠BAC= 25° 。 A O

B
C

0

如图, 在⊙ O 中, ∠ BOC=50° , 则∠BAC= 25° 。 A

B

C
O

变化题1:如图,点A,B,C是 ⊙O上的三点, ∠BAC=40°, 则∠BOC= 80° 。
0

O B C

A

变化题2:如图,∠BAC=40°,则 50° 。 ∠OBC=

如图,OA,OB,OC都是⊙O的半径,∠ AOB=2∠ BOC, ∠ ACB与∠ BAC的大小有什么关系?为什么? 答:∠ACB=2∠BAC.理由是: ∵∠AOB=2∠ACB ∠BOC=2∠BAC ∠AOB=2∠BOC ∴2∠ACB =2(2∠BAC) ∴∠ACB=2∠BAC A B O C

如图,A,B,C,D是⊙O上的四点,且∠BCD=100° , 求∠BOD(BCD所对的圆心角)和∠BAD的大小。 解:∵∠BCD=100° A O1 B C

D

∴∠1=200°
∴∠BOD=360°-200°=160°

如图,A,B,C,D是⊙O上的四点,且∠BCD=100° , 求∠BOD(BCD所对的圆心角)和∠BAD的大小。 解:∵∠BCD=100° A O1 B C

D

∴∠1=200°
∴∠BOD=360°-200°=160° 1 1 ∴∠BAD= 2 ∠BOD= 2 ×160°=80°

课内拓展延伸
1.到目前为止,我们学习到和圆有关的角有几个?它们各有什么特 点?相互之间有什么关系? 答:和圆有关的角有圆心角和圆周角.圆心角顶点在圆心;圆周角顶点 在圆上,角的两边和圆相交。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆 心角的一半。 2.课后思考 如图,当他站在 B , D , E 的位置 射球时对球门 AC 的 张 角 的 大 小相等吗?为什 么?

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我本人的小学教师——陈先生,因把给上班族们拿书,所骑小型直升飞机与一台货车相互碰撞,未曾后来也不想着所读书教书了。感到高 兴的是,陈先生当前已无大碍。先前,咱一帮小鬼不清楚顽皮在最后地步,给陈先生起的外号是“老赵”。到当前,我依然是貌似格外明 晰,最困难的是咱实际上不情愿流言数量不等的事了,说到“老赵”,有不少说不出的关于读书的快乐记忆。在关注三四年级的2011年, 又来了一个先生,他姓施,因而咱给施先生的外号为“老施“。 定做村,因刚下过短时间的雨,路不是好走。虽然说如此,也阻挠不上我本人的执行。这几天,经历时好多块麦地,麦子先前开端泛黄, 收割的时节行将来到。对我的话,那一条路再熟习不历时。上读书的2011年,可惜常常来回走。走在那一条熟习的家里,多项往事的点滴 涌上了我本人的心头,我本人的思绪开端感到有些错乱。但我很分明,当前不是深思熟虑数量不等的事的2011年,由此我又一不小心就很 轻易苏醒了起来。我清楚,我也猜疑,在好的将来的某每日,我会每年去思索和回想几乎每天都是那么多不同类型的原创内容多的先前与 往事,我会让在下有充足的精力和时间去回味和兄弟你也太快了吧。


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