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2006年江苏省淮安市淮阴中学高一分班考试数学试卷


2006 年江苏省淮安市淮阴中学高一分班考试数学 试卷

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2006 年江苏省淮安市淮阴中学高一分班考试数学 试卷
一.选择题(每题 5 分,共 40 分) 1. (5 分) (2005?柳州)小兰和小潭分别用掷 A、B 两枚骰子的方法来确定 P(x,y)的位置,她们规定:小兰掷 得的点数为 x,小谭掷得的点数为 y,那么,她们各掷一次所确定的点落在已知直线 y=﹣2x+6 上的概率为( ) A. B. C. D.

2. (5 分) (2003?重庆)随着通讯市场竞争日异激烈,某通讯公司的手机市话收费标准每分钟降低了 a 元后,再次 下调了 25%,现在的收费标准是每分钟 b 元,则原收费标准每分钟为多少元( ) A. B. C. D. ( b﹣a) ( b+a) ( b+a) ( b+a)

3. (5 分)将直径为 64cm 的圆形铁皮,做成四个相同圆锥容器的侧面(不浪费材料,不计接缝处的材料损耗) ,那 么每个圆锥容器的高为( ) A .8 B.8 C.16 cm D.16cm cm cm 4. (5 分)某商场对顾客实行优惠,规定: (1)如一次购物不超过 200 元,则不予折扣; (2)如一次购物超过 200 元但不超过 500 元的,按标价给予九折优惠; (3)如一次购物超过 500 元的,其中 500 元按第(2)条给予优惠,超过 500 元的部分则给予八折优惠. 某人两次去购物,分别付款 168 元与 423 元,如果他只去一次购买同样的商品,则应付款是( ) A.522.8 元 B.510.4 元 C.560.4 元 D.472.8 元 5. (5 分)如图,在 Rt△ ABC 中,∠ ACB=90°,∠ ABC=66°,将△ ABC 绕顶点 C 旋转到△ A′ B′ C 的位置,使顶点 B 恰 好落在斜边 A′ B′ 上.设 A′ C 与 AB 相交于点 D,则∠ BDC=( )

A.66°

B.78°

C.60°

D.72°

6. (5 分)如图,圆柱形开口杯底部固定在长方体水池底,向水池匀速注入水(倒在杯外) ,水池中水面高度是 h, 注水时间为 t,则 h 与 t 之间的关系大致为下图中的( )

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www.jyeoo.com A.

B.

C.

D.

7. (5 分)某地 2005 年第一季度应聘和招聘人数排行榜前 5 个行业的情况列表如下: 行业名称 计算机 机械 营销 物流 贸易 215830 200250 154676 74570 65280 应聘人数 行业名称 计算机 营销 机械 建筑 化工 124620 102935 89115 76516 70436 招聘人数 若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中的数据,就业形势一定是 ( ) A.计算机行业好于化工行业 B. 建筑行业好于物流行业 C. 机械行业最紧张 D.营销行业比贸易行业紧张 8. (5 分)一条铁路原有 m 个车站,为了适应客运的需要新增加了 n 个(n>1)车站,则客运车票增加了 58 种, 那么原有车站是( ) A.12 个 B.13 个 C.14 个 D.15 个 二.填空题(每题 5 分,共 50 分)

9. (5 分)关于 x 的不等式组

只有 4 个整数解,则 a 的取值范围是 _________ .

10. (5 分)将正偶数按下表排列: 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 2 第2行 4 6 第3行 8 10 12 第4行 14 16 18 20 … 根据上面的规律,则数字 2006 所在行、列分别是 _________ . 11. (5 分)如图,△ ABC 中,∠ C=90°,O 为 AB 上一点,以 O 为圆心,OB 为半径的圆与 AB 相交于点 E,与 AC 相切于点 D,已知 AD=2,AE=1,那么 BC= _________ .

12. (5 分)某纺织厂的一个车间有 n(其中 n 是正自然数)台织布机,编号分别为 1,2,3,…,n,该车间有技术 工人 m 名(其中 m 是正自然数) ,编号分别为 1,2,3,…,m,引入记号 aij,如果第 i 号工人操作了第 j 号织布机, 此时规定 aij=1,否则 aij=0.若 a31+a32+a33+…+a3n=2,则该等式说明: _________ .

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www.jyeoo.com 13. (5 分)足球比赛的计分规则是:胜一场得 3 分,平一场得 1 分,负一场得 0 分,那么一个队打 14 场共得 19 分的情况有 _________ 种. 14. (5 分) (2004?荆门)某些植物发芽有这样一种规律:当年所发新芽第二年不发芽,老芽在以后每年都发芽.发 芽规律见下表(设第一年前的新芽数为 a) … 1 2 3 4 5 第n年 … a a 2a 3a 5a 老芽率 … 0 a a 2a 3a 新芽率 … a 2a 3a 5a 8a 总芽率 照这样下去,第 8 年老芽数与总芽数的比值为 _________ (精确到 0.001) . 15. (5 分)一个无盖的正方体纸盒,将它展开成平面图形,可能的情形共有 _________ 种. 16. (5 分)袋内装有大小相同的 4 个白球和 3 个黑球,从中任意摸出 3 个球,其中只有一个白球的概率是 _________ . 17. (5 分)有一个各条棱长均为 a 的正四棱锥(底面是正方形,4 个侧面是等边三角形的几何体) .现用一张正方 形包装纸将其完全包住,不能裁剪,可以折叠,那么包装纸的最小边长为 _________ . 18. (5 分)已知 AB 是半径为 1 的圆 O 的弦,且 AB 的长为方程 x +x﹣1=0 的正根,则∠ AOB= _________ . 三.解答题(8+12+12+14+7+7) 19. (8 分)淮安市某电脑公司在市区和洪泽各有一分公司,市区分公司现有电脑 6 台,洪泽分公司有同一型号电脑 12 台,宜昌某单位向该公司购买该型号电脑 10 台,荆门某单位向该公司购买该型号电脑 8 台,已知市区运往宜昌 和荆门每台电脑的运费分别是 40 元和 30 元,洪泽运往宜昌和荆门每台电脑的运费分别是 80 元和 50 元. (1)设从洪泽调运 x 台至宜昌,该电脑公司运往宜昌和荆门的总运费为 y 元,求 y 关于 x 的函数关系式; (2)若总运费不超过 1000 元,问能有几种调运方案? (3)求总运费最低的调运方案及最低运费. 20. (12 分) (2002?荆门)如图,等腰 Rt△ ABC 的直角边 AB=2,点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发,以相同速度 作直线运动.已知点 P 沿射线 AB 运动,点 Q 沿边 BC 的延长线运动,PQ 与直线 AC 相交于点 D. (1)设 AP 的长为 x,△ PCQ 的面积为 S.求出 S 关于 x 的函数关系式; (2)当 AP 的长为何值时,S△PCQ=S△ABC; (3)作 PE⊥ AC 于点 E,当点 P、Q 运动时,线段 DE 的长度是否改变?证明你的结论.
2

21. (12 分) (2004?天津)已知一次函数 y1=2x,二次函数 y2=x +1. (Ⅰ )根据表中给出的 x 的值,计算对应的函数值 y1、y2,并填在表格中: x ﹣3﹣2﹣10123 y1=2x
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2

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www.jyeoo.com 2 y2=x +1 (Ⅱ )观察第(Ⅰ )问表中有关的数据,证明如下结论:在实数范围内,对于 x 的同一个值,这两个函数所对应的函 数值 y1≤y2 均成立; 2 (Ⅲ )试问,是否存在二次函数 y3=ax +bx+c,其图象经过点(﹣5,2) ,且在实数范围内,对于 x 的同一个值,这 三个函数所对应的函数值 y1≤y3≤y2 均成立?若存在,求出函数 y3 的解析式;若不存在,请说明理由. 22. (14 分)取一张矩形的纸进行折叠,具体操作过程如下: 第一步:先把矩形 ABCD 对折,折痕为 MN,如图(1)所示; 第二步:再把 B 点叠在折痕线 MN 上,折痕为 AE,点 B 在 MN 上的对应点为 B′ ,得 Rt△ AB′ E,如图(2)所示; 第三步:沿 EB′ 线折叠得折痕 EF,如图(3)所示;利用展开图(4)所示.

探究: (1)△ AEF 是什么三角形?证明你的结论. (2)对于任一矩形,按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由. (3)如图(5) ,将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠,使点 A 落在 DC 边上的点 A′ 处,x 轴垂直平分 DA,直线 EF 的表 达式为 y=kx﹣k (k<0) ① 问:EF 与抛物线 y= 有几个公共点? 的值.

② 当 EF 与抛物线只有一个公共点时,设 A′ (x,y) ,求

23. (7 分) (2005?无锡)已知正方形 ABCD 的边长 AB=k(k 是正整数) ,正△ PAE 的顶点 P 在正方形内,顶点 E 在 边 AB 上,且 AE=1.将△ PAE 在正方形内按图 1 中所示的方式,沿着正方形的边 AB、BC、CD、DA、AB、…连续 地翻转 n 次,使顶点 P 第一次回到原来的起始位置.

(1) 如果我们把正方形 ABCD 的边展开在一直线上, 那么这一翻转过程可以看作是△ PAE 在直线上作连续的翻转运 动.图 2 是 k=1 时,△ PAE 沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图.请你探索:若 k=1,则△ PAE 沿正方形的边连 续翻转的次数 n= _________ 时,顶点 P 第一次回到原来的起始位置; (2)若 k=2,则 n= _________ 时,顶点 P 第一次回到原来的起始位置;若 k=3,则 n= _________ 时,顶点 P 第一次回到原来的起始位置; (3)请你猜测:使顶点 P 第一次回到原来的起始位置的 n 值与 k 之间的关系(请用含 k 的代数式表示 n) .

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www.jyeoo.com 24. (7 分)一只袋子里装有红球和绿球,第一次从中摸出是红球和绿球的概率均为 ,如果上一次摸出是红球,则 下一次摸出是红球的概率为 ,绿球的概率为 ;如果上一次摸出的是绿球,则下一次摸出的是红球的概率为 ,绿 球的概率为 ,记 Pn 表示第 n 次摸出的是红球的概率, (1)P1= _________ ;P2= _________ ; (2)试写出 Pn 与 Pn﹣1 之间的关系式; _________ .

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2006 年江苏省淮安市淮阴中学高一分班考试数学 试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(每题 5 分,共 40 分) 1. (5 分) (2005?柳州)小兰和小潭分别用掷 A、B 两枚骰子的方法来确定 P(x,y)的位置,她们规定:小兰掷 得的点数为 x,小谭掷得的点数为 y,那么,她们各掷一次所确定的点落在已知直线 y=﹣2x+6 上的概率为( ) A. B. C. D.

考点: 专题: 分析: 解答:

列表法与树状图法;一次函数图象上点的坐标特征. 压轴题. 列举出所有情况,看落在已知直线 y=﹣2x+6 上的情况占总情况的多少即可. 解:列表得:
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∴ 一共有 36 种情况,她们各掷一次所确定的点落在已知直线 y=﹣2x+6 上的有(1,4) , (2,2) . ∴ 她们各掷一次所确定的点落在已知直线 y=﹣2x+6 上的概率为 = .

故选 B. 点评: 列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;用到的知识点为:概率=所求情 况数与总情况数之比;易错点是找到落在已知直线 y=﹣2x+6 上的情况数. 2. (5 分) (2003?重庆)随着通讯市场竞争日异激烈,某通讯公司的手机市话收费标准每分钟降低了 a 元后,再次 下调了 25%,现在的收费标准是每分钟 b 元,则原收费标准每分钟为多少元( ) A. B. C. D. ( b﹣a) ( b+a) ( b+a) ( b+a)

考点: 列代数式. 分析: 此题要根据题意列出代数式.可先求下调了 25%前的价格,再求原价.也可列方程求解. 解答: 解:① 算术求解:
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b÷(1﹣25%)+a= b+a. ② 列方程求解: 设原收费标准每分钟为 x 元, 则(x﹣a) (1﹣25%)=b,

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www.jyeoo.com 解得 x= b+a. 故选 D. 点评: 解决问题的关键是读懂题意,找到所求的量的等量关系.解题时注意交给学生方法,多种思维求解,不要 读死书. 3. (5 分)将直径为 64cm 的圆形铁皮,做成四个相同圆锥容器的侧面(不浪费材料,不计接缝处的材料损耗) ,那 么每个圆锥容器的高为( ) A .8 B.8 C.16 cm D.16cm cm cm 考点: 圆锥的计算. 分析: 易求得圆锥的侧面积,那么利用圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长可求得圆锥的底面半径,利用勾股定理 即可求得每个圆锥容器的高. 解答: 解:每个圆锥的侧面积为:π×(64÷2)2÷4=256πcm2; 由题意得:256π=π×r×32, 解得:r=8cm;
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每个圆锥容器的高为:

=8

cm.

故选 A. 点评: 本题考查了圆锥的计算,关键是求得圆锥的底面半径,注意利用圆锥的高,母线长,底面半径组成直角三 角形这个知识点. 4. (5 分)某商场对顾客实行优惠,规定: (1)如一次购物不超过 200 元,则不予折扣; (2)如一次购物超过 200 元但不超过 500 元的,按标价给予九折优惠; (3)如一次购物超过 500 元的,其中 500 元按第(2)条给予优惠,超过 500 元的部分则给予八折优惠. 某人两次去购物,分别付款 168 元与 423 元,如果他只去一次购买同样的商品,则应付款是( ) A.522.8 元 B.510.4 元 C.560.4 元 D.472.8 元 考点: 一元一次方程的应用. 专题: 销售问题. 分析: 某人两次去购物分别付款 168 元与 423 元,而 423 元是优惠后的付款价格,实际标价为 423÷0.9=470 元, 如果他只去一次购买同样的商品即价值 168+470=638 元的商品,按规定(3)进行优惠即可. 解答: 解:某人两次去购物,分别付款 168 元与 423 元,由于商场的优惠规定,168 元的商品未优惠,而 423 元的 商品是按九折优惠后的,则实际商品价格为 423÷0.9=470 元, 如果他只去一次购买同样的商品即价值 168+470=638 元的商品时,应付款为: 500×0.9+(638﹣500)×0.8=450+110.4=560.4(元) . 故选 C. 点评: 本题考查了一元一次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量 关系列出方程,再求解.本题容易把 423 元商品忽略当成标价处理而误选 A.
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5. (5 分)如图,在 Rt△ ABC 中,∠ ACB=90°,∠ ABC=66°,将△ ABC 绕顶点 C 旋转到△ A′ B′ C 的位置,使顶点 B 恰 好落在斜边 A′ B′ 上.设 A′ C 与 AB 相交于点 D,则∠ BDC=( )

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A.66°

B.78°

C.60°

D.72°

考点: 旋转的性质. 分析: 在 Rt△ ABC 中,∠ ACB=90°,∠ ABC=66°,则∠ A=24°,由旋转的性质可知 BC=B′ C,在等腰△ BB′ C 中求旋转 角∠ BCB′ ,根据旋转角相等求∠ ACA′ ,根据外角的性质求∠ BDC. 解答: 解:∵ 在 Rt△ ABC 中,∠ ACB=90°,∠ ABC=66°, ∴ ∠ A=90°﹣66°=24°, 由旋转的性质可知:BC=B′ C,∠ A′ B′ C=∠ B′ BC=∠ ABC, ∴ 旋转角∠ BCB′ =∠ ACA′ =180°﹣∠ A′ B′ C﹣∠ B′ BC=180°﹣66°﹣66°=48°, ∴ ∠ BDC=∠ A+∠ ACA′ =24°+48°=72°. 故选 D. 点评: 本题考查了旋转的性质:旋转前后对应线段相等,旋转角相等.关键是构造等腰三角形,利用外角的性质 求解.
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6. (5 分)如图,圆柱形开口杯底部固定在长方体水池底,向水池匀速注入水(倒在杯外) ,水池中水面高度是 h, 注水时间为 t,则 h 与 t 之间的关系大致为下图中的( )

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 分析: 根据题意分析,在杯外倒水,倒到一定程度与圆柱持平的时候水面不变,直到圆柱体内的水满了之后水面 便继续上升但上升的速度比起原先较慢. 解答: 解:根据题意分析可得:向水池匀速注入水分为 3 个阶段, ① 水面在圆柱形顶部下,水面上升; ② 水面与圆柱形顶部平,水面不变; ③ 水面在圆柱形顶部上,水面上升但与① 相比较慢. 故选 B. 点评: 本题要求正确理解函数图象与实际问题的关系,理解问题的过程,能够通过图象得到函数是随自变量的增 大,知道函数值是增大还是减小,通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢.
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7. (5 分)某地 2005 年第一季度应聘和招聘人数排行榜前 5 个行业的情况列表如下:
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www.jyeoo.com 行业名称 计算机 215830 应聘人数 行业名称 计算机 124620 招聘人数

机械 200250 营销 102935

营销 154676 机械 89115

物流 74570 建筑 76516

贸易 65280 化工 70436

若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中的数据,就业形势一定是 ( ) A.计算机行业好于化工行业 B. 建筑行业好于物流行业 C. 机械行业最紧张 D.营销行业比贸易行业紧张 考点: 统计表. 专题: 应用题. 分析: 由于用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,根据表格的数据可以分别求 出所有行业的应聘人数与招聘人数比值,然后根据这些比值即可求解. 解答: 解:依题意得 A、计算机的应聘人数大于招聘人数分别第一,但是化工行业的应聘人数小于招聘人数,故选项错误; B、建筑的应聘人数小于招聘人数,物流的应聘人数大于招聘人数,故选项正确; C、机械的应聘人数小于招聘人数,故选项错误; D、营销应聘人数小于招聘人数比值,贸易行业的应聘人数定义招聘人数,故选项错误. 故选 B. 点评: 此题主要考查了统计表的识别能力,解题的关键是会根据表格找出以后条件解决问题.
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8. (5 分)一条铁路原有 m 个车站,为了适应客运的需要新增加了 n 个(n>1)车站,则客运车票增加了 58 种, 那么原有车站是( ) A.12 个 B.13 个 C.14 个 D.15 个 考点: 直线、射线、线段. 分析: 根据已知条件得出增加 n 个车站后客运车票总种数, 再利用整数的性质以及一元二次方程的解得出 m 的值. 2 2 解答: 解:由题设 Am+n ﹣Am =58, 即 n(2m﹣1+n)=58=2×29. (1)若 n=2,则 2m﹣1+n=29,m=14; (2)若 n=29,则 2m﹣1+n=2,m=﹣13,不合题意,舍去; (3)若 n=1,则 2m﹣1+n=58,m=29; (n>1,不合题意,舍去 0; (4)若 n=58,则 2m﹣1+n=1,m=﹣28,不合题意,舍去. 故原有 14 个车站. 故选:C. 点评: 本题考查排列及排列数公式,是一个实际问题的应用,注意在讨论时 m,n 的条件,做到不重不漏,本题考 查的知识点比较多,是一个综合题目.
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二.填空题(每题 5 分,共 50 分)

9. (5 分)关于 x 的不等式组

只有 4 个整数解,则 a 的取值范围是 ﹣5<a≤﹣



考点: 一元一次不等式组的整数解. 分析: 此题可先根据一元一次不等式组解出 x 的取值,再根据不等式组 只有四个整数解,写出四个整数解后,再 求出实数 a 的取值范围.
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www.jyeoo.com 解答: 解: ,

由① 得:x<21, 由② 得:x>2﹣3a, ∴ 不等式组的解集为:2﹣3a<x<21, ∵ 不等式组只有四个整数解,即:20,19,18,17, ∴ 16≤2﹣3a<17, ∴ ﹣5<a≤﹣ . .

故答案为:﹣5<a≤﹣

点评: 此题主要考查了一元一次不等式组的整数解,解题中要注意分析不等式组的解集的确定,求不等式组的解 集,应遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了. 10. (5 分)将正偶数按下表排列: 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 2 第2行 4 6 第3行 8 10 12 第4行 14 16 18 20 … 根据上面的规律,则数字 2006 所在行、列分别是 45 行,13 列 . 考点: 规律型:数字的变化类. 专题: 规律型. 分析: 第一行有一个偶数, 第二行有 2 个偶数,最末的那一个为:2×(1+2)=6 第三行有 3 个偶数,最末的那一个为:2×(1+2+3)=12
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第 n 行有 n 个偶数,最末的那个为 2×(1+2+3+…+n)=2×

=n(n+1) .

解答: 解:∵ 44×45=1980, ∴ 2006 应在第 45 行, (2006﹣1980)÷2=13 列. 故答案为:45 行,13 列. 点评: 考查了规律型:数字的变化,解决此类探究性问题,关键在观察、分析已知数据,寻找它们之间的相互联 系,探寻其规律. 11. (5 分)如图,△ ABC 中,∠ C=90°,O 为 AB 上一点,以 O 为圆心,OB 为半径的圆与 AB 相交于点 E,与 AC 相切于点 D,已知 AD=2,AE=1,那么 BC= .

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www.jyeoo.com 考点: 切线的性质;相似三角形的判定与性质. 专题: 计算题. 分析: 连 OD,根据切线的性质得到 OD⊥ AC,在 Rt△ ADO 中,设 OD=R,AD=2,AE=1,利用勾股定理可计算出
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R= ,则 AO= ,AB=4,再根据 OD∥ BC,得到△ AOD∽ △ ABC,利用相似比 解答: 解:连 OD,如图, ∵ AC 为⊙ O 的切线, ∴ OD⊥ AC, 在 Rt△ ADO 中,设 OD=R,AD=2,AE=1, ∴ 2 +R =(R+1) , 解得 R= , ∴ AO= ,AB=4, 又∵ ∠ C=90°, ∴ OD∥ BC, ∴ △ AOD∽ △ ABC, ∴ = ,
2 2 2

=

,即可求出 BC 的长.

即 BC=

=



故答案为:



点评: 本题考查了切线的性质:圆心与切点的连线垂直切线;过圆心垂直于切线的直线必过切点;过圆外一点引 圆的两条切线,切线长相等.也考查了勾股定理以及三角形相似的判定与性质. 12. (5 分)某纺织厂的一个车间有 n(其中 n 是正自然数)台织布机,编号分别为 1,2,3,…,n,该车间有技术 工人 m 名(其中 m 是正自然数) ,编号分别为 1,2,3,…,m,引入记号 aij,如果第 i 号工人操作了第 j 号织布机, 此时规定 aij=1,否则 aij=0.若 a31+a32+a33+…+a3n=2,则该等式说明: 编号为 3 的工人操作了两台织布机 . 考点: 整数问题的综合运用. 专题: 规律型. 分析: 由题意, 定义记号 aij: 若第 i 名工人操作了第 j 号织布机, 规定 aij=1, 否则 aij=0, 现在有 a31+a32+a33+…+a3n=2 说明第 3 名工人操作了 n 台织布机中的 2 个. 解答: 解:由题意,a31+a32+a33+…+a3n=2 说明第 3 名工作人员操作了 n 台机器中的三个, 即第 3 名工人操作了两台织布机. 故答案为第 3 名工人操作了两台织布机. 点评: 本题考查映射的应用,解题的关键是正确理解题中的定义,理解由此定义给出的映射关系,从而对
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www.jyeoo.com a31+a32+a33+…+a3n=2 的实际意义作出判断. 13. (5 分)足球比赛的计分规则是:胜一场得 3 分,平一场得 1 分,负一场得 0 分,那么一个队打 14 场共得 19 分的情况有 4 种. 考点: 简单的枚举法. 分析: 本题是一个分类计数问题,需要分别列举出胜平负的所有情况,从胜一场开始,当胜一场时得到 3 分,平 16 场才能凑足 19 分,这样需要打 17 场,故不合题意,当胜 2 场时同样可以分析不合题意,再分析胜 3,4, 5,6 场的情况,兼顾所打的场数和所得到分数. 解答: 解:由题意知本题是一个分类计数问题, 当胜一场时得到 3 分,平 16 场才能凑足 19 分故不合题意, 当胜 2 场时得到 6 分,平 13 场,共需 15 场比赛,不合题意, 胜 3 场时得到 9 分,平 10 场,输一场,符合题意. 胜 4 场时得到 12 分,平 7 场,输 3 场,符合题意 胜 5 场时得到 15 分,平 4 场,输 5 场,符合题意 胜 6 场时得到 18 分,平 1 场,输 6 场,符合题意 综上所述共有 4 种结果满足题意. 故答案为:4. 点评: 此题考查了简单的枚举法应用,即分类计数问题,这是经常出现的一个问题,解题时一定要分清做这件事 需要分为几类,每一类包含几种方法,把几个步骤中数字相加得到结果.
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14. (5 分) (2004?荆门)某些植物发芽有这样一种规律:当年所发新芽第二年不发芽,老芽在以后每年都发芽.发 芽规律见下表(设第一年前的新芽数为 a) … 1 2 3 4 5 第n年 … a a 2a 3a 5a 老芽率 … 0 a a 2a 3a 新芽率 … a 2a 3a 5a 8a 总芽率 照这样下去,第 8 年老芽数与总芽数的比值为 0.618 (精确到 0.001) .

考点: 规律型:数字的变化类. 专题: 压轴题;图表型. 分析: 根据表格中的数据发现:老芽数总是前面两个数的和,新芽数是对应的前一年的老芽数,总芽数等于对应 的新芽数和老芽数的和.根据这一规律计算出第 8 年的老芽数是 21a,新芽数是 13a,总芽数是 34a,则比
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值为

≈0.618.

解答: 解:由表可知:老芽数总是前面两个数的和,新芽数是对应的前一年的老芽数,总芽数等于对应的新芽数 和老芽数的和, 所以第 8 年的老芽数是 21a,新芽数是 13a,总芽数是 34a, 则比值为 ≈0.618.

点评: 根据表格中的数据发现新芽数和老芽数的规律,然后进行求解.本题的关键规律为:老芽数总是前面两个 数的和,新芽数是对应的前一年的老芽数,总芽数等于对应的新芽数和老芽数的和. 15. (5 分)一个无盖的正方体纸盒,将它展开成平面图形,可能的情形共有 8 种. 考点: 几何体的展开图. 分析: 由平面图形的折叠及正方体的展开图解题. 解答: 解:和一个正方体的平面展开图相比较,可得出一个无盖的正方体有 8 种平面展开图.
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www.jyeoo.com 故答案为:8. 点评: 此题主要考查了正方体的展开图,正方体共有 11 种表面展开图,把 11 种展开图都去掉一个面得无盖的正 方体展开图,把相同的归为一种得无盖正方体有 8 种表面展开图. 16. (5 分)袋内装有大小相同的 4 个白球和 3 个黑球,从中任意摸出 3 个球,其中只有一个白球的概率是 .

考点: 列表法与树状图法. 分析: 根据乘法公式得出,从中任意摸出 3 个球,可以假设为分三次摸出小球不放回,即可得出三次得出小球的 概率,相乘即可得出答案. 解答: 解:由乘法公式得:若分三次摸出小球,第一次得出的是白球的概率为: ,而第二次得出黑球的概率为:
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,第三次得出黑球的概率为: , 由于先后顺序不同,概率相同但得出白球顺序不同,所以白球出现顺序有 3 种, ∴ 从中任意摸出 3 个球,其中只有一个白球的概率是: × × ×3= 故答案为: . ×3= .

点评: 此题主要考查了概率求法,根据已知得出将问题转化为分三次摸出小球不放回得出概率是解决问题的关键. 17. (5 分)有一个各条棱长均为 a 的正四棱锥(底面是正方形,4 个侧面是等边三角形的几何体) .现用一张正方 形包装纸将其完全包住,不能裁剪,可以折叠,那么包装纸的最小边长为 .

考点: 解直角三角形;几何体的展开图;等边三角形的性质;正方形的性质. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的是四棱锥的侧面展开问题.在解答时,首先要将四棱锥的四个侧面沿底面展开,观察展开的图 形易知包装纸的对角线处在什么位置是,包装纸面积最小,进而获得问题的解答. 解答: 解:由题意可知:当正四棱锥沿底面将侧面都展开时如图所示: 分析易知当以 PP′ 为正方形的对角线时, 所需正方形的包装纸的面积最小,此时边长最小. 2 2 设此时的正方形边长为 x 则: (PP′ ) =2x ,
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又因为 PP′ =a+2× ∴ 解得:x= 故答案为:x=
2

a=a+

a,

=2x , a. a.

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点评: 本题考查的是四棱锥的侧面展开问题.在解答的过程当中充分体现了侧面展开的处理问题方法、图形的观 察和分析能力以及问题转化的思想.值得同学们体会反思. 18. (5 分)已知 AB 是半径为 1 的圆 O 的弦,且 AB 的长为方程 x +x﹣1=0 的正根,则∠ AOB= 36° . 考点: 解直角三角形;解一元二次方程-公式法. 2 分析: 本题需先过点 O 作 OD⊥ AB,再根据 AB 的长为方程 x +x﹣1=0 的正根,求出 AD 的长,再在 Rt△ AOD 中, 求出 Sin∠ AOD 的值,从而求出∠ AOB 的度数. 解答: 解:过点 O 作 OD⊥ AB,
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2

则 AD= AB, ∵ x +x﹣1=0, ∴ (x+ ) = , ∴ x1=
2 2 2

,x2=

; ,

∴ 方程 x +x﹣1=0 的正根为 ∴ AB= ∴ AD= AB, = , ,

在 Rt△ AOD 中, sin∠ AOD= = , ,

∴ ∠ AOD=18°, ∴ ∠ AOB=36°. 故答案为:36°.

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点评: 此题是一个综合性很强的题目,主要考查等腰三角形的性质、解直角三角形等知识.难度适中,有利于培 养同学们钻研和探索问题的精神. 三.解答题(8+12+12+14+7+7) 19. (8 分)淮安市某电脑公司在市区和洪泽各有一分公司,市区分公司现有电脑 6 台,洪泽分公司有同一型号电脑 12 台,宜昌某单位向该公司购买该型号电脑 10 台,荆门某单位向该公司购买该型号电脑 8 台,已知市区运往宜昌 和荆门每台电脑的运费分别是 40 元和 30 元,洪泽运往宜昌和荆门每台电脑的运费分别是 80 元和 50 元. (1)设从洪泽调运 x 台至宜昌,该电脑公司运往宜昌和荆门的总运费为 y 元,求 y 关于 x 的函数关系式; (2)若总运费不超过 1000 元,问能有几种调运方案? (3)求总运费最低的调运方案及最低运费. 考点: 一次函数的应用. 分析: (1)首先设从洪泽调运 x 台至宜昌,则由题意可得:y=40(10﹣x)+30(x﹣4)+80x+50(12﹣x) ,化简 即可求得 y 关于 x 的函数关系式; (2)由总运费不超过 1000 元,即可得 y≤1000,即 20x+880≤1000,又由 4≤x≤10,即可求得答案; (3)根据一次函数的增减性,即可得 x 取最小时,y 值最小,即可得 x=4 时,y 最小为 960 元. 解答: 略解: (1)设从洪泽调运 x 台至宜昌,则由题意可得: y=40(10﹣x)+30(x﹣4)+80x+50(12﹣x)=20x+880, ∴ y 关于 x 的函数关系式为:y=20x+880 (4≤x≤10 ) ;﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分)
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(2)根据题意得:y≤1000, 即 20x+880≤1000, 得 x≤6, 而 4≤x≤10, ∴ x=4,5,6, 所以有三种调配方案总运费不超过 1000 元.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) (3)∵ k=20>0, ∴ y 随 x 的增大而增大, ∴ x 取最小时,y 值最小. 即 x=4 时,y 最小为 y=20x+880=960 元.﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) 点评: 此题考查了一次函数的应用问题.此题难度适中,解题的关键是理解题意,根据题意求得函数解析式,然 后利用解析式解题,注意方程思想的应用. 20. (12 分) (2002?荆门)如图,等腰 Rt△ ABC 的直角边 AB=2,点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发,以相同速度 作直线运动.已知点 P 沿射线 AB 运动,点 Q 沿边 BC 的延长线运动,PQ 与直线 AC 相交于点 D. (1)设 AP 的长为 x,△ PCQ 的面积为 S.求出 S 关于 x 的函数关系式; (2)当 AP 的长为何值时,S△PCQ=S△ABC; (3)作 PE⊥ AC 于点 E,当点 P、Q 运动时,线段 DE 的长度是否改变?证明你的结论.

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考点: 二次函数综合题. 专题: 压轴题;分类讨论. 分析: (1)本题要分两种情况进行讨论: ① 当 P 在线段 AB 上;② 当 P 在 AB 延长线上. △ PCQ 都是以 CQ 为底,PB 为高,可据此得出 S、x 的函数关系式. (2)先计算出△ ABC 的面积,然后将其值代入(1)中得出的两个函数式中,即可得出所求的 AP 的长. (3)本题要分两种情况进行计算:
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① 当 P 在线段 AB 上时, 过 P 作 PF∥ QB 交 AC 于 F, 那么不难得出△ PFD≌ △ QCD, 因此 DF=CD= ﹣2AE,因此根据 DE=EF+DF 即可得出 DE 的长. ② 当 P 在线段 AB 延长线上时,DE=EF﹣FD. 然后比较① ② 的 DE 的长是否相等即可判断出线段 DE 的长度是否改变. 解答: 解: (1)① 当点 P 在线段 AB 上时(如图 1) ,S△PCQ= CQ?PB. ∵ AP=CQ=x,PB=2﹣x. ∴ S△PCQ= x(2﹣x) . 即 S= (2x﹣x ) (0<x<2) ; ② 当点 P 在 AB 延长线上时(如图 2) ,S△PCQ= CQ?PB. ∵ AP=CQ=x,PB=x﹣2. ∴ S△PCQ= x(x﹣2) . 即 S= (x ﹣2x) (x>2) ;
2 2

, 而 CF=AC

(2)S△ABC= ×2×2=2.

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www.jyeoo.com ① 令 (2x﹣x )=2,即 x ﹣2x+4=0,此方程无解; ② 令 (x ﹣2x)=2,即 x ﹣2x﹣4=0,解得 x=1± 故当 AP 的长为 1+ 时,S△PCQ=S△ABC.
2 2 2 2



(3)作 PF∥ BC 交 AC 交延长线于 F,则 AP=PF=CQ. ∴ △ PFD≌ △ QCD. ∴ FD=CD= ∵ AP=x, ∴ AE=EF= . .

∵ AB=2, ∴ AC=2 . ① 当点 P 在线段 AB 上时, ∵ CF=AC﹣AF=2 ∴ DE=EF+DF= ﹣ ﹣ x,FD= x+ = = ; ﹣ x.

② 当点 P 在 AB 延长线上时, ∵ CF=AF﹣AC= x﹣2 .FD= = x﹣ x﹣ x﹣( . x﹣ )= .

∴ DE=EF﹣FD=AF﹣AE﹣DF=

故当 P、Q 运动时,线段 DE 的长度保持不变,始终等于 . 点评: 本题结合三角形的相关知识考查了二次函数的应用,主要考查了学生分类讨论、数形结合的数学思想方法. 21. (12 分) (2004?天津)已知一次函数 y1=2x,二次函数 y2=x +1. (Ⅰ )根据表中给出的 x 的值,计算对应的函数值 y1、y2,并填在表格中: x ﹣3﹣2﹣10123 y1=2x 2 y2=x +1 (Ⅱ )观察第(Ⅰ )问表中有关的数据,证明如下结论:在实数范围内,对于 x 的同一个值,这两个函数所对应的函 数值 y1≤y2 均成立; 2 (Ⅲ )试问,是否存在二次函数 y3=ax +bx+c,其图象经过点(﹣5,2) ,且在实数范围内,对于 x 的同一个值,这 三个函数所对应的函数值 y1≤y3≤y2 均成立?若存在,求出函数 y3 的解析式;若不存在,请说明理由. 考点: 二次函数综合题. 专题: 压轴题. 分析: (Ⅰ )根据表中所给的 x 的值,代入函数式求值即可; (Ⅱ )把 y2 化成完全平方的形式与 y1 进行比较即可得出结论; (Ⅲ )由图可知,在实数范围内,对于 x 的同一个值,三个函数所对应的函数值 y1≤y3≤y2 均成立,利用 c=2 2 ﹣5a,代入(b﹣2) ﹣4ac≤0 得出 a 的值,于是可推理出抛物线的解析式. 解答: 解: (Ⅰ )
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2

x

﹣3﹣2﹣10123 y1=2x ﹣6﹣4﹣20246
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www.jyeoo.com 2 y2=x +110 5

2

12510
2 2

(Ⅱ )在实数范围内,对于 x 的同一个值 y2=x +1=(x﹣1) +2x,y1=2x, 2 ∵ =(x﹣1) ≥0, ∴ y1≤y2; (Ⅲ )由 y1=2x,y2=x +1 得: 2 2 y2﹣y1=x +1﹣2x=(x﹣1) 即当 x=1 时,有 y1=y2=2. 所以(1,2)点为 y1 和 y2 的交点. 因为要满足 y1≤y3≤y2 恒成立,所以 y3 图象必过(1,2)点. 2 2 2 又因为 y3﹣y1=ax +bx+c﹣2x 恒大于等于 0,即 ax +(b﹣2)x+c 恒大于等于 0,所以二次函数 ax +(b﹣2) x+c 必定开口向上, 即有 a>0 且(b﹣2) ﹣4ac≤0, 2 同样有 y2﹣y3=(1﹣a)x ﹣bx+(1﹣c)恒大于 0, 2 有 1﹣a>0 且 b ﹣4(1﹣a) (1﹣c)≤0, 又因为函数过(﹣5,2)和(1,2)两点,所以有 25a﹣5b+c=2 ① a+b+c=2 ② ① ﹣② 得 b=4a, 将 b=4a 代入② 得:c=2﹣5a, 2 代入(b﹣2) ﹣4ac≤0 得, 2 2 2 (4a﹣2) ﹣4a(2﹣5a)=16a ﹣16a+4﹣8a+20a 2 2 =36×a ﹣24a+4=4(3a﹣1) ≤0 等式成立时 a= , 将 b=4a,c=2﹣5a 代入 b ﹣4(1﹣a) (1﹣c)≤0, 2 2 2 (4a) ﹣4(1﹣a) (1﹣(2﹣5a) )=36×a ﹣24a+4=4(3a﹣1) ≤0 满足条件 a= 所以 y3 的解析式为 y3= (x +4a+1)=
2 2 2 2

+ x+ .

点评: 此题结合图表考查了同学的对函数图象上点的坐标特征的理解,以及通过数形结合考查了同学们的探索发 现能力. 解答此题需要熟知函数图象的交点个数与判别式的关系,通过将函数问题转化为方程问题来解答. 22. (14 分)取一张矩形的纸进行折叠,具体操作过程如下: 第一步:先把矩形 ABCD 对折,折痕为 MN,如图(1)所示;
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www.jyeoo.com 第二步:再把 B 点叠在折痕线 MN 上,折痕为 AE,点 B 在 MN 上的对应点为 B′ ,得 Rt△ AB′ E,如图(2)所示; 第三步:沿 EB′ 线折叠得折痕 EF,如图(3)所示;利用展开图(4)所示.

探究: (1)△ AEF 是什么三角形?证明你的结论. (2)对于任一矩形,按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由. (3)如图(5) ,将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠,使点 A 落在 DC 边上的点 A′ 处,x 轴垂直平分 DA,直线 EF 的表 达式为 y=kx﹣k (k<0) ① 问:EF 与抛物线 y= 有几个公共点? 的值.

② 当 EF 与抛物线只有一个公共点时,设 A′ (x,y) ,求

考点: 二次函数综合题;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;翻折变换(折叠问题) ;相似三角 形的判定与性质. 分析: (1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,以及矩形性质得出∠ AEF=60°,∠ EAF=60°,即可得出 答案;
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(2)根据矩形的长为 a,宽为 b,可知 出; (3)① 由已知得出

时,一定能折出等边三角形,当

<b<a 时,不能折

得到 x +8kx﹣8k=0,△ =(8k) +32k=32k(2k+1) ,再分析 k 即可得出答案;

2

2

② 得出 Rt△ EMO∽ Rt△ A′ AD,进而得出 解答: 解: (1)△ AEF 是等边三角形 证明:∵ PE=PA, B′ P 是 RT△ AB′ E 斜边上的中线 ∴ PA=B′ P, ∴ ∠ EAB′ =∠ PB′ A, 又∵ PN∥ AD, ∴ ∠ B′ AD=∠ PB′ A, 又∵ 2∠ EAB′ +∠ B′ AD=90°, ∴ ∠ EAB′ =∠ B′ AD=30°, 易证∠ AEF=60°,∴ ∠ EAF=60°, ∴ △ AEF 是等边三角形; (2)不一定, 设矩形的长为 a,宽为 b,可知 当 <b<a 时,不能折出;

,即可求出答案.

时,一定能折出等边三角形,

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(3)① 由
2


2

得 x +8kx﹣8k=0,△ =(8k) +32k=32k(2k+1) , ∵ k<0. ∴ k<﹣ 时,△ >0,EF 与抛物线有两个公共点. 当 当 时,EF 与抛物线有一个公共点. 时,EF 与抛物线没有公共点, ,

② EF 与抛物线只有一个公共点时, EF 的表达式为 ,

EF 与 x 轴、y 轴的交点为 M(1,0) ,E(0, ) , ∵ ∠ EMO=90°﹣∠ OEM=∠ EAA′ , ∴ RT△ EMO∽ RT△ A′ AD, ,

即 ∴ .



点评: 此题主要考查了二次函数的综合应用以及矩形的性质和相似三角形的判定等知识,相似三角形经常与二次 函数综合应用,同学们应有意识地运用. 23. (7 分) (2005?无锡)已知正方形 ABCD 的边长 AB=k(k 是正整数) ,正△ PAE 的顶点 P 在正方形内,顶点 E 在 边 AB 上,且 AE=1.将△ PAE 在正方形内按图 1 中所示的方式,沿着正方形的边 AB、BC、CD、DA、AB、…连续 地翻转 n 次,使顶点 P 第一次回到原来的起始位置.

(1) 如果我们把正方形 ABCD 的边展开在一直线上, 那么这一翻转过程可以看作是△ PAE 在直线上作连续的翻转运 动.图 2 是 k=1 时,△ PAE 沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图.请你探索:若 k=1,则△ PAE 沿正方形的边连 续翻转的次数 n= 12 时,顶点 P 第一次回到原来的起始位置;

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www.jyeoo.com (2)若 k=2,则 n= 24 时,顶点 P 第一次回到原来的起始位置;若 k=3,则 n= 12 时,顶点 P 第一次回到原 来的起始位置; (3)请你猜测:使顶点 P 第一次回到原来的起始位置的 n 值与 k 之间的关系(请用含 k 的代数式表示 n) . 考点: 正方形的性质;等边三角形的性质. 专题: 压轴题. 分析: 正△ PAE 的顶点 P 在正方形内按图 1 中所示的方式连续地翻转,顶点 P 第一次回到原来的起始位置,实际上 正方形周长和与三角形的周长和相等,正方形的周长=4k,三角形的周长=3,即找 4k,3 的最小公倍数,由 此求出 k=1,2,3 时 n 的值;故当 k 是 3 的倍数时,n=4k;当 k 不是 3 的倍数时,n=12k. 解答: 解:正△ PAE 的顶点 P 在正方形内按图 1 中所示的方式连续地翻转,顶点 P 第一次回到原来的起始位置,实 际上正方形周长和与三角形的周长和相等, 正方形的周长=4k, 三角形的周长=3, 即找 4k,3 的最小公倍数; (1)当 k=1 时,4k,3 的最小公倍数是 12,故 n=12;
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(2)当 k=2 时,4k,3 的最小公倍数是 24,故 n=24;当 k=3 时,4k,3 的最小公倍数是 12,故 n=12; (3)当 k 是 3 的倍数时 n=4k,当 k 不是 3 的倍数时 n=12k. 点评: 本题考查了等边三角形在正方形中的翻转中周长的最小公倍数问题,注意找到等量关系.

24. (7 分)一只袋子里装有红球和绿球,第一次从中摸出是红球和绿球的概率均为 ,如果上一次摸出是红球,则 下一次摸出是红球的概率为 ,绿球的概率为 ;如果上一次摸出的是绿球,则下一次摸出的是红球的概率为 ,绿 球的概率为 ,记 Pn 表示第 n 次摸出的是红球的概率, (1)P1= ;P2= ; Pn﹣1+ (1﹣Pn﹣1) .

(2)试写出 Pn 与 Pn﹣1 之间的关系式;

考点: 概率公式. 专题: 规律型. 分析: (1)由一只袋子里装有红球和绿球,第一次从中摸出是红球和绿球的概率均为 ,即可求得 P1 的值,又由
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如果上一次摸出是红球,则下一次摸出是红球的概率为 ,绿球的概率为 ;如果上一次摸出的是绿球,则 下一次摸出的是红球的概率为 ,绿球的概率为 ,即可得 P2= P1+ (1﹣P1) ,继而求得 P2 的值; (2)根据题意可得规律为:Pn= Pn﹣1+ (1﹣Pn﹣1) . 解答: 解: (1)∵ 第一次从中摸出是红球和绿球的概率均为 , ∴ P1= ;﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1 分) ∵ 若第一次摸出是红球,则此时摸出是红球的概率为 ,这种情况下的概率为: ×P1= × , 若第一次摸出是绿球,则此时摸出是红球的概率为 ,这种情况下的概率为: ×(1﹣P1) ,

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www.jyeoo.com ∴ P2= P1+ (1﹣P1)= × + × = ;﹣﹣﹣﹣(3 分)

(2)根据题意得:Pn= Pn﹣1+ (1﹣Pn﹣1) .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分) 故答案为: (1) , 点评: ; (2) Pn﹣1+ (1﹣Pn﹣1) .

此题考查了概率公式的应用. 此题属于规律性题目, 难度比较大, 解题的关键是根据题意得到规律: Pn= Pn
﹣1

+ (1﹣Pn﹣1) .

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:py168;蓝月梦;kuaile;zcx;Liuzhx;csiya;自由人;lantin;lanyan;MMCH; sd2011;lbz;张超。 ;HLing;心若在;gbl210;sjzx;110397;马兴田;wdxwzk;CJX;gsls(排名不分先后)
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