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4.5反函数的概念(答案)


4.5

反函数的概念

一、内容提要 1.对于函数 y ? f (x) ,设它的定义域为 D ,值域为 A ,如果对 A 中任意一 个值 y , D 中总有唯一确定的 x 值与它对应, 在 且满足 y ? f (x) , 这样得到的 x 关 于 y 的函数叫做 y ? f (x) 的反函数, 记作 x ? f ?1 ( y) , 习惯写作 y ? f ?1 ( x)(x ? A) 。 2.函数 y ? f (x) 与 y ? f ?1 ( x) 互为反函数。 3. 函数 y ? f (x) 的图像和它的反函数 y ? f ?1 ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称。

二、基础训练题 1.函数 y ? x 2 ? 1 ( x ? ?1 )的反函数是__ y ? ? x 2 ? 1 ( x ? 0 )_______. 2. f ( x) ?
1 ( x ? ?1) ,则 f 1? x2
?1

1 7 (? ) ? f (?2) 的值为___ ? ______. 3 3

3.要使函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1 在 ?1,2? 上存在反函数,则 a 的取值范围是 _____ a ? 1 或 a ? 2 ________. 3x ? 2 4 .若函数 f ( x ) ? 有 反函数 , 则实数 a 的取值范围是 ____ a ? R 且 x?a 2 a ? _____. 3 5 . 已 知 函 数

f ( x) ? x 2 ? 5 (

x?0

) , 则

f ?1 (9)



___ f ?1 (9) ? ? 9 ? 5 ? ?2 _______. 6. 已知 f ( x) ? 2 x ? b 的反函数为 f ?1 ( x) , y ? f ?1 ( x) 的图像经过点 Q(5,2) , 若 则 b =___ b=1_____. 7.点 ( a, b) 在函数 y ? f (x) 的图象上,则下列各点中必在其反函数图象上的 是 (D ). A.(a, f ?1 (a)) B.( f ?1 (a), a) C.( f ?1 (b), b) D.(b, f ?1 (b))

8.设函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 , x ? ?? ?,1? ,则 f ?1 ( x) 的定义域是(D) A. ?0,??? B. (2,??) C. ?? ?,1? D.

? 2,???

1

9.已知 f ( x ? 1) ? A.

x 1? x 1 10.将 y ? 的图象向右平移一个单位,向上平移 2 个单位再作关于 y ? x 的 x 对称图象,所得图象的函数的解析式为(A) x ?1 ? x?3 ? x ?1 x?3 A. y ? B. y ? C. y ? D. y ? x?2 x?2 x?2 x?2

x ,则 f ?1 ( x) 的表达式为(B) x ?1 1 x ?1 x ?1 B. C. ? D. 1? x x x

?x2 11.求函数 y ? ? ?? 3x

( x ? 0) 的反函数. ( x ? 0)

解:当 x ? 0 时, y ? x 2 则反函数为 y ? ? x ( x ? 0 ) ;
1 当 x ? 0 时, y ? ?3x 则反函数为 y ? ? x ( x ? 0 ) ,原函数的反函数为 3

?? x ? y?? 1 ?? x ? 3

( x ? 0) ( x ? 0)

12.若点 A(2, m) 在函数 y ?

2x ?1 的反函数的图象上,求 m . 4x ? 3 2x ?1 解: 由反函数的概念及题设条件可得 A?(m,2) 在函数 y ? 的图象上, 4x ? 3 2m ? 1 5 即2 ? ,解得 m ? ? . 4m ? 3 6

13.已知函数 y ? m x ? 2 与 y ? nx ? 3 的图象关于直线 y ? x 对称,求 m 、 n 的 值. 解:? y ? m x ? 2 , y ? nx ? 3 的图象关于直线 y ? x 对称,? y ? m x ? 2 的 反函数就是 y ? nx ? 3 又? y ? m x ? 2 的反函数为 y ? 同一函数,则
2 ?1 ? ?n m?? ? ? ?m ? 3 ?? ? 2 3 ?? ? 3 ?n ? ? ? ? m 2 ? ?
1 2 1 2 x ? ,故 y ? x ? 和 y ? nx ? 3 应为 m m m m

2

三、能力提高题 14.已知函数 f ( x) ? 解: ? 1 15.求与函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图象关于直线 y ? x 对称的图象所对应的函 数. 解:由 y ? f ( x ? a) ? b 可得 f ( x ? a) ? y ? b ,即 x ? a ? f ?1 ( y ? b) ,即
x?5 的图象关于直线 y ? x 对称,求 m 的值. 2x ? m

x ? f ?1 ( y ? b) ? a

所求函数 y ? f ?1 ( x ? b) ? a

?? 2 x x ? ?0,?? ? 16.函数 y ? ? 2 是否存在反函数,若存在,请求出来;若不 ? x ? 1 x ? ?? ?,0?

存在,请说明理由.
1 解:不存在反函数,理由为:已知函数不是单调函数,如取 y ? ? 时, 2

对应的 x 值有两个值为 x1 ?

1 2 , x2 ? . 4 2

3


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