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新人教A版必修1高中数学3.1.1 方程的根与函数的零点课件_图文

2016/11/19

零点的定义
对于函数 y ? f ( x) ,我们把使 f ( x) ? 0 的实数x 叫 做函数 y ? f ( x) 的零点。 等价关系 方程f(x)=0有实根
函数零点既是对应方程的根,又是 函数图像与x轴交点的横坐标

? 函数y=f(x)与x轴有交点 ? 函数y=f(x)有零点

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连 续不断的一条曲线,并且有 f (a) ? f (b) ? 0 那么点(a,f(a)),(b,f(b))有怎样的位置关系?函 数y=f(x)的图像穿过x轴吗?与x轴有交点吗?
点(a,f(a)),(b,f(b))分布在x轴的两侧; 函数y=f(x)的图像穿过x轴;

与x轴有交点
3

零点存在性定理: 如果函数y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断 的一条曲线, 并且有f(a)· f(b)<0, 那么函数y=f(x)在区间 (a, b)内必有零点, 即存在c∈(a, b), 使得f(c)=0, 这个c也 就是方程f(x)=0的根.

例一:判断正误,若不正确,请使用函数图像举出反例。 (1)函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a).f(b)<0,则函数 y=f(x)区间(a,b)上有零点.

零点存在性定理注意事项: (1)函数是必须连续的

(2)函数y=f(x)在区间[a,b]上有零点,则f(a).f(b)<0

零点存在性定理注意事项: (2)定理不可逆

(3)函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且满足 f(a).f(b)<0,则函数y=f(x)区间(a,b)上有且只 有一个零点 零点存在性定理注意事项: (3)至少存在一个零点

(4)函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且满足 f(a).f(b)>0,则函数y=f(x)区间(a,b)上没有 零点
零点存在性定理注意事项: (4)如果函数的图像穿过x轴或者与x轴相 切,则函数一定有零点。换句话说,零点的 产生有两种情形。零点存在性定理只能判断 前一种情形。
2016/11/19

例2: 已知函数y=f(x)的图像是连续不断的,有下边对应表格, 那么函数在[1,6]上的零点至少有( C )个。 A、5 B 、4 C 、3 D 、2
x 1 2 3 4 5 6 7

f(x) 2.3 9

-7

11

-5

-12

-26

例3:函数f(x)=2x+3x的零点所在大致区间为( A ) A (-1,0) B (0,1) C (1,2) D (2,3)

例3:求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数 分析: 函数f(x)=lnx+2x-6的零点 →方程lnx+2x-6=0的根 →方程 lnx=-2x+6的根 →函数 y=lnx的图像与函数 y=-2x+6的图像的交



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例3:求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数
解:用计算器或计算机作出 x, f(x) 的对应值表(表3--1)和图像。

表3--1

x

1
-4

2
-1.3069

3
1.0986

4
3.3863

5
5.6094

6
7.7918

7
9.9459

8
12.0794

9
14.1972

f( x)

由上表可知: f(2)<0,f(3)>0, 得f(2)· f(3)<0,说明这个函数在 区间(2,3)内有零点。 由于函数f(x)在定义域(0,+∞) 内是增函数,所以它仅有一个零点.

y
14 12 10 8 6 4 2 0 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

-4 -6

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课堂检测
1、函数f(x)=(x2-2)(x2-3x+2) 的零点个数为( D ) A 1 B 2 C 3 D 4 2、函数f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)f(b)>0,则函数f(x)在 区间[a,b]上( D ) A 一定没有零点 B 至少有一个零点 C 只有一个零点 D 零点情况不确定 3、函数f(x)=2x+3x的零点所在大致区间为( A ) A (-1,0) B (0,1) C (1,2) D (2,3)

作业1:课时作业十八

课堂小结
知识: (1)零点的概念 (2)方程的根与函数零点的关系 (3)求函数零点方法:代数法,几何法 (4)零点存在性定理 方法:特殊到一般 思想:函数与方程,数形结合的思想

【引例】解方程
(1)

3x ? 2 ? 0
x 2 ? 5x ? 6 ? 0

(2)

(3)

ln x ? 2 x ? 6 ? 0

y ? ln x ? 2 x ? 6

作业2:预习用二分法求方程的近似解


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