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《一元二次不等式及其解法》典型例题透析


《一元二次不等式及其解法》典型例题透析
类型一:解一元二次不等式 例 1. 解下列一元二次不等式 (1) x ? 5x ? 0 ;
2

(2) x ? 4 x ? 4 ? 0 ;
2

(3) ? x ? 4 x ? 5 ? 0
2

思路点拨: 转化为相应的函数,数形结合解决,或利用符号法则解答. 解析: (1)方法一: 因为 ? ? (?5)2 ? 4 ?1? 0 ? 25 ? 0 所以方程 x ? 5x ? 0 的两个实数根为: x1 ? 0 , x2 ? 5
2

函数 y ? x2 ? 5x 的简图为:

因而不等式 x ? 5x ? 0 的解集是 {x | 0 ? x ? 5} .
2

方法二: x2 ? 5x ? 0 ? x( x ? 5) ? 0 ? ?

?x ? 0 ?x ? 0 或? ?x ? 5 ? 0 ?x ? 5 ? 0

?x ? 0 ?x ? 0 或 ? ,即 0 ? x ? 5 或 x ?? . ?x ? 5 ?x ? 5 2 因而不等式 x ? 5x ? 0 的解集是 {x | 0 ? x ? 5} .
解得 ? (2)方法一: 因为 ? ? 0 , 方程 x2 ? 4 x ? 4 ? 0 的解为 x1 ? x2 ? 2 . 函数 y ? x ? 4x ? 4 的简图为:
2

所以,原不等式的解集是 {x | x ? 2} 方法二: x ? 4 x ? 4 ? ( x ? 2) ? 0 (当 x ? 2 时, ( x ? 2) ? 0 )
2 2 2

所以原不等式的解集是 {x | x ? 2} (3)方法一: 原不等式整理得 x ? 4 x ? 5 ? 0 .
2

因为 ? ? 0 ,方程 x ? 4 x ? 5 ? 0 无实数解,
2

函数 y ? x2 ? 4x ? 5 的简图为:

所以不等式 x ? 4 x ? 5 ? 0 的解集是 ? .
2

所以原不等式的解集是 ? . 方法二:∵ ? x2 ? 4x ? 5 ? ?( x ? 2)2 ? 1 ? ?1 ? 0 ∴原不等式的解集是 ? . 总结升华: 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决,培养并提高数形结合的分 析能力; 2. 当 ? ? 0 时,用配方法,结合符号法则解答比较简洁(如第 2、3 小题) ;当 ? ? 0 且 是一个完全平方数时,利用因式分解和符号法则比较快捷, (如第 1 小题). 3. 当二次项的系数小于 0 时,一般都转化为大于 0 后,再解答. 举一反三: 【变式 1】解下列不等式 (1) 2 x ? 3x ? 2 ? 0 ;(2) ?3x ? 6 x ? 2 ? 0
2 2

(3) 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 ; (4) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 . 【答案】 (1)方法一:
2 2

因为 ? ? (?3)2 ? 4 ? 2 ? (?2) ? 25 ? 0
2 方程 2 x ? 3x ? 2 ? 0 的两个实数根为: x1 ? ?

1 , x2 ? 2 2

函数 y ? 2 x ? 3x ? 2 的简图为:
2

因而不等式 2 x ? 3x ? 2 ? 0 的解集是: {x | x ? ?
2

(2 x ? 1)( x ? 2) ? 0 , 方法二:∵原不等式等价于
∴ 原不等式的解集是: {x | x ? ? (2)整理,原式可化为 3x ? 6 x ? 2 ? 0 , 因为 ? ? 0 ,
2

1 或x ? 2} . 2

1 或x ? 2} . 2

方程 3x ? 6 x ? 2 ? 0 的解 x1 ? 1 ?
2

3 3 , x2 ? 1 ? , 3 3

函数 y ? 3x2 ? 6 x ? 2 的简图为:

所以不等式的解集是 (1 ? (3)方法一: 因为 ? ? 0

3 3 ,1 ? ). 3 3
1 , 2

2 方程 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 有两个相等的实根: x1 ? x2 ?

由函数 y ? 4 x2 ? 4 x ? 1的图象为:

原不等式的的解集是 { } . 方法二:∵ 原不等式等价于: (2 x ? 1) ? 0 ,
2

1 2

∴原不等式的的解集是 { } . (4)方法一: 因为 ? ? 0 ,方程 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 无实数解,
2

1 2

由函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 的简图为:

原不等式的解集是 ? . 方法二:∵ ? x2 ? 2 x ? 3 ? ?( x ? 1)2 ? 2 ? ?2 ? 0 , ∴ 原不等式解集为 ? . 【变式 2】解不等式: ?6 ? x ? x ? 6 ? 6 【答案】原不等式可化为不等式组
2
2 2 ? ? ?( x ? 4)( x ? 3) ? 0 ?x ? x ? 6 ? 6 ? x ? x ? 12 ? 0 ,即 ? 2 ,即 ? , ? 2 ? ? ? x( x ? 1) ? 0 ?x ? x ? 0 ? ?6 ? x ? x ? 6 ? ?3 ? x ? 4 解得 ? ? x ? 1或x ? 0

∴原不等式的解集为 {x | ?3 ? x ? 0或1 ? x ? 4} . 类型二:已知一元二次不等式的解集求待定系数 例 2. 不等式 x ? mx ? n ? 0 的解集为 x ? (4,5) , 求关于 x 的不等式 nx ? mx ? 1 ? 0 的 解集。
2 2

思路点拨:由二次不等式的解集为 (4,5) 可知:4、5 是方程 x ? mx ? n ? 0 的二根,故
2

由韦达定理可求出 m 、 n 的值,从而解得.

解析:由题意可知方程 x ? mx ? n ? 0 的两根为 x ? 4 和 x ? 5
2

由韦达定理有 4 ? 5 ? ? m , 4 ? 5 ? ?n ∴ m ? ?9 , n ? ?20 ∴ nx ? mx ? 1 ? 0 化为 ?20 x ? 9 x ? 1 ? 0 ,即 20 x ? 9 x ? 1 ? 0
2 2 2

1 1 (4 x ? 1)(5x ? 1) ? 0 ,解得 ? ? x ? ? , 4 5 1 1 2 故不等式 nx ? mx ? 1 ? 0 的解集为 (? , ? ) . 4 5
总结升华:二次方程的根是二次函数的零点,也是相应的不等式的解集的端点.根据不等 式的解集的端点恰为相应的方程的根, 我们可以利用韦达定理, 找到不等式的解集与其系数 之间的关系,这一点是解此类题的关键。 举一反三: 2 【变式 1】不等式 ax +bx+12>0 的解集为{x|-3<x<2},则 a=_______, b=________。 2 【答案】由不等式的解集为{x|-3<x<2}知 a<0,且方程 ax +bx+12=0 的两根为-3,2。

? b ? ? ?3 ? 2 ? ?1 ? ? a 由根与系数关系得 ? ?12 ? (?3) ? 2 ? ?6 ? ?a
解得 a=-2, b=-2。
2 【 变 式 2 】 已 知 ax ? 2 x ? c ? 0 的 解 为 ?

1 1 ? x ? ,试求 a 、 c ,并解不等式 3 2

?cx 2 ? 2 x ? a ? 0 .
【答案】由韦达定理有: ?

1 1 2 1 1 c ? ? ? , ? ? ? ,∴ a ? ?12 , c ? 2 . 3 2 a 3 2 a
2 2

∴代入不等式 ?cx ? 2 x ? a ? 0 得 ?2 x ? 2 x ? 12 ? 0 ,
2 即 x ? x ? 6 ? 0 , ( x ? 3)( x ? 2) ? 0 ,解得 ?2 ? x ? 3 ,

故不等式 ?cx ? 2 x ? a ? 0 的解集为: (?2,3) .
2

【变式 3 】已知关于 x 的不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 (1, 2),求关于 x 的不等式
2

bx2 ? ax ? 1 ? 0 的解集.
【答案】由韦达定理有: ?

? ?a ? 1 ? 2 ?a ? ?3 2 ,解得 ? , 代入不等式 bx ? ax ? 1 ? 0 得 ?b ? 1? 2 ?b ? 2 1 2 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 ,即 (2 x ? 1)( x ? 1) ? 0 ,解得 x ? 或 x ? 1 . 2 1 2 ∴ bx ? ax ? 1 ? 0 的解集为: (??, ) (1, ??) . 2

类型三:二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题

例 3.已知关于 x 的不等式(m +4m-5)x -4(m-1)x+3>0 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围。 思路点拨:不等式对一切实数恒成立,即不等式的解集为 R,要解决这个问题还需要讨 论二次项的系数。 解析: 2 (1)当 m +4m-5=0 时,m=1 或 m=-5 若 m=1,则不等式化为 3>0, 对一切实数 x 成立,符合题意。 若 m=-5,则不等式为 24x+3>0,不满足对一切实数 x 均成立,所以 m=-5 舍去。 2 (2)当 m +4m-5≠0 即 m≠1 且 m≠-5 时, 2 2 由此一元二次不等式的解集为 R 知, 抛物线 y=(m +4m-5)x -4(m-1)x+3 开口向上, 且 与 x 轴无交点,
2 ? ?m ? 4m ? 5 ? 0 所以 ? , 2 2 ? ? ? 16 ( m ? 1 ) ? 12 ( m ? 4 m ? 5 ) ? 0 ?

2

2

即?

?m ? 1或m ? ?5 ?1 ? m ? 19

, ∴ 1<m<19。

综上所述,实数 m 的取值范围是{m|1≤m<19}。 总结升华:情况(1)是容易忽略的,所以当我们遇到二次项系数含有字母时,一般需讨论。 举一反三: 【变式 1】 若关于 x 的不等式 mx2 ? (2m ? 1) x ? m ?1 ? 0 的解集为空集,求 m 的取值 范围. 【答案】关于 x 的不等式 mx ? (2m ? 1) x ? m ?1 ? 0 的解集为空集
2

即 mx ? (2m ? 1) x ? m ?1 ? 0 的解集为 R
2

当 m ? 0 时,原不等式为: ? x ? 1 ? 0 ,即 x ? ?1 ,不符合题意,舍去. 当 m ? 0 时,原不等式为一元二次不等式,只需 m ? 0 且 ? ? 0 , 即?

?(2m ? 1)2 ? 4m(m ? 1) ? 0 ?m ? 0

,解得 m ? ?

1 , 8

综上, m 的取值范围为: m ? ( ??, ? ) . 【变式 2】若关于 x 的不等式 mx ? (2m ? 1) x ? m ?1 ? 0 的解为一切实数,求 m 的取值
2

1 8

范围. 【答案】当 m ? 0 时,原不等式为: ? x ? 1 ? 0 ,即 x ? ?1 ,不符合题意,舍去. 当 m ? 0 时,原不等式为一元二次不等式,只需 m ? 0 且 ? ? 0 , 即?

?(2m ? 1)2 ? 4m(m ? 1) ? 0 ?m ? 0

,解得 m ? 0 ,

综上, m 的取值范围为: m ? (0, ??) .

【变式 3】若关于 x 的不等式 mx2 ? (2m ? 1) x ? m ?1 ? 0 的解集为非空集,求 m 的取值 范围. 【答案】当 m ? 0 时,原不等式为: ? x ? 1 ? 0 ,即 x ? ?1 ,符合题意. 当 m ? 0 时,原不等式为一元二次不等式,显然也符合题意 当 m ? 0 时,只需 ? ? 0 ,

?(2m ? 1)2 ? 4m(m ? 1) ? 0 1 即? ,解得 ? ? m ? 0 , 8 ?m ? 0
综上, m 的取值范围为: m ? [ ? , ??) . 类型四:含字母系数的一元二次不等式的解法 例 4.解下列关于 x 的不等式 (1)x2-2ax≤-a2+1; 2 (2)x -ax+1>0; 2 (3)x -(a+1)x+a<0; 解析: (1) x2 ? 2ax ? a2 ?1 ? 0 ? [( x ? a) ?1][( x ? a) ? 1] ? 0 ? a ?1 ? x ? a ? 1 ∴原不等式的解集为 {x | a ? 1 ? x ? a ? 1} 。 (2) Δ =a -4 当 Δ >0 , 即
2

1 8

a>2



a<-2

时 , 原 不 等 式 的 解 集 为

{x | x ?

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 或x ? } 2 2
当Δ =0,即 a=2 或-2 时,原不等式的解集为 { x | x ?

a }。 2

当Δ <0,即-2<a<2 时,原不等式的解集为 R。 (3)(x-1)(x-a)<0 当 a>1 时,原不等式的解集为{x|1<x<a} 当 a<1 时,原不等式的解集为{x|a<x<1} 当 a=1 时,原不等式的解集为 ? 。 总结升华:对含字母的二元一次不等式,一般有这样几步: ①定号:对二次项系数大于零和小于零分类,确定了二次曲线的开口方向; ②求根:求相应方程的根。当无法判断判别式与 0 的关系时,要引入讨论,分类求 解; ③定解:根据根的情况写出不等式的解集;当无法判断两根的大小时,引入讨论。 举一反三: 【变式1】解关于x的不等式: x ? (a ?
2

1 ) x ? 1 ? 0(a ? 0) a

【答案】原不等式化为 ( x ? a )( x ? ①a=1或a=-1时,解集为?; ②当0<a<1 或a<-1时, a ?

1 )?0 a

1 1 ,解集为: {x | a ? x ? } ; a a

③当a>1或 -1<a<0时, a ?

1 1 ,解集为: {x | ? x ? a} 。 a a

【变式 2】解关于 x 的不等式: x2 ? (a ? a2 ) x ? a3 ? 0 ( a ? R ) 【答案】 x2 ? (a ? a2 ) x ? a3 ? 0 ? ( x ? a)( x ? a2 ) ? 0 当 a<0 或 a>1 时,解集为 {x | x ? a或x ? a2} ; 当 a=0 时,解集为 {x | x ? 0} ; 当 0<a<1 时,解集为 {x | x ? a2或x ? a} ; 当 a=1 时,解集为 {x | x ? 1} ; 例5.解关于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0。 解析:若 a=0,原不等式 ? -x+1<0 ? x>1; 若 a<0,原不等式 ? x ? (1 ? ) x ?
2

1 a

1 1 1 ? 0 ? ( x ? )( x ? 1) ? 0 ? x ? 或 x a a a 1 1 ? 0 ? ( x ? )( x ? 1) ? 0 , a a

>1; 若 a>0,原不等式 ? x ? (1 ? ) x ?
2

1 a

1 与 1 的大小关系决定,故 a (1)当 a=1 时,原不等式 ? x ?? ; 1 (2)当 a>1 时,原不等式 ? ? x ? 1 ; a 1 (3)当 0<a<1 时,原不等式 ? 1 ? x ? a
其解的情况应由 综上所述: 当 a<0,解集为 {x | x ?

1 或x ? 1} ; a 1 a

当 a=0 时,解集为{x|x>1}; 当 0<a<1 时,解集为 {x |1 ? x ? } ; 当 a=1 时,解集为 ? ; 当 a>1 时,解集为 {x |

1 ? x ? 1} 。 a

总结升华:熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础,对最高项含有字母系数 的不等式,要注意按字母的取值情况进行分类讨论,分类时要“不重不漏” 。 举一反三: 【变式1】解关于x的不等式:(ax-1)(x-2)≥0; 【答案】当a=0时,x∈(-?,2]. 当a≠0时,方程(ax-1)(x-2)=0两根为 x1 ? ①当a>0时,

1 , x2 ? 2 a

1 1 1 时, x ? (?? ,2] ? [ ,?? ) ; a 2 a 1 1 若 a ? 0, =2 , 即 a ? 时,x∈R; a 2 1 1 1 若 a ? 0, ? 2 , 即 a ? 时, x ? (?? , ] ? [2,?? ) . a 2 a 1 1 2] 。 ②当a<0时,则有: ? 2 , ∴ x ? [ , a a
若 a ? 0, ? 2 , 即 0 ? a ? 【变式2】解关于x的不等式:ax +2x-1<0; 【答案】当a=0时, x ? (?? , ) . 当a≠0时,Δ =4+4a=4(a+1), ①a>0时,则Δ >0, x ? (
2

1 2

?1 ? 1 ? a ?1 ? 1? a , ). a a

②a<0时, 若a<0,△<0, 即a<-1时,x∈R; 若a<0,△=0, 即a=-1时,x∈R且x≠1; 若a<0,△>0, 即 -1<a<0时, x ? (??,

?1? 1? a ?1? 1? a )?( ,??) 。 a a

【变式 3】解关于 x 的不等式:ax2-x+1>0 【答案】若 a=0,原不等式化为-x+1>0,解集为{x|x<1}; 若 a≠0,原不等式为关于 x 的一元二次不等式.
2 方程 ax ? x ? 1 ? 0 的判别式△=1-4a

(Ⅰ)当△=1-4a<0,即 a ?
2

1 2 时,方程 ax ? x ? 1 ? 0 没有实数根, 4

故函数 f ( x) ? ax ? x ? 1的图象开口向上,与 x 轴没有交点,其简图如下:

所以,此时不等式 ax ? x ? 1 ? 0 的解集为实数集 R;
2

(Ⅱ)当△=1-4a=0,即 a ?
2

1 2 时,方程 ax ? x ? 1 ? 0 有两个相等实数根 x=2, 4

故函数 f ( x) ? ax ? x ? 1的图象开口向上,与 x 轴有唯一交点(2,0),其简图 如下:

所以,此时不等式 ax ? x ? 1 ? 0 的解集为 (??,2) ? (2,??) ;
2

(Ⅲ)当△=1-4a>0,即 a ?

1 2 时,方程 ax ? x ? 1 ? 0 有两个不等实数根 4

x1 ?

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a , x2 ? , 2a 2a
1 时,函数 f ( x) ? ax2 ? x ? 1的图象开口向上, 4

①当 0 ? a ?

与 x 轴有两个不同的交点,且 x1 ? x2 ,其简图如下:

















ax2 ? x ? 1 ? 0









? ? 1 ? 1 ? 4a ? ? 1 ? 1 ? 4a ? ? ?, ??? ?; , ?? ? ? ? ? 2 a 2 a ? ? ? ?
②当 a<0 时,函数 f ( x) ? ax2 ? x ? 1的图象开口向下, 与 x 轴有两个不同的交点,且 x1 ? x2 ,其简图如下:

所以,此时不等式 ax ? x ? 1 ? 0 的解集为 ?
2

? 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ? ?; , ? ? 2 a 2 a ? ?

综上所述: a<0 时,原不等式解集为 ?

? 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ? ?; , ? ? 2a 2a ? ?

a=0 时,原不等式解集为 ( ??,1) ;

0?a? a?

? ? 1 1 ? 1 ? 4a ? ? 1 ? 1 ? 4a ??? ?; , ?? 时,原不等式解集为 ? ? ?, ? ? ? ? 4 2 a 2 a ? ? ? ?

1 时,原不等式解集为 (??,2) ? (2,??) ; 4 1 a ? 时,原不等式解集为实数集 R. 4


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