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广东省2016届高三3月适应性考试数学理试题及答案


广东 2016 年全国卷适应性考试 理科数学
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合 A ? {x x ? 4 x ? 3 ? 0} , B ? { x 2 ? 1} ,则 A ? B ? (
2 x

) D. (??, 0)

A. [?3, ?1]

B. (??, ?3) ? [?1,0)

C. (??, ?3) ? (?1,0]

2.若 z ? (a ? 2) ? ai 为纯虚数,其中 a ?R,则 A. i B. 1 C. ? i

a ? i7 ?( 1 ? ai



开始

D. ?1

3 * 3.设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项的和,且 S n ? (an ? 1)(n ? N ) , 2
则 an ? ( A. 3(3n ? 2n ) ) B. 3 ? 2
n

输入 N

n= 1, x= 0 n= n+ 1

C. 3

n

D. 3 ? 2

n ?1

n< N
否 输出 x



x= x+

1

4. 执行如图的程序框图,如果输入的 N ? 100 , 则输出的 x ? ( ) A. 0.95 B. 0.98 C. 0.99 D. 1.00 5.三角函数 f ( x) ? sin( A. 3,

n(n+ 1)

?
6

结束

? 2 x) ? cos 2 x 的振幅和最小正周期分别是(
C. 2,



?
2

B. 3, ?

?
2

D. 2, ? )

6.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 12 B. 6 C. 4 D. 2 7.设 p 、 q 是两个命题,若 ?( p ? q ) 是真命题, 那么( ) A. p 是真命题且 q 是假命题 B. p 是真命题且 q 是真命题 C. p 是假命题且 q 是真命题 D. p 是假命题且 q 是假命题

2 2 1 1

1 2

8.从一个边长为 2 的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这 7 个点中任取两个点,则这两点间的距 离小于 1 的概率是( ) A.

1 7

B.

3 7

C.

4 7

D.

6 7

1

9.已知平面向量 a 、 b 满足 | a | ? | b | ? 1 , a ? ( a ? 2b ) ,则 | a ? b | ? ( A. 0 10. ( x ?
2

) D. 3

B. 2

C. 2 ) C. ?

A. ?

5 4

1 6 ) 的展开式中,常数项是( 2x 5 B. 4
2

15 16

D.

15 16

11.已知双曲线的顶点为椭圆 x ? 则双曲线的方程是( A. x 2 ? y 2 ? 1 )

y2 ? 1 长轴的端点,且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1 , 2

B. y 2 ? x 2 ? 1

C. x 2 ? y 2 ? 2

D. y 2 ? x 2 ? 2

12.如果定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足:对于任意 x1 ? x 2 ,都有 x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 )

? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) , 则 称 f ( x ) 为 “ H 函 数 ”. 给 出 下 列 函 数 : ① y ? ? x 3 ? x ? 1 ; ②

?ln | x | x ? 0 y ? 3x ? 2( s i n x?c o x s ) ;③ y ? e x ? 1 ;④ y ? ? ,其中“ H 函数”的个数是( 0 x ? 0 ?
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

?2 x ? y ? 2 ? 13.已知实数 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,若目标函数 z ? 2 x ? ay 仅在点 ( 3, 4 ) 取得最小值,则 a ?x ? y ?1 ?
的取值范围是 14.已知双曲线 .

x 2 16 y 2 ? 2 ? 1 的左焦点在抛物线 y 2 ? 2 px 的准线上,则 p ? 3 p
*



2 15.已知数列 {an } 的各项均为正数, S n 为其前 n 项和,且对任意 n ?N ,均有 an 、 S n 、 an 成等差数列,

则 an ?



16 .已知函数 f ( x ) 的定义域 R ,直线 x ? 1 和 x ? 2 是曲线 y ? f ( x ) 的对称轴,且 f ( 0 ) ? 1 ,则

f ( 4 ) ? f (10) ?



2

三、解答题:解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知顶点在单位圆上的 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 2a cos A ? c cos B ? b cos C . (1) cos A 的值; (2)若 b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.
2 2

18. (本小题满分 12 分) 某单位共有 10 名员工,他们某年的收入如下表: 1 2 3 4 5 6 员工编号 年薪(万元) 3 3.5 4 5 5.5 6.5 (1)求该单位员工当年年薪的平均值和中位数;

7 7

8 7.5

9 8

10 50

(2)从该单位中任取 2 人,此 2 人中年薪收入高于 5 万的人数记为 ? ,求 ? 的分布列和期望; (3)已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系,某员工工作第一年至第四年的年薪分别为 3 万元、 4 .5 万元、 5.6 万元、 7 .2 万元,预测该员工第五年的年薪为多少?

?x ? a ? ?b ? 中系数计算公式分别为: 附:线性回归方程 y

?? b

?( x
i ?1

n

i

? x )( yi ? y )
2

( xi ? x )

? x ,其中 x 、 y 为样本均值. ? ? y ?b ,a

19. (本小题满分 12 分) 如图,在直二面角 E ? AB ? C 中,四边形 ABEF 是矩形, AB ? 2 , AF ? 2 3 , ?ABC 是以 A 为 直角顶点的等腰直角三角形,点 P 是线段 BF 上的一点, PF ? 3 . (1)证明: FB ? 面 PAC ; (2)求异面直线 PC 与 AB 所成角的余弦值.

F E

P A
20. (本小题满分 12 分)
2

C

B

已知抛物线 C : y ? 4 x ,过其焦点 F 作两条相互垂直且不平行于 x 轴的直线,分别交抛物线 C 于 点P 1P 2、P 1、P 2 和点 P 4 ,线段 P 3、P 3P 4 的中点分别为 M 1 、 M 2 . (1)求 ?FM1 M 2 面积的最小值; (2)求线段 M 1 M 2 的中点 P 满足的方程.

3

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ?

1 2 x ? ln x ? mx ( m ? 0 ) . 2

(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)求 f ( x ) 的零点个数; (3)证明:曲线 y ? f ( x ) 没有经过原点的切线.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时写清题号.

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时请写清楚题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,BC 是半圆 O 的直径,AD ? BC , 垂足为 D ,? AB ? ? AF ,BF 与 AD 、AO 分别交于点 E 、

G.
(1)证明: ?DAO ? ?FBC ; (2)证明: AE ? BE .

A G E B D O

F

C

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,过点 P(1, ?2) 的直线 l 的倾斜角为 45 .以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极坐
?

标建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? sin (1)求直线 l 的参数方程; (2)求 PA ? PB .

2

? ? 2cos? ,直线 l 和切线 C 的交点为 A, B .

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 5x . (1)当 a ? ?1 时,求不等式 f ( x) ? 5 x ? 3 的解集; (2)若 x ? ?1 时,有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.

4

5

6

7

8

9

10

11


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