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【金版学案】2016高考数学理科二轮复习课件:专题2第一讲 三角函数的图象与性质


随堂讲义
专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面 向量 第一讲 三角函数的图象与性质

1.高考对三角函数图象的考查主要包括三个方面: 一是用五点法作图,二是图象变换,三是已知图象求解析 式或求解析式中的参数的值,常以选择题或填空题的形式 考查. 2.高考对三角函数性质的考查是重点,以解答题为主, 考查y=Asin(ωx+φ)的周期性、单调性、对称性以及最值 等,常与平面向量、三角形结合进行综合考查,试题难度 属中低档.

4 例 1 若 sin θ =- , tan θ >0, 则 cos θ =________. 5 4 解析: 由已知 sin θ=- , tan θ>0, 知 θ 在第三象限, 5 ∴cos θ=- 1-sin2 θ =-
? 4? 2 3 ? ? 1-?- ? =- . 5 ? 5?

3 答案:- 5

(1)三角函数线是研究三角函数性质的主要依据,在函 数值大小比较时经常运用. (2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的 化简中起着举足轻重的作用, 应注意正确选择公式及公式的 应用条件.

1.已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重 合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ =(B) A.- C. 3 5 4 5 3 B.- 5 D. 4 5

解析:∵角 θ 的终边在直线 y=2x 上,∴tan θ=2. cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 则 cos 2θ=cos θ-sin θ= 2 = cos θ+sin2θ 1+tan2 θ
2 2

3 =- . 5

例 2 设向量

? ? 2π a=?sin ?

? +2x ? b=(4sin x, cos ,cos x+sin x?, 4 ?

x-sin x),f(x)=a· b. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)已知常数 ω>0,若 数,求 ω 的取值范围; (3)设集合
? ? ? ?π ? A= x? ? ? ?6 ? 2 ? ≤x≤ π?,B={x||f(x)-m|<2},若 A 3 ? ? ? π y=f(ωx)在区间? ?- 2 ?

2π ? ? , ?上是增函 3 ?

?B,求实数 m 的取值范围.

思路点拨:利用向量的坐标运算,化简求出 f(x)的解析式; 结合图象求出ω的取值范围;利用集合的知识和 A?B 来解. 解析:(1)f(x)=sin
2π+2x

4

·4sin x+(cos x+sin x)· (cos x-

sin x)=4sin x·

?π ? ? 1-cos? +x? ? ?2 ?

2

+cos 2x=2sin x(1+sin x)+1-

2sin2x=2sin x+1, ∴所求解析式为 f(x)=2sin x+1.

(2)∵f(ωx)=2sin ωx+1,ω>0, π π 由 2kπ- ≤ωx≤2kπ+ , 2 2 得
?2kπ π 2kπ π ? ? ? - , + f(ωx)的增区间是? ?,k∈Z. ω 2 ω ω 2 ω ? ?

? π 2π? ? ∵f(ωx)在? - , ? ?上是增函数, 2 3 ? ? ? π 2π? ? π π? ? ? ? ? , ∴?- , ???- ?. 2 3 2 ω 2 ω ? ? ? ? ? π π 2π π 3? ? ∴- ≥- 且 ≤ .∴ω∈?0, ? . ? 4 2 3 2ω 2ω ? ?

(3)由|f(x)-m|<2,得-2<f(x)-m<2, 即 f(x)-2<m<f(x)+2. π 2 ∵A?B,∴当 ≤x≤ π 时, 6 3 不等式 f(x)-2<m<f(x)+2 恒成立. ∴f(x)max-2<m<f(x)min+2,
?π? ?π? ? ? ? ∵f(x)max=f? ?=3,f(x)min=f? ? 6 ?=2, ?2? ? ?

∴m∈(1,4).

根据三角函数的图象特征转化为求函数的周期、最值、 单调区间问题,并且用代数式表示.

π 5π 2. 已知 ω>0, 0<φ<π , 直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ωx 4 4 +φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ =(A) π A. 4 π C. 2 π B. 3 3π D. 4

例 3 下图为函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω >0)的图 象的一部分,求其解析式.

思路点拨:本题根据图象的特征求解函数 f(x)=Asin(ωx +φ)的解析式. 1 1 解析:由图象,知最大值为 3.则 A= 3. T= π,故 ω 2 2 =2.所求解析式为 y= 3sin(2x+φ). ∵点
?π ? 2π ? ? M? ,0?在图象上,∴φ=- +2kπ(k∈Z). 3 ?3 ?

? 2π 2π? ? ? 取 φ=- ,∴所求解析式为 y= 3sin?2x- . ? 3 3 ? ?

(1)已知图象求函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析 式时,常用的方法是待定系数法,由图中的最大、最小值求出 A,由周期确定 ω,由适合解析式的点的坐标来确定 φ 的值. (2)将点的坐标代入解析式时, 要注意选择的点属于“五点 法”中的哪一个点.“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点) 为 ωx0+φ=0+2kπ,其他依次类推即可.

π 3.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω >0,|φ |< )的部分 2 π 图象如右图所示,则将 y= f(x)的图象向右平移 个单位长度 6 后,得到的图象解析式为(D)

A.y=sin 2x
? 2π ? C.y=sin?2x+ 3 ? ? ? ? ?

B.y=cos 2x
? π ? D.y=sin?2x- 6 ? ? ? ? ?

11π π 3π 3 解析:由图象知 A=1, T= - = ,T=π?ω 4 12 6 4 =2, 由
? ? π π π π π ? ? sin?2× +φ?=1, |φ|< 得 +φ= ?φ= ? 2 3 2 6 6 ? ?

? π π? ? ? f(x)=sin?2x+ ?,则图象向右平移 个单位长度后得到的图 6 6? ?

象解析式为

? ? ? π? ? π π? ? ? ? ? ? y=sin?2?x- ?+ ?=sin?2x- ? .故选 ? 6? 6? 6? ? ? ?

D.

1.正确理解三角函数的定义,能利用三角函数的定义确定三角 函数的定义域及三角函数值在各个象限的符号. 2.已知角终边上一点的坐标,可利用三角函数的定义求三角函 数值.如果点的坐标中含有字母,要注意分类讨论. 3.有关三角函数的定义域、值域、单调区间、最值等问题,通 常把已知解析式化成 y=Asin(ωx+φ)+B 等形式,或者配方转化成 关于 sin x 或 cos x 的二次函数,再根据函数的图象和性质求解.对 于前者,要突出角(ωx+φ)的整体性.


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