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第十三次课 数列分奇偶的问题


第十三次课

数列分奇偶的问题

? an ? ,当an为偶数时, 例 1.已知数列 ?an ? 满足: (m 为正整数) , 若 a6=1 , 则 m 所有可能的取值为__________。 a1=m an ?1 ? ? 2 ?3an ? 1,当an为奇数时。 ?

?1 a ? ?2 n an?1 ? ? 例 2. 设 ?an ? 满足 a1 ? 1,且 ?a ? 1 n ? ? 4

(n为偶数) (n为奇数)
,记 bn ? a2 n ?1 ?

1 1 , cn ? a2 n ? 则 an =__________ 4 2

例 2. 设等 差数 列 {an },{bn } 前 n 项 和 Sn ,Tn 满 足

Sn An ? 1 a3 a 2 1 ,且 ? ? 7 ? , S2 =6 ; 函数 g ( x) ? ? x ? 1? , 且 2 b4 ? b6 b2 ? b8 5 Tn 2n ? 7

cn ? g (cn?1 )(n ? N , n ? 1), c1 ? 1.
(1)求 A; (2)求数列 {an }及{cn } 的通项公式; (3)若 d n ? ?

?a n (n为奇数) , 试求d1 ? d 2 ? ? ? d n . ?cn (n为偶数)

例 3.在数列 ?a n ? 中, a 1 =0,且对任意 k? N* , a 2k ?1 ,a 2k ,a 2k+1 成等差数列,其公差为 2k. (Ⅰ)证明 a 4 , a 5 , a 6 成等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)记 ,证明

3 . ? 2n ? Tn ? ( 2 n ? 2) 2

(n ? 1) 4 64 1 13 16 ? (2 n ?1 ? 1), (当n为奇数时) ? S2 ? , S3 ? S4 ? 例 4. 设数列 ?a n ? 的前 n 和为 S n , 已知 S1 ? , , , 一般地, ( n? N * ) . ? 12 3 Sn ? ? 3 3 3 3 2 ? n ? 4 (2 n ? 1). ? ? 12 3 (当n为偶数时)

?

2

(1)求 a4 ; (2)求 a 2 n ; (3)求和: a1a2 ? a3a4 ? a5a6 ? ? ? a2n ?1a2n .

练习 1. 数列{an }的首项 a1 =1,且对任意 n∈N,an 与 an +1 恰为方程 x2 -bn x+2n =0 的两个根. (Ⅰ)求数列{an}和数列{bn }的通项公式;(Ⅱ)求数列{bn }的前 n 项和 Sn .

2.数列 {an } 的通项 an ? n (cos
2

2

(1) 求 S n ;

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 S n . 3 3 S (2) bn ? 3n n , 求数列{ bn }的前 n 项和Tn . n?4

3. 数列 ?an ? 满足a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ? (1 ? cos 2

n? n? )an ? sin 2 , n ? 1, 2,3, . 2 2 a 1 (Ⅰ)求 a3 , a4 , 并求数列 ?an ? 的通项公式;(Ⅱ)设 bn ? 2 n ?1 , Sn ? b1 ? b2 ? ? bn . 证明:当 n ? 6时, Sn ? 2 ? . a2 n n

2 4. 已知等比数列 {an } 的公比为 q ,首项为 a1 ,其前 n 项的和为 S n .数列 {an } 的前 n 项的和为 An , 数列 {(?1)n?1 an } 的前 n 项

的和为 Bn . (1)若 A2 ? 5 , B2 ? ?1 ,求 {an } 的通项公式; (2)①当 n 为奇数时,比较 Bn Sn 与 An 的大小; ②当 n 为偶数时,若 q ? 1 ,问是否存在常数 ? (与 n 无关) ,使得等式 ( Bn ? ? )Sn ? An ? 0 恒成立,若存在,求出 ? 的 值;若不存在,说明理由.


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