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解决三角函数各类问题的十种方法

解决三角函数各类问题
1 凑角法
例1 求 tan 20? ? 4sin 20? 的值. 解析 原式 ?

sin 20? ? 2sin 40? sin 20? ? 2sin(60? ? 20?) ? cos 20? cos 20? sin 20? ? 2(sin 60? cos 20? ? cos 60? sin 20?) ? ? 3. cos 20?

评注 三角求值主要借助消除三个方面的差异解答,即消除函数名称差异,或者式子结构的差异,或
者角度之间的差异

2 降幂法
一 些 涉 及 高 次 三 角 式 的 求 值 问 题 , 往 往 借 助 已 知 及 sin ? ? cos ? ? 1 , 或 降 幂 公 式
2 2

sin 2 ? ?

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? , cos 2 ? ? 等借助降幂策略解答. 2 2
2 2 6

例2 若 cos ? ? cos ? ? 1,求 sin ? ? sin ? 的值.
2 解析 由 cos ? ? cos ? ? 1, 得 cos ? ?

?1 ? 5 ?1 ? 5 2 ,cos ? ? (舍去) . 由 cos ? ? cos ? ? 1 , 2 2

2 2 又可得 cos ? ? 1 ? cos ? ? sin ? , 2 6 3 s? 则 sin ? ? sin ? ? cos ? ? cos ? , 又 由 c o? 2 c ? o? s , 得 1 c o2 ? s ? ?1 ? c o ,s 故

c o? s?

3

c ? o s ?

? c o ?s

2

(? 1 ?c o s?

? )

2 ,? 可o 得 c? o s? ( 2 ? c ? o s ? )? 2 c o代 ? s 值 c s

3 c o

sin 2 ? ? sin 6 ? ?

3 5 ?5 . 2

评注 若求出 cos ? 的值后直接简单代入,则运算量将大得多,而主动降幂后就截然不同了.涉及非
单角形式的三角函数问题,有时也需要考虑降幂进而化为一个角的三角函数形式解答,遇到“高次”问题 就特别注意联想“降幂法”解答.

3 配对法
例3 已知 x ? (0, 解析

根据一些三角式的特征,适当进行配对,有时可以实现问题的顺利解答.

?
2

) ,且 cos2 x ? cos2 2 x ? cos2 3x ? 1 ,求 x 的值.
2

2 2 2 2 2 2 设 m ? cos x ? cos 2 x ? cos 3x , 令 n ? s i n x ? s i n x ?

s ix n 则 3 m?n ?3 , ,

m ? n ? cos 2 x ? cos 4 x ? cos 6 x ,其中, cos 6 x ? 2cos2 3x ? 1 ,

cos 2 x ? cos 4 x ? cos(3x ? x) ? cos(3x ? x) ? 2cos x cos3x , m ? n ? 2cos3x(cos x ? cos3x) ? 1 , 又
1

1 ,故可解 cos x ? cos3x ? cos(2 x ? x) ? cos(2 x ? x) ? 2cos x cos 2 x ,故 m ? n ? 4cos xcos2 xcos3 x ?
得 cos x cos 2 x cos 3x ?

1 (2m ? 2) ? 0(? m ? 1) . 则 c o sx ? 0 x? 0 3? 0 ,或 cos 2 ,或 cos x ,又 4

x? 或x? . x ? ( 0 , ,则 ) 6 4 2
2 2 评注 三角函数中的正弦函数与余弦函数是一对互余函数,有很多对称的结论, 如 sin ? ? cos ? ? 1

?

?

?

等,因此在解决一些三角求值,求证等问题时,可以构造对偶式,实施配对策略,尝试进行巧妙解答.

4 换元法
很多给值求值问题都是给的单角的某一三角函数值,但有时会出现给出复合角的三角函数值求值的问 题,此时,利用换元法可以将问题转化为熟悉的已知单角的三角函数值求值问题. 例4 求 sin 的值. (? ? 75?) ? cos (? ? 45?)- 3 cos (? ? 15?) 解析 令 ? ? 15? ? ? ,则原式 ? sin(? ? 60?) ? cos(? ? 30?) ? 3 cos ?

? (sin ? cos60? ? cos ? sin 60?) ? (cos ? cos30? ? sin ? sin30?) ? 3 cos ? ? 0 .
评注 知复合角的三角函数值求值,因此备考时要特别注意此点,解答此类问题的换元法或整体思想
也都十分重要.对本题,若直接将三部分借助两角和的正弦公式与余弦公式展开,则要繁杂得多.

5 方程法

有时可以根据已知构造所求量的方程解答.

3 3 例5 若 cos x ? sin x ? 1 ,试求 sin x 的值.

解析 令 cos x ? sin x ? t ,则 cos x sin x ?
2 2

1 (1 ? t 2 ) , t ?[? 2, 2] .由已知,有 2

1? t2 (cos x ? sin x)(cos x ? sin x cos x ? sin x) ? t (1 ? ) ? 1 , 即 t 3 ? 3t ? 2 ? (t ? 1)2 (t ? 2) ? 0 , 得 2
t ? ?1 ,或 t ? 2 (舍去).即 cos x ? sin x ? 1 ,又 sin 2 x ? cos2 x ? 1 ,整理可得 sin 2 x ? sin x ? 0 ,解
得 sin x ? 0 或 sin x ? ?1 .

评注 将已知转化为关于 sin x 的方程是解题的关键.方程的思想方法是解答诸多三角函数问题的基
本大法,如求三角函数的解析式等问题.一般地,若题目中有 n 个需要确定的未知数,则只要构造 n 个方 程解答即可.

6 讨论法
涉及含有参数或正负情形的三角问题,往往需要借助讨论法进行解答.

2

5 4 , cos B ? ,求 cos C . 13 5 5 12 12 解析 由 sin A ? ,得 cos A ? ? .当 cos A ? ? 时,因为 A, B 是 ! ABC 的内角,需要满足 13 13 13
例6 已知 ! ABC 中, sin A ?

0 ? A ? B ? ? , 有 0 ? A ? ? ? B ? ? , 而 余 弦 函 数 在 区 间 (0, ? ) 是 减 函 数 , 得

cos A ? cos(? ? B) ? ? cos B ,但 cos A ? ?
可以验证 cos A ?

12 4 ? ? ? cos B ,故此情形不合题意. 13 5

12 33 符合题意,故 cos C ? ? cos( A ? B) ? sin A sin B ? cos A cos B ? ? . 13 65

评注 分类讨论是将问题化整为零, 进而化难为易的重要思想方法, 一般含有绝对值的三角函数问题,
涉及未确定象限的角的问题等,都要首先考虑“讨论”!

7 平方法
分析已知和所求,有时借助“取平方”的方法可以实现顺利解题. 例7 已知 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0 , cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0 ,求 cos(? ? ? ) 的值. 解析 有 sin ? ? sin ? ? ? sin ? , cos ? ? cos ? ? ? cos ? , 两 式 两 边 平 方 后 对 应 相 加 , 可 得

(sin 2 ? ? sin 2 ? ? 2sin ? sin ? ) ? (cos2 ? ? cos2 ? ? 2cos ? cos ? )
1 ? (? sin ? )2 ? (? cos ? )2 ? 1,即 cos(? ? ? ) ? ? . 2
评注 学习数学要掌握一些基本的操作技能,而“取”就是其中的重要一种,除了“取平方”外,常
见的还有“取对数”,“取倒数”等操作,需要注意体会.本题就是借助平方关系实现整体消元后解答的.

8 猜想法
有时根据已知数据的特征进行必要的猜想,能更好的解决求值问题. 例8 已知 sin ? ? cos ? ?

1? 3 ,且 ? 为第二象限角,则 sin ? ? 2
2



解析 由 sin ? ? 0,cos ? ? 0 及 sin

? ? cos2 ? ? 1, ( )2 ? (?

1 2

1 3 2 ) ? 1 ,可得 sin ? ? . 2 2

评注 实际上, 将 sin ? ? cos ? ?

1? 3 2 2 与 sin ? ? cos ? ? 1 联立所得二元二次方程组只有两组解, 2

即 sin ? ?

1 ? 3 1 ? 3 或 cos ? ? ,sin ? ? ,依题意只可取前者.学习数学,要培养对数据的 , cos ? ? 2 2 2 2

敏感性,能根据数据特征进行积极联想,进而适当猜想,能有效提高解题速度,而且猜想是一种重要的推 理形式,并不是“胡猜乱想”,要紧扣已知和所求进行.
3

9 图象法
有时候,借助图象才能更好的解决对应的三角函数问题. 例9 已知函数 f ( x) ? A sin x ? 1( A ? 1) 的图象与直线 y ? A 在 x 轴右侧的与 x 轴距离最近的相邻

三个交点的横坐标成等比数列,求实数 A 的值. 解析 如右图,设三个交点的坐标为 B(b, A) ,C (c, A) , 由三角函数图象的对称性, 则有 b ? c ? 2 ? D(d , A) ,

y y? A B
?? ,

C D

?

2 x O ? 3? x ? c ? d ? 2? ? 3? , 有 b ? ? ? c , d ? 3? ? c , 又 2 2 3? 3? 2 2 , A) , 代 入 可 得 .故函数图象经过 ( c2 ? b d? (? ? )c(?3 ? c) ? ? 3 ? ? 4 c, ?解 c得c? 4 4

A ? 2? 2 .
评注 数和形是数学的两大支柱,三角函数的很多问题都有图形背景,在解决问题时,要充分借助图
形进行直观分析,往往能更快捷的实现问题的解答,注意培养做草图的能力.

10 比例法
借助比例的性质,有时可以实现快速解答三角函数问题. 例10 求证

2(cos ? ? sin ? ) cos ? sin ? ? ? . 1 ? sin ? ? cos ? 1 ? sin ? 1 ? cos ?

解析 若 cos ? ? 0 (或 sin ? ? 0 ),因为 sin ? ? ?1(或 cos ? ? ?1), ,故 sin ? ? 1 ,或 cos ? ? 1 , 验证可知等式成立. 若 cos ? ? 0 , 则 由 cos2 ? ? (1 ? sin ? )(1 ? sin ? ) , sin 2 ? ? (1 ? cos ? )(1 ? cos ? ) 及 比 例 性 质

a c a?c cos ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? ? cos ? ? ? ? ? ,可得 . b d b?d 1 ? sin ? cos ? 1 ? sin ? ? cos ? sin ? 1 ? cos ? 1 ? sin ? ? cos ? ? ? ,代入等式左边可知所证成立. 1 ? cos ? sin ? 1 ? sin ? ? cos ?
评注 本题有多种证法,而借助比例的性质的方法显得尤为简捷.涉及分式的三角函数问题,可以考 虑借助比例法解答.如关于半角的正切公式 tan

?
2

?

tan

?
2

?

1 ? c o s? ? s i n ? . 1? c o s ? ? s i? n

s i n? 1 ? cos ? ? ,按照比例性质,立得 1? c o s ? s i? n

4


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