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【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第三章 第一节角的概念与弧度制及任意角的三角函数 理


第三章

三角函数与解三角形

近三年广东高考中对本章考点考查的情况 年份 题号 赋分 所考查的知识点 知式求值、诱导公式、三角函数的化简求值、两角和的余弦 2011 16 12 公式等 三角函数的最小正周期、知式求值、诱导公式、两角和的余 2012 16 12 弦公式等 2013 16 12 知式求值、诱导公式、二倍角公式、两角和的余弦公式等 本章主要内容包括:三角函数基础知识、三角函数的图象和性质、简单的三角恒等变 换和解三角形. 1.三角函数的基础知识包括三角函数的定义、弧度制、诱导公式和同角三角函数关系 式.重点掌握诱导公式和同角三角函数关系式. 2.三角函数的图象和性质问题,注意以下几个方面: (1)要熟练掌握 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象和性质. (2)会用五点作图法画出函数 y=Asin(ω x+φ )+B 及 y=Acos(ω x+φ )+B 的图象, 前者是重点. (3)会用换元思想、转化思想和数形结合思想把问题转化成 y=Asin x(或 y=Acos x) 的形式来研究. (4)对于函数 y=Asin(ω x+φ )+B 及 y=Acos(ω x+φ )+B,能够通过表达式求出函 数的振幅、周期、初相位、单调区间、最值、对称轴和对称中心等. 3.三角恒等变形是三角函数考查的一个重点,需要注意以下几个问题: (1)熟记两角和与差的正弦、余弦和正切公式,它们是公式推导和应用的基础. 2 2 2 (2)熟悉余弦的二倍角公式的三种不同的形式:cos 2α =cos α -sin α =2cos α -1 2 =1-2sin α . 1 1 2 2 其变形形式 cos α = (1+cos 2α ),sin α = (1-cos 2α )在三角恒等变换中经常用 2 2 到.

1

4.解三角形问题,主要考查正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用. 近几年广东高考对三角函数的考查要求有所降低,高考对本章内容的考查仍会以选 择、 填空和解答题的形式出现,难度不大,以中、低难度的题目为主.

1.立足课本、抓好基础. 从前面叙述可知, 近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查, 而重点 转移到对三角函数的图象与性质、 对基础知识和基本技能的考查上来, 所以在复习中首先要 打好基础.近几年高考在考查利用三角公式进行恒等变形的同 时,也直接考查了三角函数 的性质及图象的变换, 可见高考在降低对三角函数恒等变换的要求下, 加强了对三角函数性 质和图象的考查力度. 2.重视数学思想方法的复习. 如前面所述本章试题经常以选择、填空形式出现,因此复习中要重视选择、填空题的一 些特殊解题方法,如数形结合法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法等.另外对 有些具体问题还需要掌握和运用一些基本结论.如: π 关于对称问 题,要利用 y=sin x 的对称轴为 x=kπ + (k∈Z)和对称中心为(kπ , 2 0)(k∈Z)等基本结论解决问题,同时还要注意对称轴与函数图象的交点的纵坐标特征. 在求三角函数值的问题中,要学会用勾股数解题,因为高考试题不能查表、也不让用计 算器,给出的数都较特殊,因此主动发现和运用勾股数来解题能起到事半功倍的效果. 3.加强三角函数应用意识的训练. 三角函数是以角为自变量的函数,也是以实数为自变量的函数,它产生于生产实践,是 客观实际的抽象,同时又广泛地应用于客观实际,故应培养实践第一的观点.总之,三角部 分的考查保持了内容稳定、难度稳定、题量稳定、题型稳定的特点,考查的重点是三角函数 的概念、性质和图象,三角函数的求值问题以及三角变换的方法. 4.变为主线、抓好训练. 变是本章的主题,在三角变换考查中,角的变换、三角函数名的变换、三角函数次数的 变换、三角函数式表达形式的变换等比比皆是,在训练中,强化变的意识是关键,但题目不 可太难,较特殊技巧的题目不做,立足课本,掌握课本中常见问题的解法,把课本中习题进 行归类,并进行分析比较,寻找解题规律. 针对高考中的题目,还要强化变角训练,经常注意收集角之间关系的观察分析方法.另 外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也 要加强,这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目. 5.注意对三角形中有关问题的复习. 由于教材的变动,有关三角形中的正、余弦定理,解三角形等内容提到高中来学习,近 年来加强数形结合思想的考查, 降低了对三角变换的要求,对三角的综合考查将向三角形 中的问题伸展,这些从近几年的高考试题中就可看出,但也不会太难,只要掌握基本知识、 概念,深刻理解其中基本的数量关系即可过关. 6.在复习中,应立足基本公式,在解题时,注意在条件与结论之间建立联系,在变形 过程中不断寻找差异,讲究算法,才能立足基础,发展能力,适应高考. 第一节 角的概念与弧度制及任意角的三角函数

2

1.了解任意角的概念. 2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角的三角函数 正弦、余弦、正切 的定义.

知识梳理 一、任意角 1.角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的 图形,叫做________.按逆时针方向旋转所形成的角叫做________,按顺时针方向旋转所形 成的角叫做________,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个________.射线的起始位 置称为________,终止位置称为________.射线的端点叫做角的________. 答案:1.角 正角 负角 零角 始边 终边 顶点 2.角的分类:__________________. 答案:2.正角、负角、零角 3.象限角的概念:在平面直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的 非负半轴重合,角的________在第几象限,就说这个角是第几象限的角. 答案:3.终边 4.轴线角的概念:在平面直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 x 轴非负半轴重合,角的终边落在________,就说这个角是轴线角. 答案:4.坐标轴上 5π ?π 5 .区间角:区间角是介于两个角之间的所有 角,如: α ∈α ? ≤α ≤ 6 ?6



?π ,5π ?. ?6 6 ? ? ?
6 .终边相同的角:与 α ________________. 角终边相同的角的集合 ( 连同角 α 在内 ) ,可以记为

答案:6.{β |β =k?360°+α ,k∈Z} 7.几种终边在特殊位置时对应角的集合如下表所示: 角的终边所在位置 角的集合 x 轴正半轴 ________________ y 轴正半轴 ________________ x 轴负半轴 ________________ y 轴 负半轴 ________________ x轴 ________________ y轴 ________________

3

坐标轴

________________

答案:7.{α |α =k?360°,k∈Z} {α |α =k?360°+90°,k∈Z} {α |α =k?360°+180°,k∈Z} {α |α =k?360°+270°,k∈Z} {α |α =k?180°,k∈Z} {α |α =k?180°+90°,k∈Z} {α |α =k?90°,k∈Z} 二、弧度制 1.1 弧度角的定义:我们把长度等于______的弧所对的圆心角叫做______角.1 弧度记 作 1 rad. 用弧度作为度量角的制度,叫做________. 答案:1.半径长 1 弧度 弧度制 (1 度的角:把周角分成 360 等份,则其中 1 份所对的圆心角叫做 1 度的角.用度作为 度量角的制度,叫做角度制) π ?180? 2.角度制与弧度制的互化:180°=π rad,1°= rad;1 弧度=? ?°≈57.3°. 180 ?π ? 特殊角的互化: 150 210 270 300 45° 60° 90° 120° 135° 225° 240° ° ° ° ° π π π 3π ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ 4 3 2 2 2π 答案:2. 3 3π 4 5π 6 7π 6 5π 4 4π 3 5π 3 7π 4 11π 6

度 弧 度

30° π 6

315 ° ____

330 ° ___ _

3.弧长公式:l=|α |r(α 是圆心角的弧度数). 1 1 2 4.扇形面积公式:S= lr= |α |r . 2 2 三、任意角的三角函数 1.三角函数的定义:以角 α 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系, 2 2 在角 α 的终边上任取一个异于原点的点 P(x, y), 点 P 到原点的距离记为 r(r= x +y >0), 那么 sin α =________,cos α =________,tan α =________.

注:上述比值不随点 P 在终边上的位置的改变而改变.

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答案:1.

y x y r r x

2.三角函数在各象限的符号. α Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ sin α + + - - cos α + - - + tan α + - + - 由三角函数的定义,以及各象限内点的 坐标的符号,我们可以得到三角函数在各象限 的符号如上表.也可概括为如下口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 若终边落在坐标轴上,则可用定义求出三角函数值. 3.特殊角的三角函数值. π π π π 3π α 0 π 6 4 3 2 2 sin α ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ cos α ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ tan α ____ ____ ____ ____ 不存在 ____ 不存在 答案:3.0 0 4.三角函数的定义域、值域. 函数 y=sin α y=cos α y=tan α 1 2 2 2 3 2 1 0 -1 1 3 2 2 2 1 2 0 -1 0 0 3 3 1 3

定义域 ________________ ________________ ________________

值域 ________ ________ ________

π ? 答案:4.R [ -1,1] R [-1,1] α ?α ∈R且α ≠ 2 ?

+kπ ,k∈Z

R

5.单位圆上角 α 的三角函数线. 正弦线:________,余弦线:________,正切线:______,即 sin α =________,cos α =________,tan α =________.

注意:各三角函数线对应的有向线段的起点、终点位置,不要弄混了. 答案:5.MP OM AT MP OM AT

5

基础自测 1.终边与坐标轴重合的角 α 的集合为( A.{α |α =k?360°,k∈Z} B.{α |α =k?180°,k∈Z} C.{α |α =k?90°,k∈Z} D.{α |α =k?180°+90°,k∈Z} )

解析:当角 α 的终边在 x 轴上时,可表示为 k?180°,k∈Z.当角 α 的终边在 y 轴上 时,可表示为 k?180°+90°,k∈Z.∴当角 α 的终边在坐标轴上时,可表示为 k?90°, k∈Z. 答案:C 2.经过一刻钟,长为 6 cm 的分针所扫过的面积是( 2 2 A.6π cm B.9π cm 2 2 C.12π cm D.18π cm )

π 1 1 1 π 2 2 解析:经过一刻钟,分针转过 rad,故所扫过的面积是 S= lr= |α |r = ? ?6 2 2 2 2 2 2 =9π (cm ).故选 B. 答案:B 3.已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,则这个圆心角所对的弧长是( A.2 B.sin 2 2 C. D.2 sin 1 sin 1 解析:由已知可得该圆的半径为 2 . sin 1 答案:C 4.已知角 α 的终边过点(a,3a)(a≠0),则 sin α =____, tan α =________. 答案: 3 10 3 10 (a>0 时)或- (a<0 时) 3 10 10 )

1 1 .∴2 弧度的圆心角所对的弧长为 2? = sin 1 sin 1

1.若点(a,9)在函数 y=3 的图象上,则 tan π 的值为( 6 A.0 B. 3 3 C.1
x

x

a

)

D. 3
a

解析:∵点(a,9)在函数 y=3 的图象上,∴9=3 .∴a=2. a π ∴tan π =tan = 3.故选 D. 6 3
6

答案:D 2.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上一 2 5 点,且 sin θ =- ,则 y=______. 5 解析:根据正弦值为负数,判断角在第三、四象限,再加上横坐标为正,断定该角为第 y 2 5 四象限角.sin θ = =- ?y=-8. 2 5 16+y 答案:-8

1. (2013?大连模拟)已知角 2α 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边过点 3? ? 1 ?- , ?,2α ∈[0,2π ),则 tan α =( ? 2 2? A.- 3 B. 3 C. 3 3 ) D.± 3 3

解析:由角 2α 的终边在第二象限,知 tan α >0,依题设知 tan 2α =- 3,所以 2α =120°,得 α =60°,tan α = 3. 答案:B 2.在直角坐标系中,O 是原点,A( 3,1),将点 A 绕 O 逆时针旋转 90°到 B 点,则 B 点坐标为________. 解析:依题意知 OA=OB=2,∠AOx=30°,∠BOx=120°,所以 x=2 cos 120°=-1, y=2 sin 120°= 3,即 B(-1, 3). 答案:(-1, 3)

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