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高考数学知识点实解 三视图与直观图


三视图与直观图
【知识点精解】
考纲要求与解读: ①认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中 简单物体的结构. ②能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能 识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图. ③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间 图形的不同表示形式.

【高考题型】
1.客观图形单选型。 【样题 1】如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为 3 和 4,过直角顶点 的侧棱长为 4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是 ( B )

2.客观单选多项型。 【样题 2】如图几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是

( D

)

①正方形 A.①⑦ B.①③

②圆锥 C.①④
1

③三棱台 D.②④

④正四棱锥

3.填空计算型。 【样题 3】设某几何体的三视图如图 (尺寸的长度单位为 m ):

则该几何体的体积为

4

m3 .

4.主观表述型。 【样题 4】若等腰直角三角形的直角边长为 2,求以一直角边所在的直线为轴旋转一周所 成的几何体体积。

【知识点实解】 一、 基本概念实解
1.有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的③ 都互 相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱. 2.有一个面是④ ,其余各面都是有一个公共顶点的⑤ ,由这些面所围成的 几何体叫做棱锥. 3.以⑥ 的.+边所在直线为旋转轴,其余 j 三边旋转形成的面所围成的旋转体叫 做圆柱. 4.以⑦ 的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的旋 转体叫做圆锥. 5.用一个平行于棱锥⑧ 的平面截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的几何体 叫做棱台 6.以⑨ 的半径所在直线为旋转轴,将半圆旋转一周形成的几何体叫做球体,简 称球. 7.球的主要结构特征是球面上的点到球心的距离为定长(半径). 8.由简单几何体组合在一起形成的几何体,称为简单组合体 9. 三视图就是从一个几何体的⑩——、 @——、 ⑩ 三个不同的方向看这个几何体, 描绘出的三张视图,分别称为正视图、⑩——、俯视图. 10.三视图的画法规则是:正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽,看不到的棱画成 虚线. 11.三视图的排列顺序是:先画⑩——,⑩——画在正视图的下边,⑩ 画在正视 图的右边. 12.水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法步骤是: (1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 Y 轴,两轴相交于 0 点,画直观图时,把它们 画成对应的 x’轴与 y’轴,两轴相交于 0’且使 Z_x 70~Y=45。(1350),用它们确定的
2

平面表示水平面 (2)已知图形中平行于 2 轴或 y 轴的线段,在直观图中,分别画成平行于 x'轴与 y’ 轴的线段. (3)已知图形中平行于 x’轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于 Y 轴的线段 在直观图中长度为原来的一半.

【高考真题】
1. (2007 海南、 宁夏卷) 已知某个几何体的三视图如下, 根据图中标出的尺寸 (单位: cm) , 可得这个几何体的体积是( B )

4000 3 cm 3 8000 3 cm B. 3
A.
3 C. 2000cm

20 20 正视图 10 10 20 俯视图 20 侧视图

D. 4000cm

3

2.(2007 山东卷)下列几何体各自的三视图中,有 且仅有两个视图相同的是( D )

①正方形 A
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②圆锥 B
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③三棱台 D
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④正四棱锥

新疆奎屯
· 2007·

①②

新疆奎屯
· 2007·

①③

C

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新疆奎屯
· 2007·

①④

新疆奎屯
· 2007·

②④

3.(2008 广东卷)将正三棱柱截去三个角(如图 1)所示 A,B,C 分别是 △GHI 三边的 中点得到几何体(如图 2),则该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( A ) H A B I C D F 图1 G A 侧视 B E F 图2 C D E B E A. B. B B B E

E

E C.

D.

3

4. (2008 海南、宁夏卷)某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的 投影是长为 6 的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a + b 的最大值为( C A. 2 2 B. 2 3 ) C. 4 D. 2 5

5. (2008 山东卷理)右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积 是 ( D ) A.9π B.10π 2 C.11π D.12π 3 2 俯视图 正(主)视图 2 侧(左)视图

6. (2009 福建卷)如下图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积 为

1 .则该集合体的俯视图可以是 2
1 1 正视图

( C )

1 1 侧视图

A

B

C

D

解析 解法 1 由题意可知当俯视图是 A 时,即每个视图是变边长为 1 的正方形,那么此几 何体是立方体,显然体积是 1,注意到题目体积是

1 ,知其是立方体的一半,可知选 C. 2

解法 2 当俯视图是 A 时,正方体的体积是 1;当俯视图是 B 时,该几何体是圆柱,底 面积是

?

? ?1? ? S ? ? ? ? ? ? ,高为 1,则体积是 ; 4 4 4 ?2?
2

2

当俯视是 C 时,该几何是直三棱柱,故体积是

2

1 1 V ? ?1?1?1 ? ,当俯视图是 D 时,该几何是圆 2 2
4

2 2 正(主)视 2 侧(左)视图

柱切割而成,其体积是 V ?

1 ? ? ? 12 ? 1 ? .故选 C. 4 4
C ).

7.(2009 山东卷) 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 2? ? 2 3 B. 4? ? 2 3 C. 2? ?

2 3 3

D. 4? ?

2 3 3

8.(2009 天津卷)如图是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 3 ,则 a=___ 3 ____ 俯视图

9.(2009 浙江卷)若某几何体的三视图(单元:cm)如图所示,则此几何体的体积是 ________ cm 3 . 答案:18 【解析】该几何体是由二个长方体组成,下面体积为 1? 3 ? 3 ? 9 ,上面的长方体体积为

3 ? 3 ? 1 ? 9 ,因此其几何体的体积为 18

5

10. (2009 广东卷)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示。墩的上半部分 是正四棱锥 P ? EFGH ,下半部分是长方体 ABCD ? EFGH 。图 5、图 6 分别是该标识 墩的正(主)视图和俯视图。 (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图; (2)求该安全标识墩的体积; (3)证明:直线 BD ? 平面 PEG .
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

【解析】 (1)侧视图同正视图,如下图所示.

(2)该安全标识墩的体积为: V ? VP? EFGH ? VABCD? EFGH

1 ? ? 402 ? 60 ? 402 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000 ? cm 2 ? 3

6

(3)如图,连结 EG,HF 及 BD,EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知, PO ? 平面 EFGH ,

? PO ? HF 又 EG ? HF ? HF ? 平面 PEG
又 BD P HF

? BD ? 平面 PEG;

w.w.w. k.s.5.u.c.o .m

7


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