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【全国百强校】湖北省武汉市第二中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试题

命题教师:谢建萍 考试时间:2015 年 2 月 4 日

审题教师: 李灵文 试卷满分:150 分

上午 9:00—11:00

一、选择题:本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 共 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的. 1. 下列说法中正确的是 ( ) A. 若事件 A 与事件 B 是互斥事件, 则 P( A) ? P( B) ? 1 ; B. 若事件 A 与事件 B 满足条件: P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 1 , 则事件 A 与事件 B 是 对 立事件; C. 一个人打靶时连续射击两次, 则事件 “至少有一次中靶”与事件 “至多有一次中靶”是对 立事件; D. 把红、橙、黄、绿 4 张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁 4 人, 每人分得 1 张, 则事件“甲 分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件. 2. 用反证法证明命题: “a, b∈N, 若 ab 不能被 5 整除, 则 a 与 b 都不能被 5 整除”时, 假设的内 容应为 ( ) A. a, b 都能被 5 整除 B. a, b 不都能被 5 整除 C. a, b 至少有一个能被 5 整除 D. a, b 至多有一个能被 5 整除 3. 已知 1 ? ai 为纯虚数( i 是虚数单位)则实数 a ? 1? i A. 1 B. 2 4. 下列框图属于流程图的是 A. B. C. D. 5. 若双曲线 ( ) C. -1 ( D. -2 ( ) )

5 y2 x2 , 则双 曲线焦点 F 到渐 近线的距离为 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 5 m 3
A.2 B.3 C.4 D. 5

6. 已知 x , y 之间的一组数据:
1

x y

2 1

4 5

6 3

8 7 ( )

? ? bx ? a 必过点 则 y 与 x 的线性回归方程 y
A. (20,16)
2 2

B. (16,20)
12 4

C. (4,5)

D. (5,4)

7. 已知双曲线 x ? y ? 1 的右焦点为 F, 若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点, 则此直线的斜率的取值范围是 ( C. ? ? )

? 3 3? A. ? ? , ? ? 3 3 ?

B. [?

3,

3]

? ? ?

3 3? , ? 3 3 ? ?

D. ? 3, 3

?

?
( )

y2 x2 + =1 所截得的线段的中点, 则 l 的方程是 36 9 A. x+2y+8=0 B. x+2y-8=0 C. x-2y-8 =0 D. x-2y+8=0 9. 下列说法中不正确的个数是
8. 已知(4,2)是直线 l 被椭圆 ①命题“ ? x∈R,
x3 ? x 2 ? 1





≤0”的否定是“ ? x0 ∈R, x0 ? x0 ? 1 >0”;

3

2

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

②若“p ? q”为假命题, 则 p、q 均为假命题; ③“三个互不相等的数 a, b, c 成等比数列”是“b= ac ”的既不充分也不必要条件 A. 0
1 2

B. 1

C. 2

D. 3
3

10. 已知 F , F 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是他们的一个公共点, 且 ?F1PF2 ? ? ,则椭圆和 双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 A. 4 3
3

( C. 3 D. 2



B. 2 3
3

二、填空题(本大题共 7 个小题 ,每小题 5 分,共 35 分) 11. 已知高一年级有学生 450 人, 高二年级有学生 750 人, 高三 年级有学生 600 人.用分层抽样 从该校的这三个年级中抽取一个容量为 n 的样本, 且每个学生被抽到的概率为 0.02, 则应从 高二年级抽取的学生人数为 12. 在空间直角坐标系 O-xyz 中, .
y 轴上有一点 M 到已知点 A(4, 3, 2) 和

点 B(2, 5, 4) 的距离相等, 则点 M 的坐标是 13. 某学生 5 天的生活费(单位:元)分别为: x ,
y,

. 8, 9, 6. 已知这 .

组数据的平均数为 8, 方差为 2, 则 | x ? y |?
3

14. 如图所示的算法中, a ? e , b ? 3? , c ? e? , 其中 ? 是圆周率, . e ? 2.71828 是自然对数的底数, 则输出的结果是 15. 双曲线 8kx 2 ? ky 2 ? 8 的一个焦点为 (0, 3) , 则 k 的 值为___________, 双曲线的渐近线方程 为___________. 16. 集合 {1, 2, 3, , n}( n ≥ 3) 中, 每两个相异数作乘积, 将所有这些乘积
2

的和记为 T , 如:
n

1 T3 ? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? 3 ? [62 ? (12 ? 22 ? 32 )] ? 11 ; 2
T4 ? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 1 ? 4 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 4 ? 1 [102 ? (12 ? 2 2 ? 32 ? 4 2 )] ? 35 ; 2

T5 ? 1? 2 ? 1? 3 ? 1? 4 ? 1? 5 ?

1 ? 3 ? 5 ? 4 ? 5 ? [152 ? (12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 52 )] ? 85 2

则T

7

?

. (写出计算结果)
2

2 2 17. 我们把离心率 e ? 5 ? 1 的双曲线 x ? y ? 1?a ? 0, b ? 0? 称为黄金双曲线 . 如图是双曲线 2 2

a

b

x y ? 2 ? 1 a ? 0, b ? 0, c ? 2 a b
5 ?1

2

2

?

a 2 ? b 2 的图象, 给出以下几个说法:

?

2 ①双曲线 x 2 ? 2 y ? 1 是黄金双曲线;

②若 b

2

? ac

, 则该双曲线是黄金双曲线;
B1

③若 F , F 为左右焦点, A1 , A2 为左右顶点,
1 2

(0,

b

),

B2

(0, ﹣ b )且 ?F1 B1 A2 ? 900 , 则该双

曲线是黄金双曲线; ④若 MN 经过右焦点 F 且 MN
2

? F 1 F2

,

?MON ? 900

, 则该双曲线是黄金双曲线.

其中正确命题的序号为 三、解答题(共 5 大题,共 65 分) 18. (12 分)命题 p:“ ?x ? [1,2], x
2

.

? a ? 0

”, 命题 q:“ ?x0 ? R, x0 ? 2ax0 ? 2 ? a ? 0 ”, 若“p 且 q”

2

为假命题, 求实数 a 的取值范围.

19. (13 分)已知三点 P(5, 2)、F1(-6, 0)、F2(6, 0). (1) 求以 F1、F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程;
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

(2) 设点 P、 F1、 F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P ', F 的双曲线的标准 方程.

1

', F2 '

, 求以 F1 ', F2 ' 为焦点且过 P ' 点

3

20. (13 分)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破 坏, 但可见部分如下, 据此解答如下问题.

(1) 求全班人数及分数在 ?80,90? 之间的频数; (2) 估计该班的平均分数, 并计算频率分布直方图中 ?80,90? 间的矩形的高;
[来源:学|科|网]

(3) 若要从分数在 [80, 100]之间的试卷中任 取两份分析学生失分情况 , 在抽取的试卷中 , 求至少有一份分数在[90, 100]之 间的概率.

21. (13 分)如图, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 侧棱 AA

1

?

底面 ABC ,

AB ? BC

, D 为 AC 的中点,

A1 A ? AB ? 2.
(1) 求证:
AB1 //

平面 BC D ;
1

(2) 过点 B 作 BE

? AC

于点 E , 求证: 直线 BE

? 平面 AA1C1C

;

(3) 若四棱锥 B ? AA1C1 D 的体积为 3, 求 BC 的长度.

22. (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(-1, 1), P 是动点, 且△POA 的三边所在直线的 斜率满足 kOP+kOA=kPA. (1) 求点 P 的轨迹 C 的方程; (2) 若 Q 是轨迹 C 上异于点 P 的一个点, 且 PQ =λ OA , 直线 OP 与 QA 交于点 M, 问: 是否 存在点 P, 使得△PQA 和△PAM 的面积满足 S△PQA=2S△PAM? 若存在, 求出点 P 的坐标; 若不存在, 说明理由.

4

武汉二中 2014——2015 学年上学期 高二年级期末考试

数学(文科)试卷参考答案
题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 C 5 B 6 D 7 A 8 B 9 B 10 A 11. 15 12. M (0, 4, 0) 13. 3 14. 3
?

15. -1; 16. 322 17. ①②③④ 18.

y ? ?2 2 x

a ? ( ?2,1) ? (1,??)

∴⊿=4a2-4(2-a)≥0,即,a≥1 或 a≤-2, p 真 q 也真时 若“p 且 q”为假命题 , 即 a ? (?2,1) ? (1,??) . 考点: 全称命题与特称命题; 简易逻辑.
2 2 2 2 19. (1) x ? y ? 1 ; (2) y ? x ? 1 .

∴a≤-2,或 a=1

45

9

20

16

【解析】 试题分析: (1)根据椭圆的定义, 2a ? PF1 ? PF2 ? 6 5 , 又 c ? 6 , 利用 a
2

? b2 ? c2

, 可求出

c , 从而得出椭圆的标准方程, 本题要充分利用椭圆的定义.(2)由于 F1、F2 关于直线 y ? x 的

对称点在 y 轴上, 且关于原点对称 , 故所求双曲线方程为标准方程 , 同样利用双曲线的定义有

2a ? PF1 ? PF2 ? 2 5 , 又 c ? 6 , 要注意的是双曲线中有 a
a

2

? b2 ? c2

, 故也能很快求出结论.

2 2 试 题 解 析 : ( 1 ) 由 题 意 , 可 设 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为 x ? y ? 1(a ? b ? 0) , 其 半 焦 距 2 2

b

c ? 6 , 2a

? 6 5 ? a ? 3 5 ?b ? 3
5

2 2 故所求椭圆的标准方程为 x ? y ? 1 ;

45

9

(2) 点P (5, 2) 、 (-6, 0) 、 (6, 0) 关于直线 y=x 的对称点分别为:

P '(2, 5)

,

F 1 '(0, ?6)

,

F2 '(0, 6)

,

2 2 设所求双曲线的标准方程为 y ? x ? 1(a ? 0, b ? 0) , 由题意知半焦距 c =6, 2 2

a

b

2a ? 4 5 ? a ? 2 5

∴? b ? 4 ,
20 16

2 2 故所求双曲线的标准方程为 y ? x ? 1 .

考点: (1)椭圆的标准方程; (2)双曲线的标准方程. 20. 解: (I)由茎叶图知,分数在 ?50,60? 之间的频数为 2,频率为 0.008? 10 ? 0.08, 全班人

2 ? 25 . 数为 0.08 所以分数在 ?80,90? 之间的频数为 25 ? 2 ? 7 ? 10 ? 2 ? 4
(II)分数在 ?50,60? 之间的总分为 56+58=114;分数在 ?60,70? 之间的总分 为 60× 7+2+3+3+5+6+8+9=456; 分数在 ?70,80? 之间的总分数为 70× 10+1+2+3+3+4+5+6+7+8+9=747;分数在 ?80,90? 之间的总分约为 85× 4=340; 分数在 [90,100] 之间 的总分数为 95+98=193;所以,该班的平均分数为

114 ? 456 ? 747 ? 340 ? 193 ? 74. 25
估计平均分时,以下解法也给分: 分数在 ?50,60? 之间的频率为 2/25=0.08;分数在 ?60,70? 之间的频率为 7/25=0.28;分数在

?70,80? 之间的 频率为 10/25=0.40;分数在 ?80,90? 之间的频率为 4/25=0.16 分数在
[90,100] 之间的频率为 2/25=0.08;
所以,该班的平均分约为

55 ? 0.08 ? 65 ? 0.28 ? 75 ? 0.40 ? 85 ? 0.16 ? 95 ? 0.08 ? 73.8
4 ? 10 ? 0.016 . 频率分布直方图中 ?80,90? 间的矩形的高为 25
(III)将 ?80,90? 之间的 4 个分数编号为 1,2,3,4,[90,100]之间的 2 个分数编号为 5,6, 在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为:
6

(1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) ; (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) ; (3,4) , (3,5) , (3,6) , (4,5) , (4,6) ; (5,6)共 15 个, 其中,至少有一个在[90,100]之间的基本事件有 9 个,故至少有一份分数在[90,1000]之间的

9 ? 0 .6 频率是 15
21. (1)证明:连接 B1C , 设 B1C ? BC1 ? O ,连接 OD, ………1 分

? BCC1 B1 是平行四边形,
?D是
?

?点

O 是 B C 的中点,
1

AC 的中点,

? OD 是 ?AB1C 的中位线,

AB1 // OD …………………………………………3 分

又 AB1 ? 平面BC 1 D, OD ? 平面BC 1 D
?

AB1//平面 BC1D…………………………………………5 分

(2) ? A1 A ? 平面ABC, BE ? 平面ABC,
?

A1A ? BE, ………………………………………7 分,

[来源:Z。xx。k.Com]

又 BE ? AC, AC ? A1A ? A ……………………9 分
? 直线

BE ? 平面 AA C C ………………………………………10 分
1 1

(2)的解法 2:

? A1 A ? 平面ABC, A1A ? 平面AA1C1C,? 平面AA1C1C ? 平面ABC ……7 分

又平面AA 1C1C ? 平面ABC ? AC, BE ? AC, BE ? 平面ABC,
? 直线

BE ? 平面 AA C C ………………………………………10 分
1 1

[来源:学# 科#网]

(3)

3

【 解 析 】 (1) 连 接 B 1 C , 设 B1C ? BC1 ? O ,连接 OD, 证明 AB1 // OD 即可. (2) 因为 BE ? AC ,再证 A A ? BE 即可.
1

(3) 设 BC ? x ? 0, Rt?ABC中, AC ? BE ? AB ? BC,? BE ? 2x , AC 再根据 V
AA1C1 D

?3

建立关于 x 的方程, 解出 x 值.

由(2)知 BE 的长度是四棱锥 B—AA1C1D 的体高

A1 A ? AB ? 2.
7

设 BC ? x ? 0, Rt?ABC中, AC ? BE ? AB ? BC,? BE ? 2x ……………11 分 AC
? S AA1C1D ? 1 13 3 ? ?A1C1 ? AD ? ? A1A ? AC ? 2 ? AC, ……………12 分 2 22 2

? VAA1C1D ? 1 S AA C D ? BE ? 1 ? 3 AC ? 2x ? 3, ………………13 分
3
1 1

3 2

AC

? x ? 3,? BC ? 3

…………………………………………………14 分

22. (1)y=x (x≠0 且 x≠-1)(2)(1, 1) 【解析】(1)设点 P(x, y)为所求轨迹上的任意一点, 则由 kOP+kOA=kPA 得 y + 1 = y-1 , 整理得轨迹 C 的方程为 y=x2(x≠0 且 x≠-1).
x - 1 x+ 1

2

(2)设 P(x1,

2 x1

), Q(x2,

2 x2

, M(x0, y0),
2 x2 -x12 1-0 , 即 x2+x1=-1, = x2-x1 -1-0

由 PQ =λ OA 可知直线 PQ∥OA, 则 kPQ=kOA, 故 由 O、M、P 三点共线可知,

OM

=(x0, y0)与 OP =(x1,

2 x1

)共线,

∴x0 x -x1y0=0, 由(1)知 x1≠0, 故 y0=x0x1,
2 1

同理, 由 AM =(x0+1, y0-1)与 AQ =(x2+1,

2 x2

-1)共线可知(x0+1)( x -1)-(x2+1)(y0-1)=0,
2 2

即(x2+1)[(x0+1)· (x2-1)-(y0-1)]=0, 由(1)知 x2≠-1, 故(x0+1)(x2-1)-(y0-1)=0, 将 y0=x0x1, x2=-1-x1 代入上式得(x0+1)(-2-x1)-(x0x1-1)=0, 整理得-2x0(x1+1)=x1+1, 由 x1≠-1 得 x0=- 1 , 由 S△PQA=2S△PAM, 得到 QA=2AM,
2

∵PQ∥OA, ∴OP=2OM, ∴ PO =2 OM , ∴x1=1, ∴P 的坐标为(1, 1)

8


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