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1.6.1 完全平方公式(1)


1.6.1 完全平方公式(1)

回顾 & 思考 ? 回顾与思考

两数和与这两数差的积,
等于它们的平方差。

(a ? b)(a ? b) ? a ? b
2

2

多项式与多项式相乘:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的 每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的 积相加。

?m ? a??n ? b? ? mn? mb? an ? ab

一、课堂导入,激发互动

?m ? a??n ? b? ? mn? mb? an ? ab
当m=n,a=b时, (m+a)(n+b)
= (m+a)(m+a) = (m+a)2 =?

学习目标
1.探索并推导完全平方公式
2.会运用公式进行简单的计算

二、发现探究,合作交流

完全平方公式

一块边长为a米的正方形实验田, 因需要将其边长增加 b 米。 形成四块实验田,以种 植不同的新品种(如图1—6). b 用不同的形式表示实验田的 总面积, 并进行比较.

探索: 你发现了什么?

a a
图 1 —6

直 2 总面积 = ( a + b ) ; 接 法一 求 间 接 总面积= a2+ ab+ ab+ b2. 法二 求

b

公式: (a+b)2= a2+ 2 ab + b2.

动脑筋
想一想

完全平方公式 的证明

? (a+b)2=a2+2ab+b2 ; 2 2 2 a ? 2 a b + b . ? (a?b) =

(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?

(2) 小颖写出了如下的算式: (a?b)2= [a+(?b)]2 她是怎么想的? 你能继续做下去吗?
推证 ?

(a+b)2 =(a+b) (a+b)=a2+ab+ ab+b2 =a2+2ab+ b2;

利用两数和的 完全平方公式 ? 推证公式 ?

(a?b)2= [a+(?b)]2 = a 2 + 2 a (?b) + (?b) 2 = a2 ? 2ab + b2.

(a+b)2=a2+2ab+b2 归纳 2=a2±2ab+b2 (a ± b) (a-b)2=a2-2ab+b2 完全平方公式的结构特征: 左边是二项式(两数和(差))的平方;

右边是两数的平方和加上(减去)这两数乘积 的两倍. 语言描述:
两个数的和(或差)的平方,等于它们的

平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.

( a ± b) 2 = a2 ± 2ab + b2

( a ± b) 2 = a2 ± 2ab + b2
首平方,尾平方,首尾乘积两倍 中间放,符号看前方 公式特点:
1、积为二次三项式; 2、首末两项为两数的平方和; 3、中间项是两数积的2倍,符号由两项的符号决 定; 4、公式中的字母a,b可以表示数、字母、单 项式或多项式。

练一练:下列计算是否正确?如何改正?

(1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2

错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
(完全平方公式积为三项式)
2 =x2 -2xy +y2 (x y) 错

(完全平方公式积为三项式,首尾两项为正)

(3) (x -y)2 =x2+2xy +y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2
(展开式中间项的符号由乘式中两项的符号决定)

(4) (x+y)2 =x2 +xy +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
(展开式中间项等于乘式中首尾两项乘积的两倍)

完全平方公式 的几何意义

和的完全平方公式:

b ab a

b? ab b
2 2

(a+b)?

a?
a
2

( a ? b) ? a + 2ab+b

完全平方公式 的几何意义

差的完全平方公式:

b a

ab

b?

(a-b)?

a? ab
a b

( a ? b) ? a ? ab ? ab ? b
2

2

2

? a ? 2ab ? b
2

2

例题解析 三、互疑互问,思维创新
例1 利用完全平方公式计算: (1) (2x?3)2 ; (2) (4x+5y)2 ; (3) (mn?a)2

?注意

使用完全平方公式与平方差公式的使用一样, 先把要计算的式子与完全平方公式对照, 明确哪个是 a , 哪个是 b. 做题时要边念边写: 第一数 的平方,

2x? 32 解:(1) (2 ?3) = ( 2x ) 2 ? 2 ? 2x ? 3 + 3 2 = 4x2 ? 12x + 9 ;

减去 第一数与第二数 乘积 的 2倍 , 加上 第二数 的平方.

例2、运用完全平方公式计算:
2 (1)(4m+n)

解: (4m+n)2= (4m)2+2?(4m) ?n +n2 (a
2 +b) = 2 a

+

2ab

+

2 b

2 =16m

+8mn +n2

2 (2)(x-2y)

解:

2 (x-2y) =

2 x 2 a

2 +(2y) -2?x ?2y

(a -

2 b) =

- 2 ab +

2 b

2 =x -4xy

+4y2



错 练 习

指出下列各式中的错误,并加以改正: (1) (2a?1)2=2a2?2a+1; (2) (2a+1)2=4a2 +1; (3) (?a?1)2=?a2?2a?1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ; 应改为: (2a?1)2= (2a)2?2?2a?1+1; (2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项); 应改为: (2a+1)2= (2a)2+2?2a?1 +1; (3) 第一数平方未添括号, 第一数与第二数乘积的2倍 错了符号; 第二数的平方 这一项错了符号; 应改为: (?a?1)2=(?a)2?2?(?a )?1+12;

随堂练习 随堂练习
p34

1、计算:
(1) ( 1 x ? 2y)2 ; (2) (2xy+ 1 x )2 ;
5 2

(3) (n +1)2 ? n2.

学以致用
例3 利用完全平方公式计算:
(1) (-1-2x)2 ;

(2) (-2x+1)2

本节课你的收获是什么? 四、回顾概括,反思延伸
注意完全平方公式和平方差公式不同:
完全平方公式的结果 是三项, 2 2 2 结果不同: 即 (a ?b) =a ?2ab+b ; 平方差公式的结果 是两项, 即 (a+b)(a?b)=a2?b2. 在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不 丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2;第一(二)数是乘积被平方 时要注意添括号, 是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键 有时需要进行变形,使变形后的式子符合应用完全平方公 式的条件,即为“两数和(或差)的平方”,然后应用公式计算.

形式不同.

拓展提高
1.(a+b+c) 2. (x+y-z)2 3.如果 x2+mx+4是一个完全平方式,求m的值. 4.若(a+b)2=7,(a-b)2=3,分别求a2+b2和 ab的 值.

5.已知:a+b=5,ab=6,求a2+b2 值.

作业

作业

课本 P26 习题1.13 知识技能第1题


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