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分数指数幂习题

第二章
基本初等函数(Ⅰ)

第二章
第 3 课时 分数指数幂习题课

温故知新 1.根式及相关概念 (1)a 的 n 次方根定义 如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1,且 n ∈N*.

(2)a 的 n 次方根的表示 ①当 n 是奇数时,a 的 n 次方根表示为 a,a∈R. n ②当 n 是偶数时, a 的 n 次方根表示为± a, a∈ [0,+∞). (3)根式 式子 a叫做根式, 这里 n 叫做 根指数 , a 叫做 被开方数 . n n

2.根式的性质 (1) 0= 0 (n∈N*,且 n>1); (2)( a)n= a (n∈N*,且 n>1); (3) an= a (n 为大于 1 的奇数); (4) a = |a| n
n

n

n

n

? ? a =? ? ?-a

?a≥0? (n 为大于 1 的偶数). ?a<0?

3.实数指数幂的运算法则(m,n∈R,a>0,b>0).
m+n a a · a=

m

n



am m-n ; n= a a (am)n= amn ;
m m (ab)m= a b ;

4.计算 (1) ?-5?2= 5 ; (2)( ?-5?2)2= 25 ; (3)( a-2) + ?2-a? + ?2-a?3= a-2 .
2 2

3

(6)依据上述定义可计算下列问题: 1 3 1 - ①16 4 = 8 ②49 2 = 7 125 ?1?- ? 81 ?- 3 ③?3? 2= 9 ④?625? 4 = 27 .
? ? ? ?

3.分数指数幂与根式可以互化,若a>0,则 a a 用分 1 1 1 3 2 3 3 - ( a · a ) 2 a 数指数幂表示为 ,a 用根式表示为 .

3

思路方法技巧

1
[例 1] 3 3

根式与分数指数幂的互化

用分数指数幂表示下列各式(a>0,b>0): (2) a a a; (4)( a)2· ab3. 3

4 (1) a· a; (3) a · a ; [分析]
2 3

解决本题的关键是理解分数指数寓的意义,先

将根式化为分数指数幂的形式,再运用分数指数幂的运算性 质进行化简.

[解析]

规律总结:在将根式化分数指数幂的形式时,关键是 分清指数中分子、分母的位置.

[解析]

(1)a = a2.

2 3

3

2

根式运算

学法指导:既含有分数指数幂,又有根式,应该把根 式统一化成分数指数幂的形式,便于运算,如果根式中根指 数不同,也应化为分数指数幂的形式,但最后结果还应以根 式为最终形式.

[分析]

既含有分数指数幂,又有根式,应该把根式统

一化成分数指数幂的形式,便于运算,如果根式中根指数不 同,也应化为分数指数幂的形式,但最后结果还应以根式为 最终形式.

[解析]

规律总结:根式的运算一般化为分数指数幂的形式, 由分数指数幂运算公式化简求值.

化简下列各式: (1)2 3× 1.5× 12. 3 2 -3 (2)(a · b ) ÷ b-4 a-2;
1 2

3

6

[解析]

建模应用引路

7

分数指数幂的运算

学法指导:一般地,进行指数幂运算时,化负指数为 正指数、化根式为分数指数幂、化小数为分数进行运算,便 于进行乘除、乘方、开方运算,以达到化繁为简的目的.但 化简的结果,形式上要统一,不能既含根号,又含分数指数 幂.

[分析]

所给算式中,指数有正、有负、有分数、有小数,

需先将负数化为正数、小数化为分数,再利用指数幂的运算性 质求解.

[解析]

2 25 1 1 64 37 5 - 2 3 (1)原式=( 9 ) +0.12+(27) -3+48=3+100+

9 37 16-3+48=100.

[解析]

进行分数指数幂的综合运算,要注意先算乘方、

开方,再算乘除,最后进行加减运算.

[规律总结]

进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数

幂的运算性质,并灵活应用.一般地,进行指数幂运算时,化 负指数为正指数、 化根式为分数指数幂、 化小数为分数运算. 同 时还要注意运算顺序问题.

探索延拓创新

4

有条件的求值问题

学法指导:(1)条件求值是代数式求值中的常见题型, 一般要结合已知条件先化简再求值,另外要特别注意条件的 应用,如条件中的隐含条件,整体代入等,可以简化解题过 程.本题若通过 a +a =3 解出 a 的值代入求值,则非常复 杂.
1 2 1 - 2

[分析]

解答本题可从整体上寻求各式与条件 a +a

1 2



1 2



联系,进而整体代入求值.
[解析] (1)将 a +a
1 2 - 1 2

=3 两边平方,

得 a+a-1+2=9,即 a+a-1=7. (2)将 a+a-1=7 两边平方,有 a2+a-2+2=49, ∴a2+a-2=47.

已知 x+y=12,xy=9,且 x<y,求

的值.

[解析]

① 又∵x+y=12,xy=9,② ∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108. ∵x<y,∴x-y=-6 3③,

名师辩误做答

1.利用有理数指数幂的运算性质进行运算时,忽略了底 数需大于 0 [例 5] 计算:[(- 2) ]
-2 - 1 2 -2 - 1 2

.
1 (-2)×(- ) 2

[错解] [(- 2) ]

=(- 2)

=- 2.

[ 思路分析 ]

在应用有理数指数幂的运算性质进行运算

时,一定要注意底数必须大于 0 的数.

[正解] [(- 2) ]

-2

1 - 2

1 -1 =(2) 2 = 2.

2.利用有理数指数幂的运算性质进行运算时,忽略了底 数需相同 [例 6] 6 化简: a· -a. 3

[错因分析]

该解法中在利用有理数指数幂的运算性质进

行运算时,忽视了底数必须相同的条件. [思路分析] 很显然 -a有意义,则-a≥0,即 a≤0,所 6

以在进行偶次方根的化简时,要特别注意被开方数的符号.

[正解]


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