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数列求前N项和方法总结(方法大全,强烈推荐)


求数列{an}的前 n 项和的方法
(1)倒序相加法 此种方法主要针对类似等差数列中 (2)公式法 此种方法是针对于有公式可套的数列,如 (3)错位相减法 此种方法主要用于数列 {a n b n } 的求和, 其中 { a n } 为等差数列, {b n } 是公比为 q 的 等比数列,只需用 S n ? qS n 便可转化为等比 数列的求和,但要注意讨论 q=1 和 q≠1 两
? na1 ? n ( n ? 1) 2 d

?

1 4

n ( n ? 1)
2

2

(4)分组化归法 此方法主要用于无法整体求和的数列,可 将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分 别进行求和,再综合求出所有项的和.

a n ? a1 ? a n ?1 ? a 2 ? ?? ,具有这样特点的 等差、等比数列,关键是观察数列的特点,找
数列. 例:等差数列求和 出对应的公式. 公式: ①等差数列:
Sn ? n ( a1 ? a n ) 2

S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n
? a1 ? ( a1 ? d ) ? ? ? [ a1 ? ( n ? 1) d ] ①

种情况. 例:试化简下列和式: 例:求数列 1, 1 ?
n ?1

把项的次序反过来,则:

1 2

S n ? a n ? ( a n ? d ) ? ? ? [ a n ? ( n ? 1) d ] ②
①+②得:
?? ? ? ? ? n个 ? ? ? ? ? ??? ? 2 S n ? ? a1 ? a n ? ? ( a1 ? a n ) ? ? ? ( a1 ? a n )

? na n ?

n ( n ? 1) 2

,1 ?

1 2

?

1 4

,……,

d

S n ? 1 ? 2 x ? 3 x ? ? ? nx
2

( x ? 0)

S m ? n ? S m ? S n ? mnd
Sn n ? S n?m ? S m n ? 2m (n ? 2m, m, n ? N )
*

解: ①若 x=1, Sn=1+2+3+…+n = 则
2

n ( n ? 1) 2
n ?1

1?

1 2

?

1 4

+……+

1 2
n ?1

的和.

②若 x≠1,则 S n ? 1 ? 2 x ? 3 x ? ? ? nx
xS n ? x ? 2 x ? 3 x ? ? ? nx
2 3 n

解:∵ a n ? 1 ?

1 2

?

1 4

?? ?

1 2
n ?1

? n ( a1 ? a n )
Sn ? n ( a1 ? a n ) 2

②等比数列:
Sn ? a 1 (1 ? q )
n

1? q

?

a1 ? a n q 1? q
n

; ( q ? 1)

两式相减得:
(1 ? x ) S n ? 1 ? x ? x +…+ x
2

1 n 1? ( ) 2 ? 2? 1 ? n ?1 1 2 1? 2
n

n ?1

Sm?n ? Sn ? Sm q

? nx

∴ S n ? 1 ? (1 ?

1 2

) ? (1 ?

1 2

?

1 4 1

) ??

③1+2+3+……+n =

n ( n ? 1) 2
2



?

1? x

n

1? x

? nx

n

? (1 ?
n 2

1 2

?

1 4

?? ?

2

n ?1

)

1 ? 2 ? 3 ?? ? n
2 2 2



Sn ?

1? x

(1 ? x )

?

nx

n

1? x

? (2 ? 1) ? (2 ?

1 2

) ? (2 ?

1 2
2

)

?

1 6

n ( n ? 1)(2 n ? 1) ? ? ? (2 ? 1 2
n ?1

)

1 ? 2 ? 3 ?? ? n
3 3 3

3

? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n )

2

? 2 n ? (1 ?

1 2

?

1 4

?? ?

1 2
n ?1

)

? 2n ? 2 ?

1 2
n ?1

(5)奇偶求和法 此种方法是针对于奇、偶数项,要考虑 符号的数列, 要求 Sn, 就必须分奇偶来讨论, 最后进行综合.
1 a1 a 2

(6)裂项相消法 此方法主要针对
? 1 a 2 a3 ?? ? 1 a n ?1 a n

这 样的 求和, 其中

{an}是等差数列. 例:求和
S n ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? ( ? 1)
n ?1

例:{an}为首项为 a1,公差为 d 的等差数列,求
(2 n ? 1)

Sn ?

1 a1 a 2

?

1 a 2 a3

?

1 a3 a 4

?? ?

1 a n ?1 a n

解:当 n = 2k (k ? N+)时, 解:

(7)分类讨论 此方法是针对数列{ a n }的其中几项符号

(8)归纳—猜想—证明 此种方法是针对无法求出通项或无法根 据通项求出各项之和的数列,先用不完全 归纳法猜出 S n 的表达式,然后用数学归纳 法证明之.

S n ? S 2 k ? (1 ? 3) ? (5 ? 7) ?
? ? [(4 k ? 3) ? (4 k ? 1)]
? ? 2k ? ? n
当 n ? 2 k ? 1( k ? N ? )时 , ∵
1 a k a k ?1 ? 1 ak (ak ? d ) 1 1 ? ?

1 ak ? d ? ak ? d ak (ak ? d ) )? 1 1 ? 1 a k ?1

与另外的项不同,而求各项绝对值的和的问 题,主要是要分段求.
)

?

d ak 1 ? 1 a2

(

1 ak ? d 1

d ak 1 a3

(

S n ? S 2 k ?1 ? S 2 k ? a 2 k ? ? 2 k ? [ ? (4 k ? 1)]
? 2k ? 1 ?n

∴ Sn ?

1

d a1 1 1

(

)?

d a2

(

1

?

例:已知等比数列{ a n }中, a 1 =64,q=
)

1 2



例:求和 S n = 1 + 3 + 5 +…+ ( 2 n ? 1)
2

2

2

2

解: S 1 ? 1 , S 2 ? 10 , S 3 ? 35 , 设 b n =log2 a n ,求数列{| b n |}的前 n 项和 S n .
S 4 ? 84 , S 5 ? 165 ,…

?? ?

d a n ?1

(

?

1 an

)
解: a n = a 1 q

n ?1

=2

7?n

综合得: S n ? ( ? 1)

n ?1

n

∴ b n = log2 a n = 7 ? n

1 2 观察得:S n = n ( 4 n ? 1) (待定系数法) 3 1 3 n ( 4 n ? 1) =1= S 1
2

?

1 d ?

[(

1 a1

?

1 a2 ?

)?(

1 a2

?

1 a3

) ?? ? (

1 a n ?1

?

1 an

)]

(1)当 n ≤7 时, b n ≥0

证明: (1)当 n =1 时,

1

d a1

(

1

1 an

此时, S n =-
)

1 2

n +

2

13 2

n

∴ n =1 时成立. (2)假设当 n =k 时, S k =

1 3

?

n ?1 a1 [ a1 ? ( n ? 1) d ]

(2)当 n >7 时, b n <0

k ( 4 k ? 1)
2

则 n =k+1 时,

S 此时, n =

1 2

n -

2

13 2

( n +42 n ≥8)

S k ?1 = S k + ( 2 k ? 1)

2

1 2 2 = k ( 4 k ? 1) + ( 2 k ? 1) 3 1 2
∴ Sn =
2



n +

13 2

n ( n ≤7)

=

k ?1 3
k ?1 3

( 2 k ? 3)( 2 k ? 1)

=

[ 2 ( k ? 1) ? 1][ 2 ( k ? 1) ? 1]

1 2

n -

2

13 2

n =k+1 时,成立. n +42( n ≥8)
由(1)(2)知,对一切 n∈N , 、
*

1 2 S n = n ( 4 n ? 1) . 3


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