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qq123qq:6-1课件-大M法求解线性规划问题._图文

经济管理学核心课程

运筹学
( Operations Research )
薛 立 立

天津中德职业技术学院
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运 筹 帷 幄 之 中

第六讲
单纯形法-大M法

决 胜 千 里 之 外

单纯形法的进一步讨论-人工变量法
人工变量法: 前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵,很容易 确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有单位 矩阵,为了得到一组基向量和初基可行解,在约束条件的 等式左端加一组虚拟变量,得到一组基变量。这种人为加 的变量称为人工变量,构成的可行基称为人工基,用大M 法或两阶段法求解,这种用人工变量作桥梁的求解方法称 为人工变量法。

单纯形法的进一步讨论-人工变量法
例1.10 用大M法解下列线性规划
max Z ? 3 x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? ? 4 x1 ? 3 x 2 ? x 3 ? 4 ? ? x1 ? x 2 ? 2 x 3 ? 10 ? ? ? 2 x 1 ? 2 x 2 ? x 3 ? ?1 ? ? x1、x 2、x 3 ? 0

解:首先将数学模型化为标准形式
max Z ? 3 x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? ? 4 x1 ? 3 x 2 ? x 3 ? x 4 ? 4 ? ? x1 ? x 2 ? 2 x 3 ? x 5 ? 10 ? ? 2 x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? 1 ? x j ? 0, j ? 1,2, ? ,5 ?

系数矩阵中不存在 单位矩阵,无法建 立初始单纯形表。

单纯形法的进一步讨论-人工变量法
故人为添加两个单位向量,得到人工变量单纯形法数学模型:
max Z ? 3 x1 ? 2 x2 ? x3-Mx6 ? Mx7 ? x6 ? 4 ??4 x1 ? 3 x2 ? x3 ? x4 ? x ? x ? 2x ? x5 ? 10 ? 1 2 3 ? ? x7 ? 1 ? 2 x1 ? 2 x2 ? x3 ? ? x j ? 0, j ? 1, 2, L , 7

其中:M是一个很大的抽象的数,不需要给出具体的数值, 可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值;再用前面介 绍的单纯形法求解该模型,计算结果见下表。

单纯形法的进一步讨论-人工变量法
cj CB -M 0 -M -M XB x6 x5 x7 x6 b 4 10 1 3 3 x1 -4 1 2 3-2M -6 2 x2 3 -1 -2 2+M 5 -1 x3 1 2 1 -1+2M↑ 0 0 x4 -1 0 0 -M -1 0 1 3/5 0 x5 0 1 0 -M x6 1 0 0 -M x7 0 0 1 θi 4 5 1

?j
0
-1 2 0 -1 2 3 -1

→ →

x5

8
1 3/5 31/5 11/5 13 31/3 19/3

-3
2 5-6M -6/5 3/5 -2/5 5↑ 0 1 0 0

3
-2 5M↑ 1 0 0 0 1 0 0 0

0
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

0
0 -M -1/5 3/5 -2/5 0 1 1 0 -5

1
0 0 0 1 0 0 2 5/3 2/3 -25/3

0
0 0

8/3
—— —— 31/3 ——

?j
x2 x5 x3 x2 x1 x3

x3



?j

?j

单纯形法的进一步讨论-人工变量法
例1.11 用大M法解下列线性规划
max Z ? 3 x1 ? x2 ? x3 ? x1 ? 2 x2 ? x3 ? 11 ??4 x ? x ? 2 x ? 3 ? 1 2 3 ? +x3 ? 1 ??2 x1 ? ? x1、x2、x3 ? 0

解:首先将数学模型化为标准形式
max Z ? 3 x1 ? x2 ? x3 ? x1 ? 2 x2 ? x3 ? x4 ? 11 ??4 x ? x ? 2 x ? x ? 3 ? 1 2 3 5 ? ? x3 ?1 ??2 x1 ? ? x j ? 0, j ? 1, 2, L ,5

系数矩阵中不存在 单位矩阵,无法建 立初始单纯形表。

单纯形法的进一步讨论-人工变量法
故人为添加两个单位向量,得到人工变量单纯形法数学模型:
max Z ? 3x1 ? x2 ? x3 + 0x4 + 0x5-Mx6 ? Mx7 ? 11 ? 3 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? -4x ? x ? 2 x ? x5 +x6 ?3 ? 1 2 3 ? ? x3 ? x7 ? 1 ? ? 2 x1 ? ? x j ? 0, j ? 1, 2, L , 7

其中:M是一个很大的抽象的数,不需要给出具体的数值, 可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值;再用前面介 绍的单纯形法求解该模型,计算结果见下表。

单纯形法的进一步讨论-人工变量法
Cj CB 0 XB x4 b 11 3 x1 1 -1 x2 -2 -1 x3 1 0 x4 1 0 x5 0 -M x6 0 -M x7 0 11

-M
-M Z 0

x6
x7

3
1 -4M

-4
-2 3-6M 3

1
0 -1+M -2

2
1 -1+3M 0

0
0 0 1

-1
0 -M 0

1
0 0 0

0
1 0 -1

3/2
1

→ →

x4

10



-M
-1 Z

x6
x3

1
1 -M-1

0
-2 1

1
0 -1+M

0
1 0

0
0 0

-1
0 -M

1
0 0

-2
1 -3M+1

1


?j

单纯形法的进一步讨论-人工变量法
Cj CB 0 XB x4 b 12 3 x1 3 -1 x2 0 -1 x3 0 0 x4 1 0 x5 -2 -M x6 2 -M x7 -5 4



-1
-1 Z 3

x2
x3

1
1 -2

0
-2 1 1

1
0 0 0

0
1 0 0

0
0 0 1/3

-1
0 -1 -2/3

1
0 -M+1 2/3

-2
1 -M-1 -5/3




x1

4

-1
-1 Z

x2
x3

1
9 2

0
0 0

1
0 0

0
1 0

0
2/3 -1/3

-1
-4/3 -1/3

1
4/3 -M+1/3

-2
-7/3 -M+2/3

单纯形法的进一步讨论
无可行解 通过大M法或两阶段法求初始的基本可行解。但是 如果在大M法的最优单纯形表的基变量中仍含有人工变 量,或者两阶段法的辅助线性规划的目标函数的极小值 大于零,那么该线性规划就不存在可行解。

单纯形法的进一步讨论

CB 0 -M -M Z 0 -M -2 Z -3 -M -2 Z x1 x7 x2 x4 x7 x2 XB x4 x7 x8
C

b 6 4 3
-7M 3 4 3 -6-4M 3 1 3 -15-M

-3 x1
1 1 0

-2 x2
1 0 1

-1 x3
1 -1 -1

0 x4
1 0 0 0 1 0 0 0 1 -1 0

0 x5
0 -1 0 -M 0 -1 0 -M 0 -1 0 -M

0 -M -M x6 x7 x8
0 0 -1 -M 1 0 -1 -2 1 -1 -1 0 1 0 0 0 0 1 0

θ

6/1 3/1

-3+M -2+M -1-2M 1 1 0 -3+M 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 -1 -1 -3-M 2 -3 -1

0 -1 1 0 0 1 0 2-M 0 1 0 -1 1 1 -1

3/1 4/1 -

3-3M 3-M

1-M 0

运算到检验数全负为止,仍含有人工变量,无可行解。

单纯形法的进一步讨论
无最优解
无最优解与无可行解是两个不同的概念。 无可行解是指原规划不存在可行解,从几何的角度解释是指 线性规划问题的可行域为空集;

无最优解则是指线性规划问题存在可行解,但是可行解的目
标函数达不到最优值,即目标函数在可行域内可以趋于无穷大 (或者无穷小)。无最优解也称为有限最优解,或无界解。

判别方法:无最优解判别定理
在求解极大化的线性规划问题过程中,若某单纯形表的检验 行存在某个大于零的检验数,但是该检验数所对应的非基变量 的系数列向量的全部系数都为负数或零,则该线性规划问题 无最优解

单纯形法的进一步讨论
C C 0 0 Z XB X3 X4 B 1 2 0 2 x1 -1 -1/2 2 2 x2 1 1 2 0 x3 1 0 0 0 x4 0 1 0 θ

? -1 ? 因?1 = 2>0 但 P1 = ? 1 ? ? 0 所以原问题无最优解 ? ?- ? ? ? 2?

单纯形法的进一步讨论
退化
即计算出的 θ(用于确定换出变量)存在有两个以上相同的最小 比值,会造成下一次迭代中由一个或几个基变量等于零,这就是退 化(会产生退化解)。 为避免出现计算的循环,勃兰特(Bland)提出一个简便有效的规 则(摄动法原理): ⑴ 当存在多个? j ? 0 时,选下标最小的非基变量为换入变量; (2) 当θ值出现两个以上相同的最小值时,选下标最小的基变量为换 出变量。

单纯形法的进一步讨论
第一次迭代 中使用了摄动 法原理,选择 下标为6的基 变量x6离基。
C
CB 0 0 0 XB x5 x6 x7 Z b 0 0 1 0

3
x1 1 1 0 3

-80
x2 -32 -24 0 -80

2
x3 -4 -1 1 2

-24
x4 36 6 0 -24

0
x5 1 0 0 0

0
x6 0 1 1 0

0
x7 0 0 1 0

θ
0 0 -

可得最优解
X ? ?1,0,1,0,3?
? T

0
3 0 Z 0 3

x5
x1 x7

0
0 1 0

0
1 0 0 0 1

-8
-24 0 -8 -8 -24

-3
-1 1 5 0 0

30
6 0 -42 30 6

1
0 0 0 1 0

-1
1 1 -3 2 2

0
0 1 0 3 1

maxZ=5,

x5 x1

3 1

2
Z

x3

1
5

0
0

0
-8

1
0

0
-42

0
0

0
-6

1
-5

单纯形法的进一步讨论
无穷多最优解 若线性规划问题某个基本可行解所有的非基变量检验 数都小于等于零,但其中存在一个检验数等于零,那么该 线性规划问题有无穷多最优解。 例3:最优表: 非基变量检验 数 ?4 = 0 所以有无穷多 最优解。
C 1 2 0 0 0 θ 2/2 , 3/1 -

CB
0 2 1

XB
x3 x2 x1

b
2 3 2

x1
0 0 1

x2
0 1 0

x3
1 0 0

x4
2 1 -2

x5
-1 0 1

Z’

8

0

0

0

0

-1

单纯形法的进一步讨论
解的判别:
1)唯一最优解判别:最优表中所有非基变量的检验数非零, 则线性规划具有唯一最优解。

2)多重最优解判别:最优表中存在非基变量的检验数为零, 则线性规划具有多重最优解(或无穷多最优解)。
3)无界解判别:某个λk>0且aik≤0(i=1,2,…,m)则线性 规划具有无界解。 4)无可行解的判断:当用大 M单纯形法计算得到最优解并 且存在Ri>0时,则表明原线性规划无可行解。

5)退化解的判别:存在某个基变量为零的基本可行解。

单纯形法的进一步讨论
单纯性法小结:
建 立 模 型
求 解


两 个 图 解 法 、 单 纯 形 法


三个 以上 单 不 xj≥0


x j无 约束 令 x j = x j′ - xj″ xj′ ≥0 xj″ ≥0


xj ≤ 0


bi ≥0




bi < 0 ≤

等式或 不等式
= ≥

极大或极小
max Z min Z

新加变 量系数
xs xa

令 x j’ =




形 法




- xj




约束 条件 两端 同乘 以-1

加 松 弛 变 量 xs

加 入 人 工 变 量 xa







0

-M


xs 加 入 xa




z′=- Z
minZ =- max z′

线性规划模型的应用
一般而言,一个经济、管理问题凡是满足以下 条件时,才能建立线性规划模型。 要求解问题的目标函数能用数值指标来反映,且 为线性函数 存在着多种方案 要求达到的目标是在一定条件下实现的,这些约 束可用线性等式或不等式描述

线性规划模型的应用
建立线性规划模型的过程可以分为四个步骤: (1)设立决策变量; (2)明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等式表 示; (3)用决策变量的线性函数表示目标,并确定是求极大 (Max)还是极小(Min); (4)根据决策变量的物理性质研究变量是否有非负性。


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