当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学三角函数的图象与性质第3课时正弦函数、余弦函数的性质习题课课件新人教A版必修_图文

1 π 2.函数 y= sin(ωx+φ)(ω>0)的周期为 ,则 ω 的值 3 3 为 6 .

? 3.函数y=sin(2x+φ)为偶函数,0≤φ<2π,

则φ的值为或

.

? 4.函数y=2cos3x的单调增区间为,

.

5. (2010· 泰安市模拟)如果函数 y=2sin(2x+φ)的图象关
?π ? 于点?3,0?中心对称,那么|φ|的最小值为 ? ?

.

6.比较下列各组数的大小,用“<”或“>”填空: 3π 4π > (1)sin 5 sin 5 ; π< π (2)cos5 cos7.

? 重点:正弦函数、余弦函数的性质及应

用. ? 难点:正、余弦函数的周期性、单调性、 值域的应用.

1.y=sinx 是奇函数,y=cosx 是偶函数. ∵当 k
?kπ ? 为奇数时, sin ? 2 +ωx? = ± cosx(k = 4n + 1 ? ?

时取

“+”号,k=4n-1 时取“-”号,n∈Z)
?kπ ? cos ? 2 +ωx?=± sinx(k=4n+ 1 ? ?

时取“-”号, k=4n-1

时取“+”号,n∈Z) kπ ∴要使 y=sin(ωx+φ)为偶函数,只须 φ= (k 为奇数), 2 kπ 要使 y=cos(ωx+φ)为奇函数,只须 φ= (k 为奇数). 2

? 2 .正弦函数、余弦函数的图象都有无穷

多条对称轴,其相邻两条对称轴间距离为 半个周期,其对称轴一定经过图象的最高 点或最低点. ? 3 .解答三角函数的单调性问题一定要注 意复合函数的单调性法则,更要注意函数 的定义域. ? 求函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的 单调区间时,ω<0时,先利用诱导公式把x 的系数化为正数,然后把 ωx + φ 看作一个 整体t,考虑函数 y=Asint(或y=-Asint)的 单调区间利用复合函数单调性判定方法,

? 正弦曲线、余弦曲线的对称中心是正弦曲

线、余弦曲线与 x 轴的交点,即此时的正 弦值或余弦值为0. ? 4 .利用平方关系化为二次函数与利用正、 余弦函数的有界性是求三角函数值域与最 值的常用方法. ? 在求有关三角函数值域问题时,要注意变 量的取值范围.

[例 1]

求下列函数的最大值、 最小值及相应的 x 的值:

? π? (1)y=3-2sin?x+6?; ? ?

(2)y=acosx+b

(a≠0).

[分析]

y=sint,y=cost 的值域都是[-1,1],(1)中令 t

π =x+6可由 sint 的取值范围,求出 3-2sint 的取值范围.(2) 中由于 a 的符号未定,当 a>0 时,若 cosx 取最大(小)值,则 acosx 取最大(小)值,a<0 时恰好相反,故须分 a>0 与 a<0 讨 论.

[解析]

(1)令

? π? sin?x+6?=1, ? ?

π π 则 x+ =2kπ+ (k∈Z). 6 2 π ∴当 x=2kπ+3(k∈Z)时, y 最小值为 3-2=1. 令
? π? π π ? ? sin x+6 =-1,∴x+ =2kπ- (k∈Z), 6 2 ? ?

2 ∴当 x=2kπ-3π(k∈Z)时, y 有最大值,为 3+2=5.

? (2)①若a>0,
? 当 cosx = 1 ,即 x = 2kπ(k∈Z) 时, y 取最大

值为a+b; ? 当 cosx =- 1 ,即 x = 2kπ + π(k∈Z) 时, y 取 最小值为-a+b. ? ②若a<0, ? 当 cosx = 1 ,即 x = 2kπ(k∈Z) 时, ymin = a + b; ? 当 cosx=-1,即x= 2kπ+ π(k∈Z)时, ymax =-a+b.

[例 2]

nπ 若函数 f(n)=sin 6 (n∈Z),

则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(102)=________.

? [分析]

f(n)为正弦函数,函数值周期性变 化,故应先求其周期,根据周期简化计 算.

[解析]

?nπ ? (n+12)π nπ ? ? ∵sin 6 =sin 6 +2π =sin 6 ? ?

∴f(n)=f(n+12). 又∵f(1)+f(2)+f(3)+?+f(12)=0. 且 102=12×8+6. ∴f(1)+f(2)+f(3)+?+f(102) =f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=2+ 3.

方程

?5π ? ? 1? cos? 2 +x?=?2?x 在区间(0,100π)内解的个数是( ? ? ? ?

)

A.98

B.100

C.102

D.200

[答案] B

[解析]

分析解的个数问题,一般用图象法,原方程?- y=-sinx 和
?1? y=?2?x 的图 ? ?

?1? sinx=?2?x, 在同一坐标系中作出函数 ? ?

象,在作图时,要判断两曲线在(0,100π)内交点个数,应先在 一个周期内研究其交点个数,为 2 个,因此所求交点个数为 100π 2× =100(个)(如图).∴应选 B. 2π

[点评]

(1)一次(或二次)函数、指数函数、对数函数、三

x 角函数等,由其中两类得到的方程,如 sinx=2,lgx=cosx, x2-2x=2x 等,习惯上称作超越方程,这种方程我们没有研究 过解法,只在必修一中学过用二分法求近似解.超越方程解 的个数的讨论问题,一般用数形结合法探求. (2)含三角式的方程解的个数讨论,往往要考虑其周期性.

? [例3]

一机械振动中,某质点离开平衡位 置的位移 x(cm) 与时间 t(s) 之间的函数关系 如图所示: ? (1)求该函数的周期; ? (2) 求 t = 37.5s 时,该质点离开平衡位置的 位移.

[解析] 0.5=4(s).

(1)由函数图象可知,该函数的周期为 T=4.5-

(2)设 x=f(t),∴函数 f(t)的周期为 4. ∴f(37.5)=f(9×4+1.5)=f(1.5)=-3. 所以,t=37.5s 时,质点的位移为-3cm.

[例 4]

7 (1)求函数 y=-sin x+4sinx+4的值域;
2

3sinx+1 (2)求函数 y= 的值域. 3sinx+2

[解析]

(1)令 sinx=t,则|t|≤1.
2

7 23 2 y=-sin x+4sinx+4可化为 y=-(t-2) + 4 . ∵-1≤t≤1, 23 ∴y=-(t-2) + 4 在[-1,1]上单调增.
2

13 19 ∴t=-1 时,ymin=- 4 ;t=1 时,ymax= 4 .
? 13 19? 故函数的值域是?- 4 , 4 ?. ? ?

3sinx+1 1-2y (2)由 y= ,得 sinx= , 3sinx+2 3y-3
?1-2y? ? ∵|sinx|≤1,∴? ?3y-3?≤1, ? ?

4 解这个不等式得 y≤5或 y≥2.
? 4? 故函数的值域是?-∞,5?∪[2,+∞). ? ?

(1)若满足 cosx-sin2x=a 的实数 x 存在, 则实数 a 的取值 范围是________. (2)求下列函数的值域,并指出最值.
? ?π π ? π? ①y=2sin?x+3?,x∈?6,2?; ? ? ? ?

②y=2cos2x+5sinx-4.

[答案]
[分析]

5 (1)[-4,1] ?π π ? (2)①中由于 x∈?6,2?,而不是 x∈R,故讨论其
? ?

最值可借助于图象或利用单调性讨论.②中根据平方关系 sin2x+cos2x=1 可知此函数可视作以 sinx 为变量的二次函数, 故可用换元法结合 sinx 的有界性求解.

[解析]

(1)∵y=-sin2x+cosx=cos2x+cosx-1

12 5 =(cosx+2) -4, 1 5 ∵-1≤cosx≤1,∴当 cosx=-2时,ymin=-4, 5 当 cosx=1 时,ymax=1,∴-4≤y≤1, 故要使方程 cosx-sin2x=a 有实数解, 5 应有-4≤a≤1.

?π π ? π ?π 5π? (2)①∵x∈?6,2?,∴x+3∈?2, 6 ?, ? ? ? ?

∵y=sint

?π 5π? 在?2, 6 ?上单调递减, ? ?

? ? π ? ?1 ∴sin?x+3?∈?2,1?. ? ? ? ?

∴函数 1 ymin= . 2

? ?π π ? ?1 ? π? y=2sin?x+3?, x∈?6,2?的值域为?2,1?, ymax=1, ? ? ? ? ? ?

②令 t=sinx,则-1≤t≤1,∵cos2x=1-sin2x, ∴y=2cos2x+5sinx-4=-2sin2x+5sinx-2
? ? 5?2 9 5?2 9 =-2?sinx-4? +8=-2?t-4? +8, ? ? ? ?

∵ 函数

? 5? 2 9 y =- 2 ?t-4? + 8 在 [ - 1,1] 上单调递增, ∴ - ? ?

π 9≤y≤1,且当 t=-1 时,sinx=-1,x=-2+2kπ,k∈Z, ymin=-9;

π 当 t=1 时,sinx=1,x= +2kπ,k∈Z,ymax=1, 2 ∴y=2cos2x+5sinx-4 的值域为[-9,1],ymin=-9,ymax =1.

[例 5]

3 已知函数 y=a-bcosx 的最大值是2, 最小值是-

1 ,求函数 y=-4bsinax 的最大值、最小值及周期. 2

[错解]

∵cosx 的最大值为 1,最小值为-1,

1 ∴当 cosx=1 时,y=a-bcosx 取最小值 a-b=-2,当 3 cosx=-1 时,y=a-bcosx 取最大值 a+b=2, 1 ? ?a-b=-2 由? ?a+b=3 2 ? 1 ? ?a= ,解得? 2 , ? ?b=1

1 ∴函数 y=-4bsinax 化为 y=-4sin2x,该函数最大值为 4,最小值为-4,周期为 4π.

? [辨析]

∵b的符号未定,故-bcosx的最值不 仅与cosx有关,还与b的正负有关,因此应按 b>0与b<0讨论.

[正解]

∵-1≤cosx≤1,由题意知 b≠0.

当 b>0 时,-b≤bcosx≤b,∴a-b≤a-bcosx≤a+b. 3 ? ?a+b=2 ∴? ?a-b=-1 2 ? 1 ? ?a= ,解得? 2 , ? ?b=1

1 ∴y=-4bsinax=-4sin2x;

3 ? ?a-b=2 同理,当 b<0 时,可得:? ?a+b=-1 2 ? 1 综上可知,y=± 4sin x. 2

1 ? ?a= ,解得? 2 . ? ?b=-1

1 ∴函数 y=± 4sin2x 的最大值为 4,最小值为-4,周期为 4π.

一、选择题 1. 在(0,2π)内, 使 sinx>cosx 成立的 x 的取值范围为(
?π π ? ? 5π? A.?4,2?∪?π, 4 ? ? ? ? ? ?π 5π? C.?4, 4 ? ? ? ?π ? B.?4,π? ? ? ?π ? ?5π 3π? D.?4,π?∪? 4 , 2 ? ? ? ? ?

)

? [答案]

C

[解析]

在(0,2π)内作出函数 y=sinx 与 y=cosx 的图象,
?π 5π? x∈?4, 4 ?时,sinx>cosx,故选 ? ?

结合图象不难发现,当

C.

? 2.函数y=-x·cosx的部分图象是 ?(

)

? [答案]
[解析]

D
易知函数 y=-xcosx 的定义域为 R,

又 f(-x)=-(-x)· cos(-x)=xcosx=-f(x), 所以 f(x)=-xcosx 是奇函数.所以排除 A,C, 又当
? π? x∈?0,2?时,y=-xcosx<0, ? ?

所以排除 B.故选 D.

? 3.函数y=sinx+|sinx|的值域为( ? A.[-2,2] ? ?2sinx [解析] y=? ?0 ? C.[-2,1] ? ? [答案]

)

B . [0,2] sin x≥ 0 ,易得 0≤y≤2. sin x<0 D . [-1,1]

B

二、填空题 nπ 4.已知 f(n)=cos 4 ,(n∈Z),则 f(1)+f(2)+?+f(100) =________.

? [答案]

-1

[解析]

nπ ∵f(n)=cos 4 的周期 T=8.

又∵f(1)+f(2)+?+f(8)=0 ∴f(1)+f(2)+?+f(100) =f(1)+f(2)+f(3)+f(4) π 2π 3π 4π =cos +cos +cos +cos =-1. 4 4 4 4

5 . 函 数 f(x) = 3cos(x + φ)(0<φ<π) 的 一 个 对 称 中 心 为
?4π ? ? ,0?,则函数 ?3 ?

f(x)的单调减区间为____________.

[答案]

? π 5π? ?2kπ- ,2kπ+ ?,n∈Z 6 6? ?

[解析]

?4π ? ∵f(x)的一个对称中心为? 3 ,0?, ? ?

?4π ? 4π π ∴3cos? 3 +φ?=0,∴ 3 +φ=kπ+2,k∈Z, ? ?

π ∵0<φ<π,∴φ= . 6 π π 5π 由 2kπ≤x+ ≤2kπ+π 得,2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 6 6 6


相关文章:
高中数学三角函数的图象与性质第3课时正弦函数、余弦函....ppt
高中数学三角函数的图象与性质第3课时正弦函数余弦函数的性质习题课课件新人教A版必修 - 1 π 2.函数 y= sin(ωx+φ)(ω>0)的周期为 ,则ω 的值 3 ...
...课件1.4.3《正弦函数、余弦函数的性质》(第3课时)_....ppt
高中数学课件(金戈铁骑 整理制作) 1.4.1正弦函数的图象 与性质第三课时 本节课继续研究三角函数的性质时,充分借 助正弦曲线,注意数形结合思想方法的运用. 要注意...
高中数学第一章三角函数习题课三角函数的图象与性质课....ppt
高中数学第一章三角函数习题课三角函数的图象与性质课件新人教必修411040289 - 习题课 三角函数的图象与性质 目标定位 1.借助图象理解正弦函数余弦函数在[0,2π]...
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.1....ppt
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数余弦函数的图像习题课件新人教A版必修4 - 1.4 三角函数的图像与性质 1.4.1 正弦函数余弦函数的...
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.1....ppt
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数余弦函数的图像习题课件新人教A必修4 - 1.4 三角函数的图像与性质 1.4.1 正弦函数余弦函数的...
高中数学三角函数第4节第2课时正弦函数余弦函数的性质....ppt
高中数学三角函数第4节第2课时正弦函数余弦函数的性质课件新人教A版_数学_高中...(2)正、余弦函数的性质 函数名称图象与性质 图象 定义域 值域 周期性 R [-...
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.1....ppt
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数余弦函数的图象课件新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 ...
高中数学第一章三角函数习题课三角函数的图象与性质课....ppt
高中数学第一章三角函数习题课三角函数的图象与性质课件新人教版必修4 - 习题课 三角函数的图象与性质 目标定位 1.借助图象理解正弦函数余弦函数在[0,2π],正...
高中数学 1.4.1 正弦函数、余弦函数的性质(第1课时)课....ppt
高中数学 1.4.1 正弦函数余弦函数的性质(第1课时)课件 新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。高中数学,课件 1.4.1正弦函数的图象 与性质第课时 本节课...
高中数学三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2第1课时....ppt
高中数学三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2第1课时正弦余弦函数的周期性与奇偶性课件新人教A版 - 学习目标:1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求...
高中数学1.4.2第1课时正弦函数、余弦函数的性质(一)课....ppt
高中数学1.4.2第1课时正弦函数余弦函数的性质(一)课件新人教A必修4_教学案例/设计_教学研究_教育专区。第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 ...
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2.....ppt
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2.2正弦函数、余弦函数的性质课件新人教A版必修4 - 第2课时 正弦函数余弦函数的性质 1.掌握y=sin x,y=...
高中数学1.4三角函数的图象与性质1.4.2第1课时正弦余弦....ppt
高中数学1.4三角函数的图象与性质1.4.2第1课时正弦余弦函数的周期性与奇偶性课件新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与...
新高中数学第一章三角函数1-4三角函数的图象与性质1-4-....doc
高中数学第一章三角函数1-4三角函数的图象与性质1-4-2正弦函数余弦函数的性质第1课时问题导学案新人教A版_数学_高中教育_教育专区。新高中数学第一章三角函数...
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.1....ppt
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数余弦函数的图象课件新人教a必修4 (1) - 【课标要求】 1.了解正弦函数余弦函数的图象. 2.会...
高中数学 1.4.4 正弦函数、余弦函数的性质(第4课时)课....ppt
高中数学 1.4.4 正弦函数余弦函数的性质(第4课时)课件 新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。高中数学,课件 1.4.1正弦函数的图象 与性质第课时 本节课...
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.1....ppt
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数余弦函数的图象课件新人教a必修4 - 1.4.1 正弦函数余弦函数的图象 1.了解利用正弦线作正弦函数...
...A版必修4课件:1.4.1《正弦函数、余弦函数的性质》(....ppt
2015-2016学年高中数学人教A版必修4课件:1.4.1《正弦函数余弦函数的性质》(第1课_数学_高中教育_教育专区。1.4.1正弦函数的图象 与性质第课时 本节课利用...
高中数学 第一章正弦函数、余弦函数的性质第1课时正、....ppt
高中数学 第一章正弦函数余弦函数的性质第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性课件 新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。第一章 三角函数 1.4 三角函数的...
高中数学 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)课....ppt
高中数学 1.4.2 正弦函数余弦函数的性质(第2课时)课件 新人教A版必修4 - 1.4.1正弦函数的图象 与性质 第课时 本节课是在必修一学习的内容的基础上研究...