当前位置:首页 >> 数学 >>

1.3.3函数的最大(小)值与导数2_图文

函数的最大(小) 值与导数

一、复习旧知 一、函数单调性与导数关系
设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导,
f(x)为增函数 f(x)为减函数 y
y=f(x) f '(x)>0

y
y=f(x)

f '(x)<0

o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x)为常数.

二、函数的极值定义 一、复习旧知
y y

使函数取得极值的 点x0称为极值点

o

x0

x

o

x0

x

设函数f(x)在点x0附近有定义, ?如果对X0附近的所有点,都有f(x)<f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值, 记作y极大值= f(x0); ?如果对X0附近的所有点,都有f(x)>f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值= f(x0); ◆函数的极大值与极小值统称 为极值.

求函数极值(极大值,极小值)的一般步骤: (1)确定函数的定义域

(2)求方程f’(x)=0的根
(3)用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成 若干个开区间,并列成表格 (4)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号,来判断 f(x)在这个根处取极值的情况

求定义域—求导—求极值点—列表—求极值

新课引入
极值是一个局部概念,极值只是某个点的函 数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并 不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

在社会生活实践中,为了发挥最大的经济效益, 常常遇到如何能使用料最省、产量最高,效益最 大等问题,这些问题的解决常常可转化为求一个 函数的最大值和最小值问题
函数在什么条件下一定有最大、最小值?他们 与函数极值关系如何?

知识回顾
1.最大值:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数 M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M 那么,称M是函数y=f(x)的最大值

2.最小值: 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实 数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M

那么,称M是函数y=f(x)的最小值

观察下列图形,你能找出函数的最值吗?

x ? ( a, b) 在开区间内 的连续函数 不一定有最 大值与最小 值.
在闭区间 x ? [a, b] 上的连续函 数必有最大 值与最小值

y

因此:该函数没 有最值。 y=f(x)

a

x1 x2 x3

o

x4 x5

x6

b

x

y f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)
y=f(x)

a

x1 x2 x3

o

x4 x5

x6

b

x

二、新课引入

如何求出函数在[a,b]上的最值?
y
y=f(x)

a

x1 x2 x3

o

x4 x5

x6

b

x

一般的如果在区间,[a,b]上函数y=f(x) 的图象是一条连续不断的曲线,那么它 必有最大值和最小值。

二、新课引入
观察右边一个定义在 区间[a,b]上的函数 y=f(x)的图象:
a x1 o

y

y=f(x)

X2

X3

b

x

f(x2) f(x1)、f(x3) 是极小值,_________ 发现图中____________ 是极 f(b) ,最小值 大值,在区间上的函数的最大值是______ f(x3) 。 是_______
问题在于如果在没有给出函数图象的情况下,怎 样才能判断出f(x3)是最小值,而f(b)是最大值呢?

二、新课引入

求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤: (1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值);
(2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的 一个最小值.

注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一
2.最大值一定比最小值大.

求函数的最值时,应注意以下几点:
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念, 而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论 问题,是一个整体性的概念. (2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的 可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是 函数的最值. (3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而 函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值 (极小值)不一定就是最大值(最小值).

有两个极值点时,函数有无最值情况不定。

例1:求函数f ( x) ? 6 ? 12 x ? x 在? ?3, 3? 上的最大值与最小值.
3

题型:求函数的最大值和最小值
x ? ? ?3,3?

解:f ' ? x ? ? 12 ? 3x 2

令f ' ? x ? ? 0, 解得:x ? 2或x ? ?2
1、求出所有导数为0的点;

又f (2) ? 22,f (?2) ? ?10,f (3) ? 15, f (?3) ? ?3
?函数f ( x) ? 6 ? 12 x ? x 3在 ? ?3, 3? 上的 最大值为22,最小值为 ? 10.
3、比较确定最值。 2、计算;

※典型例题
例题2:已知函数f ( x) ? 2 x 3 ? 6 x 2 ? a在 ? ?2, 2 ? 上有最小值 ? 37

?1? 求实数a的值;

2 ? 上的最大值。 ? 2 ? 求f ( x)在 ? ?2,

解:(1)f ?( x) ? 6 x 2 ? 12 x

令f ?( x) ? 0解得x ? 0或x ? 2

又f (?2) ? ?40 ? a,

f (0) ? a,

f (2) ? ?8 ? a

由已知得 ? 40 ? a ? ?37解得a ? 3

(2)由(1)知f ( x)在 ? ?2, 2?的最大值为3.
反思:本题属于逆向探究题型: 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大 小上,从而解决问题,往往伴随有分类讨论。

补充练习: 1.下列说法正确的是( ) (A)函数的极大值就是函数的最大值 (B)函数的极小值就是函数的最小值 (C)函数的最值一定是极值 (D)若函数的最值在区间内部取得,则一定是极值. 2.函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f ?( x ) ( ) (A)等于 0 (B)大于 0 (C)小于 0 (D)以上都有可能

D

A

3.函数y=x3-3x2,在[-2,4]上的最大值为( (A) -4 (B) 0 (C) 16 (D) 20

C)

应用

( 2009年天津(文)21T )

m ? 0.

1 3 2 2 ? ? f x ? ? x ? x ? m ? 1 x?x ? R ?, 其中 设函数 3

?

?

(1)当 m ? 1时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线的斜率; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间与极值。

1 ? m ?, ?1 ? m,?? ?内是 答:(1)斜率为1; (2) f ?x ?在?? ?,

减函数,在?1 ? m,1 ? m ?内是增函数.
f ?x ?极大 2 3 1 2 ? m ?m ? 3 3

f ?x ?极小

2 3 1 2 ?? m ?m ? ; 3 3

(04浙江文21)(本题满分12分) 2 f ( x ) ? ( x ? 4)( x ? a ) 已知a为实数, (Ⅰ)求导数 f ?( x ) ;

f '( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4

(Ⅱ)若 f ?( ?1) ? 0 ,求 f ( x ) 在[-2,2]上的 最大值和最小值; (Ⅲ)若 f ( x ) 在( -∞, -2] 和 [2 ,+∞)上 都是递增的,求a的取值范围。

1 9 4 50 a? f max ? f (?1) ? , f min ? f ( ) ? ? 2 2 3 27 f '( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4 ? 0两个根在[ ? 2, 2]

?2? a ? 2

小结:
求函数最值的一般方法

一.是利用函数性质
二.是利用不等式 三.是利用导数

练习:函数 y = x? + 3 x? -9x在 [-4 , 4 ]上的最大值 为 76 ,最小值为 -5 . 分析: (1) 由 f ?(x)=3x? +6x-9=0, 得x1=-3,x2=1 函数值为f (-3)=27, f (1)=-5 (2) 区间[-4 , 4 ]端点处的函数值为 f (-4) =20 , f (4) =76 当x变化时,y′ 、 y的变化情况如下表: x y′ y -4 20 (-4,-3) + -3 0 (-3,1) 1 (1,4) 0 + 4 0 76

27

-5

比较以上各函数值,可知函数在[-4 , 4 ]上的最大 值为 f (4) =76,最小值为 f (1)=-5


相关文章:
1.3.3函数的最大(小)值与导数 第2课时 课件_图文.ppt
1.3.3函数的最大(小)值与导数 第2课时 课件_数学_高中教育_教育专区。1
1.3.3函数的最大(小)值与导数_图文.ppt
1.3.3函数的最大(小)值与导数 - 学案变式2: 下图是导函数 y y ?
1.3.3 函数的最大(小)值与导数 课件(人教A版选修2-2)_图文.ppt
1.3.3 函数的最大(小)值与导数 探究点 函数的最大(小)值与导数 极值是一个局部概念,极值只是某个点的函数值 与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不...
高中数学1.3.3第1课时函数的最大(小)值与导数课件新人....ppt
高中数学1.3.3第1课时函数的最大(小)值与导数课件新人教A选修22 - 成才
(新课程)高中数学《1.3.3函数的最大(小)值与导数》课件....ppt
(新课程)高中数学《1.3.3函数的最大(小)值与导数》课件2 新人教A版选修2
高中数学1.3.3函数的最大(小)值与导数课件新人教A选修2....ppt
高中数学1.3.3函数的最大(小)值与导数课件新人教A选修22 - 成才之路
1.3.3函数的最大(小)值与导数(1)_图文.ppt
1.3.3函数的最大(小)值与导数(1) - 3.3.3函数的最大(小)值与导数
高中数学 1.3.3第1课时 函数的最大(小)值与导数课件 新....ppt
高中数学 1.3.3第1课时 函数的最大(小)值与导数课件 新人教A版选修2-2
1.3.3 函数的最大(小)值与导数_图文.ppt
1.3.3 函数的最大(小)值与导数_高二数学_数学_高中教育_教育专区。函数的
...第一章导数及其应用1.3.3函数的最大(小)值与导数课....ppt
导数及其应用 1.3.3 函数的最值与导数 学习目标 1.能够区分极值与最值两个不同的概念. 2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一 般不超过三...
1.3.3函数的最大(小)值与导数概述_图文.ppt
1.3.3函数的最大(小)值与导数概述 - 1.3.3 函数的最大(小)值与导数 1 1. 函数极值的定义 一般的,设函数f(x)在点x0附近有定义, ?若对X0附近的...
高中数学专题1.3.3函数的最大(小)值与导数测试(含解析)2_2.doc
高中数学专题1.3.3函数的最大(小)值与导数测试(含解析)2_2 - 。。 内
...2课件1.3.3函数的最大(小)值与导数课件_图文.ppt
人教A版高中数学选修2-2课件1.3.3函数的最大(小)值与导数课件 - 第一章导数及其应用 1.3.3函数的最大(小)值与导数 复习与引入 1.当函数f(x)在x0处...
1.3.3函数的最大(小)值与导数1_图文.ppt
1.3.3函数的最大(小)值与导数1 - 复习一、函数单调性与导数关系 设函数y
#高中数学选修(1-1)3.3.3函数的最大(小)值与导数_图文.ppt
3.3.3 函数的最大(小)值与导数 1 2 理解函数的最大值、最小值的概念,了解函数的极值与 最值的区别与联系,会用导数求在给定区间上不超过三次的 多项式...
选修1-1 3.3.3 函数的最大(小)值与导数2_图文.ppt
选修1-1 3.3.3 函数的最大(小)值与导数2_高二数学_数学_高中教育_教育专区。3.3.3 函数的最大(小)值与导数 第二课时 1.借助函数图象,直观地理解函数...
高中人教A版数学选修2-2课件1.3.3 函数的最大(小)值与导数_图文_....ppt
1.3.3 函数的最大(小)值与导数 首页 课前预习案 课堂探究案 2.函数在闭区间[a,b]上最值的求法 一般地,求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值...
1.3.3-函数的最大(小)值与导数 (1)_图文.ppt
1.3.3 函数的最大(小)值与导数 ? 【课标要求】 ? 1.能够区分极值与最值两个不同的概念. ? 2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中 多项式函数一般...
选修2-2《1.3.3函数的最大(小)值与导数》(上课)_图文.ppt
选修2-2《1.3.3函数的最大(小)值与导数》(上课) - 第十一节 导数的应
【数学】1.3.3 函数的最大(小)值与导数 课件(人教A版选....ppt
【数学】1.3.3 函数的最大(小)值与导数 课件(人教A版选修2-2)_高二数