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高三数学总复习


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09 级高三数学总复习讲义——逻辑与关联词 一、 知识清单: 1.常用逻辑用语 (1)命题 命题:可以判断真假的语句叫命题; 逻辑联结词:“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词;简单命题:不含逻辑联结词的命 题。复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题。 常用小写的拉丁字母 p,q,r,s,??表示命题,故复合命题有三种形式:p 或 q;p 且 q;非 p。 (2)复合命题的真值 “非 p”形式复合命题的真假可以用下表表示: 非p p 真 假 假 真 “p 且 q”形式复合命题的真假可以用下表表示: p且q p q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 “p 且 q”形式复合命题的真假可以用下表表示: P或q p q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 注: 1°像上面表示命题真假的表叫真值表; 2°由真值表得:“非 p”形式复合命题的真假与 p 的真假相反;“p 且 q”形式复合命题当 p 与 q 同为真时为真,其他情况为假;“p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假,其他情 况为真; 3°真值表是根据简单命题的真假,判断由这些简单命题构成的复合命题的真假,而不涉及简 单命题的具体内容。 (3)四种命题 如果第一个命题的条件是第二个命题的结论, 且第一个命题的结论是第二个命题的条件, 那么 这两个命题叫做互为逆命题; 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定,那么这两个命题叫做互否命 题,这个命题叫做原命题的否命题; 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定, 那么这两个命题叫做互为 逆否命题,这个命题叫做原命题的逆否命题。 两个互为逆否命题的真假是相同的,即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假 较困难时,可转化为判断其逆否命题的真假。 (4)条件 一般地,如果已知 p?q,那么就说:p 是 q 的充分条件;q 是 p 的必要条件。 可分为四类:

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(1)充分不必要条件,即 p?q,而 q ?p; (2)必要不充分条件,即 p ? q,而 q?p; (3)既充分又必要条件,即 p?q,又有 q?p; (4)既不充分也不必要条件,即 p ? q,又有 q ? p。 一般地,如果既有 p?q,又有 q?p,就记作:p ? q.“ ? ”叫做等价符号。p ? q 表示 p?q 且 q?p。 这时 p 既是 q 的充分条件,又是 q 的必要条件,则 p 是 q 的充分必要条件,简称充要条件。 (5)全称命题与特称命题 这里, 短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体, 逻辑中通常叫做全称量词, 并用符号 ? 表示。 含有全体量词的命题,叫做全称命题。 短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,逻辑中通常叫做 存在量词,并用符号 ? 表示,含有存在量词的命题,叫做存在性命题。 课前练习 1 写出命题:“若 x + y = 5 则 x = 3 且 y = 2”的逆命题否命题逆否命题,并判断它们的真假。 2:“若 a ? b ? 5,则a ? 2或b ? 3 ” 是____命题.(填真、假) 3 命题“若 ab=0,则 a、b 中至少有一个为零”的逆否命题为____________。 4:用反证法证明:已知 x、y∈R,x+y≥2,求 证 x、y 中至少有一个不小于 1。 5 已知 c ? 0. 设 P:函数 y ? c x 在 R 上单调递减. Q :不等式 x? | x ? 2c |? 1的 解集为 R,如果 P 和 Q 有且仅有一个正确,求 c 的取值范围. 6: x ? 5 ____ x ? 5或x ? 2 .(填 ?, ? ,?) 7:条件甲: x ? 1且y ? 2 ;条件乙: x ? y ? 3 , 则乙是甲的_____条件. 8“α≠β”是 cosα≠cosβ”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 9 已知 p:方程 x2+ax+b=0 有且仅有整数解,q:a,b 是整数,则 p 是 q 的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 10.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把 500 名使用血清的人与另外 500 名未 用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设 H 0 :“这种血清不能起到预防感冒的作用”,
2 利用 2 ? 2 列联表计算得 K 2 ? 3.918 ,经查对临界值表知 P( K ? 3.841) ? 0.05 .

对此,四名同学做出了以下的判断:

p:有 95% 的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用” q:若某人未使用该血清,那么他在一年中有 95% 的可能性得感冒 r:这种血清预防感冒的有效率为 95%

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s:这种血清预防感冒的有效率为 5%
则下列结论中,正确结论的序号是 (1) p∧﹁q ; (3)(﹁p∧﹁q)∧(r∨s); .(把你认为正确的命题序号都填上) (2)﹁p∧q ; (4)(p∨﹁r)∧(﹁q∨s)

11.(重庆卷 2)设 m,n 是整数,则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的 A (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 )

12、(重庆理 2)命题“若 x 2 ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是( A.若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 或 x ? ?1 C.若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1 B.若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x 2 ? 1 D.若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1

13、(重庆文 5)“-1<x<1”是“x2<1”的 (A)充分必要条件 (B)充分但不必要条件 (C)必要但不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
5 1 14、 (辽宁理 10) 设 p, q 是两个命题:p : log 1 (| x | ?3) ? 0,q : x 2 ? x ? ? 0 , 则 p 是q 的 ( 6 6 2



A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

5 1 15、(辽宁文 11)设 p, q 是两个命题: p :| x | ?3 ? 0,q : x 2 ? x ? ? 0 ,则 p 是 q 的( 6 6 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 典型例题:

例 1.写出由下述各命题构成的“p 或 q”,“p 且 q”,“非 p”形式的复合命题,并指出所 构成的这些复合命题的真假。 (1)p:9 是 144 的约数,q:9 是 225 的约数。 (2)p:方程 x2-1=0 的解是 x=1,q:方程 x2-1=0 的解是 x=-1; (3)p:实数的平方是正数,q:实数的平方是 0. 例 2. (1) (2005 北京 2) “m ? 相互垂直”的( ) A.充分必要条件 C.必要而不充分条件
1 ” 是 “直线 (m ? 2) x ? 3my ? 1 ? 0与直线(m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 3 ? 0 2

B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

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(2)(2005 湖南 6)设集合 A={x| ≠ ”的( )

x ?1 <0 } ,B={x || x -1|<a } ,若“a=1”是“A∩B x ?1

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

例 3. (1)(2005 江苏 13)命题“若 a>b,则 2a>2b-1”的否命题为 (2)判断命题:“若 x 2 ? x ? m ? 0 没有实根,则 m ? 0 ”的真假性。 例 4.命题 p:“有些三角形是等腰三角形”,则┐p 是( A.有些三角形不是等腰三角形 B.所有三角形是等腰三角形 C.所有三角形不是等腰三角形 D.所有三角形是等腰三角形 实战演练: )



1、(07 天津文 3) “ a ? 2 ”是“直线 ax ? 2 y ? 0 平行于直线 x ? y ? 1 ”的(



A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2、(07 山东理 7) 命题“对任意的 x ? R , x3 ? x 2 ? 1 ? 0 ”的否定是 (A)不存在 x ? R , x3 ? x 2 ? 1 ? 0 (B)存在 x ? R , x3 ? x 2 ? 1 ? 0 (C)存在 x ? R , x3 ? x 2 ? 1 ? 0 (D)对任意的 x ? R , x3 ? x 2 ? 1 ? 0

3、(07 山东理 9)下列各小题中, p 是 q 的充要条件的是 (1) p : m ? ?2 或 m ? 6 ; q : y ? x2 ? mx ? m ? 3 有两个不同的零点。 (2) p :
f (? x) ? 1; f ( x)
q : y? f( x ) 是偶函数。

(3) p : cos ? ? cos ? ; (4) p : A ? B ? A;

q : t a? n?

t? an 。

q : CU B ? CU A 。
(D) (1), (4)

(A) (1), (2) (B) (2), (3) (C) (3), (4)

4、(07 福建文 4)“|x|<2”是“x2-x-6<0”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5、(湖南理 3)设 M ,N 是两个集合,则“ M A.充分不必要条件 C.充分必要条件
N ? ? ”是“ M N ? ? ”的(



B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

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6、(07 湖南文 3) 设 p : b2 ? 4ac ? 0 ? a ? 0? , q : 关于x的方程ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 有实根,则
p 是 q 的(

) B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件 4 7、(07 江西文 10)设 p : f ( x) ? x3 ? 2x2 ? mx ?1 在 (??, ? ?) 内单调递增, q : m ≥ , 3 则 p 是 q 的( ) B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2 an ?1 ,则称 {an } 为“等方比数列” .甲: ? p ( p 为正常数, n ? N? ) 2 an

A.充分不必要条件

A.充分不必要条件

8、 (07 湖北理 6)若数列 {an } 满足

数列 {an } 是等方比数列;乙:数列 {an } 是等比数列,则(



A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 9、(07 海、宁理 1 文 2)已知命题 p : ?x ? R , sin x ≤1,则( A. ?p : ?x ? R , sin x ≥1 B. ?p : ?x ? R , sin x ≥1 C. ?p : ?x ? R , sin x ? 1 D. ?p : ?x ? R , sin x ? 1 )

10、(07 湖北文 10)已知 p 是 r 的充分条件而不是必要条件,q 是 r 的充分条件,s 是 r 的必要 条件,q 是 s 的必要条件,现有下列命题: ①r 是 q 的充要条件; ②p 是 q 的充分条件而不是必要条件; ③r 是 q 的必要条件而不是充分条件; ④┐p 是┑s 的必要条件而不是充分条件; ⑤r 是 s 的充分条件而不是必要条件. 则正确命题的序号是 A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D.②④⑤ 11、(07 浙江理 1 文 3)“ x ? 1 ”是“ x 2 ? x ”的( 实战训练 B 1.(08)原命题:“设 a、b、c ? R, 若a ? b, 则ac2 >bc 2 ”以及它的逆命题,否命题、逆否命 题中,真命题共有( A、0 )个. B、1 C、2 ) D、4 )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

2.(08)已知命题 p : ?x ? R , 2 x ? 0 ,则( A. ?p : ?x ? R , 2 x ? 0

B. ?p : ?x ? R , 2 x ? 0

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C. ?p : ?x ? R , 2 x ≤ 0

D. ?p : ?x ? R , 2 x ≤ 0

3.(08)命题“ ?x0 ? R , x3 ? x 2 ? 1 ? 0 ”的否定是 A. ?x ? R , x3 ? x2 ? 1≤ 0 C. ?x0 ? R , x3 ? x 2 ? 1 ? 0 B. ?x0 ? R , x3 ? x 2 ? 1 ? 0 D.不存在 x ? R , x3 ? x 2 ? 1 ? 0 ( )

4.(08)已知命题 p: " x ? R,cosx≤1,则 A. ?p : ?x ? R, cos x ? 1 C. ?p : ?x ? R, cos x ? 1

B. ?p : " x∈ R,cos x≥1 D. ?p : " x∈ R,cos x>1 )

5.(08)已知命题“若 p 则 q ”为真,则下列命题中一定为真的是( A.若 ?p 则 ?q B.若 ?q 则 ?p C.若 q 则 p 6.(08 福建)设集合 A={x| A.充分而不必要条件 C.充要条件 D.若 ?q 则 p

x <0 },B={x|0<x<3=,那么“m ? A”是“m ? B”的 x ?1

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7.(08 广东)已知命题 p : 所有有理数都是实数,命题 q : 正数的对数都是负数,则下列命题中 为真命题的是( ) A. (?p) ? q B. p ? q C. (?p) ? (?q) D. (?p) ? (?q)

8.(06 天津)设集合 M ? {x | 0 ? x ? 3} , N ? {x | 0 ? x ? 2} ,那么“ a ? M ”是“ a ? N ”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必 要条件 9.(06 年湖北卷)有限集合 S 中元素个数记作 card ?S ? ,设 A 、 B 都为有限集合,给出下列 命题: ① A ? B ? ? 的充要条件是 card ? A ? B? = card ? A? + card ?B ? ; ② A ? B 的必要条件是 card ? A? ? card ?B ? ; ③ A ? B 的充分条件是 card ? A? ? card ?B ? ; ④ A ? B 的充要条件是 card ? A? ? card ?B ? . 其中真命题的序号是 ( ) A. ③、④ B. ①、② C. ①、④ D. ②、③ 10.(08)若“p 且 q”与“ ?p或q ”均为假命题,则 A.p 真 q 假 B.p 假 q 真 C.p 与 q 均真 ( D.p 与 q 均假 )

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11.(08)已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数,且满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,则“ f ( x) 为偶函数” 是“2 为函数 f ( x) 的一个周期”的 ( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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