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北师大版必修2高中数学第一章立体几何初步章末小结与测评课件_图文

第一章 立体几何初步 1.空间几何体的结构及其三视图和直观图 空间几何体是研究空间线、面、体的几何载体,正确理 解几何体的概念,掌握几何体的特征是解题成功的关 键.对三视图的考查,高考中不可能去画三视图或画几 何体,但观察三视图,想象几何体是可能的,这类题目 只要把握三视图和几何体之间的关系是不难解决的. 2.平行关系 (1)判定线线平行的方法: ①利用线线平行的定义证明共面而且无公共点(结合反证 法); ②利用平行公理4; ③利用线面平行性质定理; 4.集合中元素的性质 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. ④利用线面垂直的性质定理(若a⊥α,b⊥α,则a∥b); ⑤利用面面平行的性质定理(若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b, 则a∥b); ⑥利用平行四边形的性质,三角形、梯形中位线,线段 对应成比例等. 4.集合中元素的性质 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. 3.平行关系相互转化的示意图 4.垂直关系 (1)证明线面垂直的主要方法有: ①利用线面垂直的定义; ②利用判定定理: m,n α,m∩n4= A,l⊥m,l⊥n?l⊥α; .集合中元素的性质 ③利用面面平行的性质定理: α∥β,a⊥α?a⊥β; ④利用面面垂直的性质定理: α⊥β,α∩β=l,a 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. α,a⊥l?a⊥β; ⑤利用线面垂直判定定理的推论: a∥b,a⊥α?b⊥α. (2)证明面面垂直的方法就是利用判定定理先转化为证明线 面垂直. (3)直线和平面垂直、平面和平面垂直是直线和平面相交、 平面和平面相交的特殊情况.对这种情况的认识,既可以 从直线和平面、平面和平面的夹角为90°来讨论,又可以从 已有的线线垂直、线面垂直关系出发进行推理和论证.无 论是线面垂直还是面面垂直,都源于线线垂直,这种“降 4.集合中元素的性质 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. 维”的思想方法很重要.在处理实际问题时,可以从条件 入手,分析已有的垂直关系,再从结论“反探”所需的关 系,从而架设已知和未知的桥梁.如图是垂直相互转化的 示意图. 5.空间几何体的表面积和体积 对于规则几何体的表面积和体积问题,可以直接利用公式进 行求解.在求解时首先判断几何体的形状及其结构特征,确 定几何体的基本量,然后合理选择公式求解.常考查的几何 体有长方体、直四棱柱、正棱锥、圆柱、圆锥、球等,多与 几何体的三视图相结合,需要利用三视图确定几何体的形状 和基本量. 4.集合中元素的性质 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. [典例 1] (辽宁高考)一个几何体的三视图如图所示, 则该 几何体的体积为________. [借题发挥] 由三视图求几何体的表面积与体积的综合题, 是新课标高考题的一个热点,解这类题往往由三视图想象 原貌,考察其结构特征及其组合状况,再根据三视图中所 标基本量,利用面积、体积公式计算结果. 对点训练 1.一个棱锥的三视图如图,求该棱锥的表面积(单位:cm2). [典例2] 如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形, AB=2EF,EF∥AB,H为BC的中点,求证:FH∥平面EDB. [借题发挥] 在解决线面、面面平行问题时,一般遵循从“低 维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”, 再到“面面平行”,而利用性质定理时,其顺序相反,且“高 维”的性质定理就是“低维”的判定定理.特别注意,转化的 方法总是由具体题目的条件决定,不能过于呆板僵化,遵循规 律而不受制于规律. [对点训练] 2.如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面是正方 形,E,F,G分别是棱B1B、D1D、DA的中点.求证:平面 AD1E∥平面BGF. [典例3] 如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方 形,SA⊥平面ABCD,且SA=AB,点E是AB的中点,点 F是SC的中点. [借题发挥] 要证两平面垂直,最常用的办法是用判定定 理.证一个平面内的一条直线垂直于另一平面,而线垂直面的 证明关键在于找到面内有两条相交直线垂直已知直线.要善于 运用题目给出的信息,通过计算挖掘题目的垂直与平行关系, 这是一种非常重要的思想方法,它可以使复杂问题简单化. [对点训练] 3.如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与 底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°, N是PB中点,过A,D,N三点的平面交PC于M,E为AD的中 点.求证:(1)EN∥平面PDC; (2)BC⊥平面PEB; (3)平面PBC⊥平面ADMN. [典例 4] 正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6,内 有一个球与它的四个面都相切(如图).求: (1)棱锥的表面积; (2)内切球的表面积与体积. [解] 1 (1) 底面正三角形内中心到一边的距离为 3 3 × ×2 6= 2, 2 则正棱锥侧面的斜高为 12+? 2?2= 3. 1 ∴S 侧=3× ×2 6× 3=9 2. 2 1 3 ∴S 表=S 侧+S 底=9 2+ · (2 6)2=9 2+6 3. 2 2 [借题发挥] 1.对于规则几何体的表面积和体积问题,可以 直接利用公式进行求解.在求解时首先判断几何体的形状 及其结构特征,确定几何体的基本量,然后合理选择公式 求解.常考查的几何体有长方体、直四棱柱、正棱锥、圆 柱、圆锥、球等,多与几何体的三视图相结合,需要利用 三视图确定几何体的形状和基本量. 2.组合体的表面积与体积,分割转化成柱、锥、台、球的 表面积与体积. [对点训练] 4.已知△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5.以AB 所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的表面 积和体积. 解:如图在△ABC 中,过 C 作 CD⊥AB, 垂足为 D.

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