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6 陕西省宝鸡市2014届高三第一次质量检测理科数学


2014 年陕西省宝鸡市高三数学质量检测(一) 数学(理科)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 15 考题为三选 一,其它题为必考题,考生作答时,将答案写在答题卡上,在本试卷上答题无效.本试卷满 分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号; 选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字 9 笔或碳素笔书写,字体:工整、笔迹清楚, 将答案书写在答题卡规定的位置上. 3.所有题目必须在答题卡上作答,在试卷上答题无效。 第Ⅰ卷 (选择题共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. 1.满足 i3 ? z ? 1 ? 3i 的复数 z 是( A . ?3?i 答案 D 解析 由 i ? z ? 1 ? 3i 得 z ? (1 ? 3i)i ? 3 ? i .
3

) C.

B.

?3?i

3?i

D.

3?i

2.设 a , b 为向量,则 " a ? b ? a b " 是 a∥b 的( A .充分不必要条件 C. 充分必要条件 答案 C

? ?

?

?

? ?

? ?



B.必要不充分条件 D.既不充分也必要条件

解析 设向量 a, b 的夹角为 ? ,若 | a ? b |?|| a | ? | b| | ? cos ? |?| a | ? | b | ? cos ? ? ?1 ,则 a // b ; 若 a // b ,则 cos ? ? ?1 ,从而 || a | ? | b | ? cos? |?| a | ? | b | ,? " a ? b ? a b " 是 a∥b 的充 分必要条件. 3.执行右面的框 4 图,若输出的结果为
? ? ? ?

? ?

1 ,则输入的实数 x 的值是( 2



-1-

A . 答案 D

3 2

B.

1 4

C.

2 2

D.

2

解析 由程序框图知,该程序是计算分段函数 y ? ?

?log2 x, x ? 1 的函数值,当 x ? 1 时,若 x ? 1 , x ? 1 ?

y?

1 1 1 3 ,则 x ? 2 ;当 x ? 1 时,若 y ? ,则 x ? 1 ? ,即 x ? (不合题意,舍去), 2 2 2 2

故选 D. 4.若 ( x ? A . 4 答案 B 解析 依题意, T4 ? Cn ? ( x )
3 n ?3

) 的展开式中第四项为常数项,则 n ? ( 23 x
B.

1

n

) D.

5

C.

6

7

? (?

1 3 3 ) 3 ? C ? ( ? ) ?x n 2 23 x

1

n ?3 ?1 2

,由其展开式的第四项为

常数项,?

n?3 ? 1 ? 0 ,解得 n ? 5 . 2

5. 已 知 一 次 函 数 f ( x) ? kx ? b 的 图 像 经 过 点 P(1,2) 和 Q(?2,?4) , 令
* an ? f (n) f (n ? 1), n ? N ,记数列的前项和为 sn ,当 S n ?

6 时, n 的值等于( 25
26



A . 24 答案 A

B.

25

C.

23

D.

解析 ? 一次函数 f ( x) ? kx ? b 的图像经过点 P(1,2) 和 Q(?2,?4) ,则 ?

?2 ? k ? b ,解 ?? 4 ? 2k ? b
-2-

得?

?k ? 2 ,? f ( x) ? 2 x , an ? f (n) f (n ? 1) ? 4n(n ? 1) , ?b ? 0
1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an 4n(n ? 1) 4 n n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 6 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? )? ,? n ? 24 . 4 2 2 3 n n ?1 4 n ? 1 25

?

?S ?

6. 已知函数 y ? A sin ??x ? ? ? ? k 的最大值为 4 ,最小值为 0 ,最小正周期为

x?

?
3

? ,直线 2

是其图像的一条对称轴,则符合条件的解析式为(



A . y ? 2 sin? 4 x ?

? ?

??

??2 6?

B.

?? ? y ? 2 sin? 2 x ? ? ? 2 3? ?
y ? 4 sin( 4 x ?

C. 答案 A

?? ? y ? 2 sin? 4 x ? ? ? 2 3? ?

D.

?
6

)

解析 由题意知, ?

?A ? 2 ?A ? k ? 4 ? 2? ,解得 ? ,再由最小正周期为 ? ,?? ? 4 , 2 ? ?k ? 2 ?A ? k ? 0

? y ? 2 sin(4 x ? ? ) ? 2 ,又直线 x ?
则 4?

?
3

是其图像的一条对称轴,

?
3

? ? ? k? ?

?
2

, k ? Z ,即 ? ? k? ?

故符合条件的函数解析式为 y ? 2 sin( 4 x ?

?

5? ? , k ? Z ,当 k ? 1 时, ? ? , 6 6
)?2.


6

7.关于直线 a , b 及平面 ? , ? ,下列命题中正确的是( A .若 a // ? , ? ? ? ? b ,则 a // b C. 答案 C 解析 对 A,直线 a , b 可能平行、相交或异面; 若 a ? ? , a // ? ,则 ? ? ?

B. 若 a // ? , b // ? ,则 a // b D.若 a // ? , b ? a ,则 b ? ?

对 B,因为直线 a 不一定在平面 ? 内,直线 a , b 可能为异面直线,则 B 错误; 对 C,直线与平面垂直,需直线与平面内的两条相交直线垂直,则 C 正确; 对 D,同平行于一个平面的两条直线可能平行、相交或异面,则 D 错误.

-3-

8. 对于 R 上可导的任意函数 f ( x) ,若满足 A . f (1) ? f (3) ? 2 f (2) C. 答案 C 解析 ?

2? x ? 0 ,则必有( f ?( x)



B. f (1) ? f (3) ? 2 f (2) D.

f (1) ? f (3) ? 2 f (2)

f (1) ? f (3) ? 2 f (2)

2? x 则函数 f ( x) 在 (??,2) 上单调递减; 当x ? 2 ?0, ? 当 x ? 2 时,f ( x)? ? 0 , f ?( x)

时, f ( x)? ? 0 ,则函数 f ( x) 在 (2,??) 上单调递增 . 即函数 f ( x) 在 x ? 2 处取得最小值

f (2) ,? f (1) ? f (2), f (3) ? f (2) ,两式相加得 f (1) ? f (3) ? 2 f (2) .
9.设双曲线
2 x ? y ? 1(b ? a ? 0) 的半焦距为 c , 直线 l 过 A(a,0), B(0, b) 两点, 若原点 O 到 2 2 a b 2

l 的距离为

3c ,则双曲线的离心率为( 4
B.



A . 答案 A

2 3 或2 3

2

C.

2或

2 3 3

D.

2 3 3

解析 由题意,直线 l 的方程为

x y ? ? 1, bx ? ay ? ab ? 0 ,? 原点 O 到直线 l 的距离为 a b

d?

ab a ?b
2 2

?

2 3 ab 3c 4 2 ,?3e ? 16e ? 16 ? 0 ,解得 e ? 2 或 e ? . ? 3 c 4

10.定义函数 y ? f ( x), x ? D ,若存在常数 c ,对任意 x1 ? D ,存在唯一 x2 ? D 的,使得

f ( x1) ? f ( x 2) ? c ,则称函数 f ( x) 在 D 上的均值为 c ,已知 f ( x) ? lg x, x ? ?10,100? ,则 2
函数 f ( x) ? lg x 在 x ? ?10,100? 上的均值为( A . 答案 A 解析 根据定义,函数 y ? f ( x), x ? D ,若存在常数 c ,对任意 x1 ? D ,存在唯一 x2 ? D 的,使得 ) C.

3 2

B.

3 4

7 10

D.

10

f ( x1) ? f ( x 2) ? c ,则称函数 f ( x) 在 D 上的均值为 c .令 x1 x2 ? 10?100 ? 1000, 2
-4-

当 x1 ?[10,100] 时,选定 x2 ?

lg x1 x2 3 1000 ? . ? [10,100] 可得, c ? 2 2 x1

第Ⅱ卷 (非选择题共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分,把答案填在答题卡中对应题号后 的横线上(必做题 11—14 题,选做题 15 题)

?log3 x, x ? 0 ? 11.已知函数 f ( x) ? ? 1 x ,则满足方程 f (a) ? 1 的所有 a 的值为_________. ( ) , x ? 0 ? ?3
答案 3 或 0 解析 当 a ? 0 时,由 log3 a ? 1 ,解得 a ? 3 ? 0 符合题意,当 a ? 0 时,由 ( ) ? 1 ,解
a

1 3

得 a ? 0 ,符合题意,综上所述, a ? 3 或 0. 12.已知某几何体的三视图如图,其中主视图中半圆直径为 2,则该几何体的体积________.

答案

24 ?

3? 2

解析 由三视图可知,该几何体是由长方体里面挖去一个半圆柱体,而长方体的长为 4,宽 为 3,高为 2,则圆柱的高为 3,底面半径为 1,?该几何体的体积

1 3? V ? 4 ? 3 ? 2 ? ? ? ?1? 3 ? 24 ? . 2 2

?3x ? y ? 6 ? 0 ?x? y?2?0 ? 13.设 x, y 满足约束条件 ? ,则目标函数 z ? 2 x ? y 最大值为_________. x?0 ? ? y?0 ?
答案 14

-5-

解析

?3x ? y ? 6 ? 0 ?x? y?2?0 ? 作出约束条件 ? 表示的平面区域如图阴影部分,则目标函数 x?0 ? ? y?0 ?

z ? 2 x ? y 在点 B 处取得最大值,其最大值为 z ? 2 ? 4 ? 6 ? 14 .

14. 若

f ( x) ? ?

a x a ? a

,则

f (?3) ? f (?2) ? f (?1) ? f (0) ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? ____________.
答案

?4
a a ax ? a ? ? ? ? ?1 , a x ? a a1? x ? a ax ? a

解析 ? f ( x) ? f (1 ? x) ? ?

? f (?3) ? f (?2) ? f (?1) ? f (0) ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (4) ? f (?3) ? f (3) ? f (?2) ? f (2) ? f (?1) ? f (1) ? f (0) ? 4 ? (?1) ? ?4 .
15.选做题(请在下列 3 道题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分) A(参数方程与极坐标系选做题)在直角坐标系中, 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 3 cos? ; 在极 ? y ? 3 sin ?

坐标系(以原点为坐标原点,以轴正半轴为极轴)中曲线 C 2 的方程为 ? cos( ? ? 则 C1 与 C 2 的交点的距离为____________. 答案

?
4

)? 2,

2 7

解析 由 ?

? x ? 3 cos? 2 2 得 x ? y ? 9 ,即为曲线 C1 的普通方程, ? y ? 3 sin ?

由 ? cos( ? ? 程.

?
4

) ? 2 ,? ? (cos? ? sin ? ) ? 2 ? 0 ,? x ? y ? 2 ? 0 即为曲线 C2 的普通方

-6-

由于圆 C1 圆心为 (0,0) ,又圆心 (0,0) 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ?

2 ? 2 ,圆的半 2

2 2 径 r ? 2 ,? 弦长 | AB |? 2 3 ? ( 2 ) ? 2 7 ,即为曲线 C1 与 C 2 的交点的距离.

OB 绕点 O 逆时针旋 120? OB ? PB ? 1 , B(几何证明选做题)如图, 割线 PBC 经过圆心 O ,
转到 OD ,连 PD 交圆 O 于点 E ,则 PE ? ____________.

D C O

E P B

P

答案

3 7 7
2 2 2 ?

解析 由余弦定理, PD ? OD ? OP ? 2OD ? OP ? cos 120 ? 1 ? 4 ? 2 ?1? 2 ?

1 ?7, 2

? PD ? 7 ,根据割线定理, PE ? PD ? PB ? PC 得 PE ?

3 7 . 7

C(不等式选做题)不等式 x ? 3 ? x ? 1 ? a2 ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范 围为_________________. 答案

[?1,4]
2

| x ? 3 | ? | x ? 1 |?| x ? 3 ? 1 ? x |? 4 ,? a ? 3a ? 4 ,解得 ? 1 ? a ? 4 . 解析 ?
三 解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? (?1) , n ? N .
n *

(Ⅰ)求数列 {an } 的前三项 a1 、 a2 、 a3 ; (Ⅱ)设 b n ? a n ?

2 n ( ?1) ,求证:数列 {bn } 为等比数列,并指出 {an } 的通项公式。 3
n *

解析:(Ⅰ)在 Sn ? 2an ? (?1) , n ? N 中分别令 n ? 1,2,3 得

-7-

?a1 ? 2a1 ? 1 ?a1 ? 1 ? ? ,解得 ?a 2 ? 0 ?a1 ? a 2 ? 2a 2 ? 1 ?a ? a ? a ? 2 a ? 1 ?a ? 2 2 3 3 ? 1 ? 3

(4 分)

(Ⅱ)由 Sn ? 2an ? (?1)n , n ? N* ,当 n ? 2 时 Sn?1 ? 2an?1 ? (?1)n?1 , 两式相减得 an ? 2an ? 2an?1 ? 2(?1)n?1 ,即 an ? 2an?1 ? 2(?1)n?1 ,(6 分)

2 2 (?1) n ? 2[an ?1 ? (?1) n ?1 ] , n ? 2 , 3 3 2 n 又 b n ? a n ? ( ?1) ,?bn ? 2bn?1 , n ? 2 , 3 2 1 而 b1 ? a1 ? ? , 3 3 1 ? 数列 {bn } 是首项为 ,公比为 2 的等比数列, 3 1 2 ? bn ? ? 2 n ?1 ? an ? ? (?1) n , 3 3 1 n ?1 2 n 故 an ? ? 2 ? ? ( ?1) . (12 分) 3 3
∴ an ? 17. (本小题 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , q ? (2a,1), p ? (2b ? c, cos C ) 且 q ∥ p (Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)求三角函数式
? ?
?

? 2 cos 2C ? 1 的取值范围. 1 ? tan C

解析 (Ⅰ)∵ q ? (2a,1) , p ? (2b ? c, cosC) 且 q ∥ p ,∴ 2a cos C ? 2b ? c , 由正弦定理得 2 sin A cos C ? 2 sin B ? sin C , 又 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cosC ? cos A sin C , ∴

1 1 sin C ? cos A sin C ,? sin C ? 0 ,∴ cos A ? , 2 2

又∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ?

?
3

,∴ sin A ?

3 . 2

(6 分)

? 2 cos 2C 2(cos2 C ? sin 2 C ) ?1 ? 1? 1 ? 2 cos2 C ? 2 sin C cosC (Ⅱ)原式 ? sin C 1 ? tan C 1? cosC

? sin 2C ? cos 2C ? 2 sin( 2C ? ) , 4

?

-8-

∵0 ? C ? ∴?

2 ? ? 13 ? , ∴ ? ? 2C ? ? ? , 3 4 4 12

? 2 ? sin( 2 x ? ) ? 1 , 4 2

∴ ?1 ?

2 sin( 2C ? ) ? 2 , 4 ? 2 cos 2C ? 1 的取值范围为 (?1, 2 ] . 即三角函数式 1 ? tan C
18(本小题 12 分)

?

(12 分)

D 梯 形 , AB ∥ CD , 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 A B C 为

面 ABCD , M 为 PC 的中点 ?AD ? CD ? 2 AB ? 2, ?DAB ? 60? PD ? 平
(Ⅰ)证明: BD ? PC (Ⅱ)若 PD ?

1 AD ,求二面角 D ? BM ? P 的余弦值. 2

解析 (Ⅰ)由余弦定理得 BD ? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2 cos60? = 3 , ∴? BD ? AB ? AD ,
2 2 2

? ∴ ?ABD ? 90 , BD ? AB ,

∵ AB // DC , ∴ BD ? DC , ∵ PD ? 底面 ABCD , BD ? 底面 ABCD , ∴ BD ? PD , 又∵ PD ? DC ? D , ∴ BD ? 平面 PDC , 又∵ PC ? 平面 PDC , ∴ BD ? PC . (6 分)

(Ⅱ)已知 AB ? 1 , AD ? CD ? 2 , PD ? 3 ,由(Ⅰ)可知 BD ? 平面 PDC . 如图,以 D 为坐标原点,射线 DB 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D ? xyz ,

则 D(0,0,0) , B( 3,0,0) , C (0,2,0) , P(0,0, 2 ) M (0,1,

2 ), 2
-9-

DB ? ( 3,0,0) , DM ? (0,1,

2 ) , CP ? (0,?2, 2 ) , CB ? ( 3,?2,0) , 2

?x ? 0 ? ?m ? DB ? 0 ? 设平面 BDM 的法向量 m ? ( x, y, z) ,则 ? ,? ? ,令 2 y ? z ? 0 ? m ? DM ? 0 ? ? 2 ?
z ? 2 , ∴取 m ? (0,?1, 2 )
(8 分)

同理设平面 BPM 的法向量为 n ? (a, b, c) ,则 ?

? ?n ? CB ? 0 ? ?n ? CP ? 0

∴n ? (

2 3 ,1, 2 ) , 3
?1 3? 13 3

∴cos< m , n > ?

??

13 . 13

∴二面角 D ? BM ? P 的余弦值大小为 19(本小题 12 分)

13 . 13

(12 分)

为了参加广州亚运会,从四支较强的排球队中选出 18 人组成女子排球国家队,队员来源人 数如下表: 对别 人数 北京 4 上海 6 天津 3 八一 5

(Ⅰ)从这 18 名队员中随机选出两名,求两人来自同一队的概率; (Ⅱ)中国女排奋力拼搏,战胜了韩国队获得冠军,若要求选出两位队员代表发言,设 其中来自北京队的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? 解析 (Ⅰ)“从这 18 名队员中随机选出两名,两人来自于同一队”记作事件 A, 则 P( A) ?
2 C4 ? C62 ? C32 ? C52 2 ? . 2 9 C18

(5 分) (7 分)

(Ⅱ) ? 的所有可能取值为 0,1,2.

2 2 1 1 C14 91 C4 6 C4 C14 56 ? ∵ P (? ? 0) ? 2 ? , P (? ? 1) ? , P (? ? 2) ? 2 ? , 2 C18 153 C18 153 153 C18

∴ ? 的分布列为:
- 10 -

?

0
91 153

1
56 153

2
6 153

P

(10 分) ∴ E(? ) ? 0 ?

91 56 6 4 ? 1? ? 2? ? . 153 153 153 9

(12 分)

20(本小题 13 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形 是一个面积为 8 的正方形(记为 Q ). (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设点 P 是直线 x ? ?4 与 x 轴的交点, 过点 P 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M , N 两点, 当线段 MN 的中点落在正方形 Q 内(包括边界)时,求直线 l 斜率的取值范围.

解析 (Ⅰ)依题意,设椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) =1,焦距为 2c , a 2 b2
2

2 由题设条件知, a ? 8 , b ? c , 所以 b ?

1 2 a ?4, 2
(4 分)

故椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1. 8 4

(Ⅱ)椭圆 C 的左准线方程为 x ? ?4 所以点 P 的坐标为(-4,0), 显然直线 l 的斜率 k 存在,所以直线的方程为 y ? k ( x ? 4) . 如图,设点 M 、 N 的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ,线段 MN 的 中点为 G( x0 , y0 ) ,

? y ? k ( x ? 4) ? 2 2 2 2 由 ? x2 ,消去 y 得 (1 ? 2k ) x ? 16k x ? 32k ? 8 ? 0 y2 ?1 ? ? 4 ?8
由 ? ? (16k ) ? 4(1 ? 2k )(32k ? 8) ? 0 ,
2 2 2 2



(6 分)

解得 ?

2 2 ?k? 2 2



- 11 -

因为 x1 , x2 是方程①的两根,所以 x1 ? x2 ? ? 于是 x0 ?

16 k 2 , 1 ? 2k 2

x1 ? x2 4k 8k 2 =? , y0 ? k ( x0 ? 4) ? , 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k

∵ x0 ? ?

8k 2 ? 0 ,所以点 G 不可能在 y 轴的右边. 1 ? 2k 2

(9 分)

又直线 F1 B2 , F1B1 方程分别为 y ? x ? 2 , y ? ? x ? 2 , 所以点 G 在正方形 Q 内(包括边界)的充要条件为 ?

? y 0 ? x0 ? 2 , ? y 0 ? ? x0 ? 2

? 4k 8k 2 ? ? ?2 ? 1 ? 2k 2 ?1 ? 2k 2 即? , 2 ? 4k ? 8k ? 2 2 ? 1 ? 2k 2 ?1 ? 2k
解得 ?

3 ?1 3 ?1 ,此时②也成立. ?k? 2 2 3 ?1 3 ?1 , ]. 2 2
(13 分)

故直线 l 斜率的取值范围是 [ ? 21(本小题 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

a (a ? 0) ,设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) x

(Ⅰ)求函数 F ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若以函数 y ? F ( x)(x ? (0,3]) 图象上任意一点 P( x0 , y 0) 为切点的切线的斜率

k?

1 恒成立,求实数 a 的最小值; 2
(Ⅲ) 是否存在实数 m , 使得函数 y ? g (

2a ) ? m ? 1 的图象与函数 y ? f (1 ? x2) 的 2 x ?1

图象恰有四个不同交点?若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,说明理由. 解析 (Ⅰ) F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ?

? F ?( x) ?

x?a 1 a ? 2 ? 2 , x x x

a ( x ? 0) x

∵ a ? 0 ,由 F ?( x) ? 0 得 x ? a ,∴ F ( x) 在 (a,??) 上是增函数.

- 12 -

由 F ?( x) ? 0 得 0 ? x ? a ,∴ F ( x) 在 (0, a ) 上是减函数. ∴ F ( x) 的单调递减区间为 (0, a ) ,单调递增区间为 (a,??) . (Ⅱ)由 F ?( x) ? 即a ? ? (4 分)

x?a x ?a 1 , 0 ? x ? 3 得 k ? 0 2 ? (0 ? x ? 3) 恒成立, 2 x x0 2

1 2 x0 ? x0 恒成立. 2 1 1 1 1 2 ∵当 x0 ? 1时, ? x0 ? x0 取得最大值 ,∴ a ? , a 的最小值为 . (8 分) 2 2 2 2 2a 1 1 ) ? m ? 1 ? x 2 ? m ? 的图像与 y ? f (1 ? x 2 ) ? ln(x 2 ? 1) 的 (Ⅲ)若 y ? g ( 2 x ?1 2 2 1 2 1 2 图 像 恰 有 四 个 不 同 交 点 , 即 x ? m ? ? ln( x ? 1) 有 四 个 不 同 的 根 , 亦 即 2 2 1 1 1 1 m ? ln( x 2 ? 1) ? x 2 ? 有四个不同的根.令 G ( x) ? ln( x 2 ? 1) ? x 2 ? . 2 2 2 2
则(x)= G ?( x ) ?

2x 2 x ? x 3 ? x ? x( x ? 1)( x ? 1) ? x ? ? . x2 ?1 x2 ?1 x2 ?1

当 x 变化时 G?( x) 、 G ( x) 的变化情况如下表: (-?,-1) (-1,0) ↘ (0,1) + ↗ (1,+?) ↘

G?( x) 的符号
G ( x) 的单调性

+ ↗

1 , G( x)极大值 ? G(-1) ? G(1) ? ln 2 ? 0 , 2 1 1 画出草图和验证 G (2) ? G (?2) ? ln 5 ? 2 ? ? , 2 2 1 可知,当 m ? ( , ln 2) 时, y ? G ( x) 与 y ? m 恰有四个不同交点. 2 1 2a 1 1 ) ? m ?1 ? x2 ? m ? ∴ 当 m ? ( , ln 2) 时 , y ? g ( 2 的 图 像 与 2 x ?1 2 2
由上表知: G ( x ) 极小值 ? G (0) ?

y ? f (1 ? x 2 ) ? l n x2 ? (1) 的图像恰有四个不同交点.

- 13 -


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