6 陕西省宝鸡市2014届高三第一次质量检测理科数学

2014 年陕西省宝鸡市高三数学质量检测（一） 数学（理科）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第 15 考题为三选 一，其它题为必考题，考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效．本试卷满 分 150 分，考试时间 120 分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号； 选择题答案使用 0．5 毫米的黑色中性（签字 9 笔或碳素笔书写，字体：工整、笔迹清楚， 将答案书写在答题卡规定的位置上． 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。 第Ⅰ卷 （选择题共 50 分）

一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的． 1.满足 i3 ? z ? 1 ? 3i 的复数 z 是（ A . ?3?i 答案 D 解析 由 i ? z ? 1 ? 3i 得 z ? (1 ? 3i)i ? 3 ? i .
3

） C.

B.

?3?i

3?i

D.

3?i

2．设 a , b 为向量，则 " a ? b ? a b " 是 a∥b 的（ A .充分不必要条件 C. 充分必要条件 答案 C

? ?

?

?

? ?

? ?

）

B.必要不充分条件 D.既不充分也必要条件

解析 设向量 a, b 的夹角为 ? ，若 | a ? b |?|| a | ? | b| | ? cos ? |?| a | ? | b | ? cos ? ? ?1 ，则 a // b ； 若 a // b ，则 cos ? ? ?1 ，从而 || a | ? | b | ? cos? |?| a | ? | b | ，? " a ? b ? a b " 是 a∥b 的充 分必要条件. 3.执行右面的框 4 图，若输出的结果为
? ? ? ?

? ?

1 ，则输入的实数 x 的值是（ 2

）

-1-

A . 答案 D

3 2

B.

1 4

C.

2 2

D.

2

解析 由程序框图知，该程序是计算分段函数 y ? ?

?log2 x, x ? 1 的函数值，当 x ? 1 时，若 x ? 1 , x ? 1 ?

y?

1 1 1 3 ，则 x ? 2 ；当 x ? 1 时，若 y ? ，则 x ? 1 ? ，即 x ? （不合题意，舍去）， 2 2 2 2

故选 D. 4．若 ( x ? A . 4 答案 B 解析 依题意， T4 ? Cn ? ( x )
3 n ?3

) 的展开式中第四项为常数项，则 n ? （ 23 x
B.

1

n

） D.

5

C.

6

7

? (?

1 3 3 ) 3 ? C ? ( ? ) ?x n 2 23 x

1

n ?3 ?1 2

，由其展开式的第四项为

常数项，?

n?3 ? 1 ? 0 ，解得 n ? 5 . 2

5. 已 知 一 次 函 数 f ( x) ? kx ? b 的 图 像 经 过 点 P(1,2) 和 Q(?2,?4) ， 令
* an ? f (n) f (n ? 1), n ? N ，记数列的前项和为 sn ，当 S n ?

6 时， n 的值等于（ 25
26

）

A . 24 答案 A

B.

25

C.

23

D.

解析 ? 一次函数 f ( x) ? kx ? b 的图像经过点 P(1,2) 和 Q(?2,?4) ，则 ?

?2 ? k ? b ，解 ?? 4 ? 2k ? b
-2-

得?

?k ? 2 ，? f ( x) ? 2 x ， an ? f (n) f (n ? 1) ? 4n(n ? 1) ， ?b ? 0
1 1 1 1 1 ? ? ( ? )， an 4n(n ? 1) 4 n n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 6 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? )? ，? n ? 24 . 4 2 2 3 n n ?1 4 n ? 1 25

?

?S ?

6. 已知函数 y ? A sin ??x ? ? ? ? k 的最大值为 4 ，最小值为 0 ，最小正周期为

x?

?
3

? ，直线 2

是其图像的一条对称轴，则符合条件的解析式为（

）

A . y ? 2 sin? 4 x ?

? ?

??

??2 6?

B.

?? ? y ? 2 sin? 2 x ? ? ? 2 3? ?
y ? 4 sin( 4 x ?

C. 答案 A

?? ? y ? 2 sin? 4 x ? ? ? 2 3? ?

D.

?
6

)

解析 由题意知， ?

?A ? 2 ?A ? k ? 4 ? 2? ，解得 ? ，再由最小正周期为 ? ，?? ? 4 ， 2 ? ?k ? 2 ?A ? k ? 0

? y ? 2 sin(4 x ? ? ) ? 2 ，又直线 x ?
则 4?

?
3

是其图像的一条对称轴，

?
3

? ? ? k? ?

?
2

, k ? Z ，即 ? ? k? ?

故符合条件的函数解析式为 y ? 2 sin( 4 x ?

?

5? ? , k ? Z ，当 k ? 1 时， ? ? ， 6 6
)?2.
）

6

7.关于直线 a , b 及平面 ? , ? ，下列命题中正确的是（ A .若 a // ? ， ? ? ? ? b ，则 a // b C. 答案 C 解析 对 A，直线 a , b 可能平行、相交或异面； 若 a ? ? ， a // ? ，则 ? ? ?

B. 若 a // ? ， b // ? ，则 a // b D.若 a // ? ， b ? a ，则 b ? ?

对 B，因为直线 a 不一定在平面 ? 内，直线 a , b 可能为异面直线，则 B 错误； 对 C，直线与平面垂直，需直线与平面内的两条相交直线垂直，则 C 正确； 对 D，同平行于一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，则 D 错误.

-3-

8. 对于 R 上可导的任意函数 f ( x) ，若满足 A . f (1) ? f (3) ? 2 f (2) C. 答案 C 解析 ?

2? x ? 0 ，则必有（ f ?( x)

）

B. f (1) ? f (3) ? 2 f (2) D.

f (1) ? f (3) ? 2 f (2)

f (1) ? f (3) ? 2 f (2)

2? x 则函数 f ( x) 在 (??,2) 上单调递减； 当x ? 2 ?0， ? 当 x ? 2 时，f ( x)? ? 0 ， f ?( x)

时， f ( x)? ? 0 ，则函数 f ( x) 在 (2,??) 上单调递增 . 即函数 f ( x) 在 x ? 2 处取得最小值

f (2) ，? f (1) ? f (2), f (3) ? f (2) ，两式相加得 f (1) ? f (3) ? 2 f (2) .
9.设双曲线
2 x ? y ? 1(b ? a ? 0) 的半焦距为 c ， 直线 l 过 A(a,0), B(0, b) 两点， 若原点 O 到 2 2 a b 2

l 的距离为

3c ，则双曲线的离心率为（ 4
B.

）

A . 答案 A

2 3 或2 3

2

C.

2或

2 3 3

D.

2 3 3

解析 由题意，直线 l 的方程为

x y ? ? 1， bx ? ay ? ab ? 0 ，? 原点 O 到直线 l 的距离为 a b

d?

ab a ?b
2 2

?

2 3 ab 3c 4 2 ，?3e ? 16e ? 16 ? 0 ，解得 e ? 2 或 e ? . ? 3 c 4

10.定义函数 y ? f ( x), x ? D ，若存在常数 c ，对任意 x1 ? D ，存在唯一 x2 ? D 的，使得

f ( x1) ? f ( x 2) ? c ，则称函数 f ( x) 在 D 上的均值为 c ，已知 f ( x) ? lg x, x ? ?10,100? ，则 2
函数 f ( x) ? lg x 在 x ? ?10,100? 上的均值为（ A . 答案 A 解析 根据定义，函数 y ? f ( x), x ? D ，若存在常数 c ，对任意 x1 ? D ，存在唯一 x2 ? D 的，使得 ） C.

3 2

B.

3 4

7 10

D.

10

f ( x1) ? f ( x 2) ? c ，则称函数 f ( x) 在 D 上的均值为 c .令 x1 x2 ? 10?100 ? 1000， 2
-4-

当 x1 ?[10,100] 时，选定 x2 ?

lg x1 x2 3 1000 ? . ? [10,100] 可得， c ? 2 2 x1

第Ⅱ卷 （非选择题共 100 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分，把答案填在答题卡中对应题号后 的横线上（必做题 11—14 题，选做题 15 题）

?log3 x, x ? 0 ? 11.已知函数 f ( x) ? ? 1 x ，则满足方程 f (a) ? 1 的所有 a 的值为_________. ( ) , x ? 0 ? ?3
答案 3 或 0 解析 当 a ? 0 时，由 log3 a ? 1 ，解得 a ? 3 ? 0 符合题意，当 a ? 0 时，由 ( ) ? 1 ，解
a

1 3

得 a ? 0 ，符合题意，综上所述， a ? 3 或 0. 12.已知某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆直径为 2，则该几何体的体积________.

答案

24 ?

3? 2

解析 由三视图可知，该几何体是由长方体里面挖去一个半圆柱体，而长方体的长为 4，宽 为 3，高为 2，则圆柱的高为 3，底面半径为 1，?该几何体的体积

1 3? V ? 4 ? 3 ? 2 ? ? ? ?1? 3 ? 24 ? . 2 2

?3x ? y ? 6 ? 0 ?x? y?2?0 ? 13.设 x, y 满足约束条件 ? ，则目标函数 z ? 2 x ? y 最大值为_________. x?0 ? ? y?0 ?
答案 14

-5-

解析

?3x ? y ? 6 ? 0 ?x? y?2?0 ? 作出约束条件 ? 表示的平面区域如图阴影部分，则目标函数 x?0 ? ? y?0 ?

z ? 2 x ? y 在点 B 处取得最大值，其最大值为 z ? 2 ? 4 ? 6 ? 14 .

14. 若

f ( x) ? ?

a x a ? a

，则

f (?3) ? f (?2) ? f (?1) ? f (0) ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? ____________.
答案

?4
a a ax ? a ? ? ? ? ?1 ， a x ? a a1? x ? a ax ? a

解析 ? f ( x) ? f (1 ? x) ? ?

? f (?3) ? f (?2) ? f (?1) ? f (0) ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (4) ? f (?3) ? f (3) ? f (?2) ? f (2) ? f (?1) ? f (1) ? f (0) ? 4 ? (?1) ? ?4 .
15．选做题（请在下列 3 道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分） A(参数方程与极坐标系选做题)在直角坐标系中， 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 3 cos? ； 在极 ? y ? 3 sin ?

坐标系（以原点为坐标原点，以轴正半轴为极轴）中曲线 C 2 的方程为 ? cos( ? ? 则 C1 与 C 2 的交点的距离为____________. 答案

?
4

)? 2，

2 7

解析 由 ?

? x ? 3 cos? 2 2 得 x ? y ? 9 ，即为曲线 C1 的普通方程， ? y ? 3 sin ?

由 ? cos( ? ? 程.

?
4

) ? 2 ，? ? (cos? ? sin ? ) ? 2 ? 0 ，? x ? y ? 2 ? 0 即为曲线 C2 的普通方

-6-

由于圆 C1 圆心为 (0,0) ，又圆心 (0,0) 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ?

2 ? 2 ，圆的半 2

2 2 径 r ? 2 ，? 弦长 | AB |? 2 3 ? ( 2 ) ? 2 7 ，即为曲线 C1 与 C 2 的交点的距离.

OB 绕点 O 逆时针旋 120? OB ? PB ? 1 ， B(几何证明选做题)如图， 割线 PBC 经过圆心 O ，
转到 OD ，连 PD 交圆 O 于点 E ，则 PE ? ____________.

D C O

E P B

P

答案

3 7 7
2 2 2 ?

解析 由余弦定理， PD ? OD ? OP ? 2OD ? OP ? cos 120 ? 1 ? 4 ? 2 ?1? 2 ?

1 ?7， 2

? PD ? 7 ，根据割线定理， PE ? PD ? PB ? PC 得 PE ?

3 7 . 7

C(不等式选做题)不等式 x ? 3 ? x ? 1 ? a2 ? 3a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范 围为_________________. 答案

[?1,4]
2

| x ? 3 | ? | x ? 1 |?| x ? 3 ? 1 ? x |? 4 ，? a ? 3a ? 4 ，解得 ? 1 ? a ? 4 . 解析 ?
三 解答题：本大题共 6 小题，满分 75 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题 12 分） 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? (?1) , n ? N .
n *

（Ⅰ）求数列 {an } 的前三项 a1 、 a2 、 a3 ； （Ⅱ）设 b n ? a n ?

2 n ( ?1) ，求证：数列 {bn } 为等比数列，并指出 {an } 的通项公式。 3
n *

解析：（Ⅰ）在 Sn ? 2an ? (?1) , n ? N 中分别令 n ? 1，2，3 得

-7-

?a1 ? 2a1 ? 1 ?a1 ? 1 ? ? ，解得 ?a 2 ? 0 ?a1 ? a 2 ? 2a 2 ? 1 ?a ? a ? a ? 2 a ? 1 ?a ? 2 2 3 3 ? 1 ? 3

（4 分）

（Ⅱ）由 Sn ? 2an ? (?1)n , n ? N* ，当 n ? 2 时 Sn?1 ? 2an?1 ? (?1)n?1 ， 两式相减得 an ? 2an ? 2an?1 ? 2(?1)n?1 ，即 an ? 2an?1 ? 2(?1)n?1 ，（6 分）

2 2 (?1) n ? 2[an ?1 ? (?1) n ?1 ] ， n ? 2 ， 3 3 2 n 又 b n ? a n ? ( ?1) ，?bn ? 2bn?1 ， n ? 2 ， 3 2 1 而 b1 ? a1 ? ? ， 3 3 1 ? 数列 {bn } 是首项为 ，公比为 2 的等比数列， 3 1 2 ? bn ? ? 2 n ?1 ? an ? ? (?1) n ， 3 3 1 n ?1 2 n 故 an ? ? 2 ? ? ( ?1) . (12 分) 3 3
∴ an ? 17. （本小题 12 分） 在 ?ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ， q ? (2a,1), p ? (2b ? c, cos C ) 且 q ∥ p （Ⅰ）求 sin A 的值； （Ⅱ）求三角函数式
? ?
?

? 2 cos 2C ? 1 的取值范围. 1 ? tan C

解析 (Ⅰ)∵ q ? (2a,1) ， p ? (2b ? c, cosC) 且 q ∥ p ，∴ 2a cos C ? 2b ? c ， 由正弦定理得 2 sin A cos C ? 2 sin B ? sin C ， 又 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cosC ? cos A sin C ， ∴

1 1 sin C ? cos A sin C ，? sin C ? 0 ，∴ cos A ? ， 2 2

又∵ 0 ? A ? ? ，∴ A ?

?
3

，∴ sin A ?

3 . 2

（6 分）

? 2 cos 2C 2(cos2 C ? sin 2 C ) ?1 ? 1? 1 ? 2 cos2 C ? 2 sin C cosC （Ⅱ）原式 ? sin C 1 ? tan C 1? cosC

? sin 2C ? cos 2C ? 2 sin( 2C ? ) ， 4

?

-8-

∵0 ? C ? ∴?

2 ? ? 13 ? ， ∴ ? ? 2C ? ? ? ， 3 4 4 12

? 2 ? sin( 2 x ? ) ? 1 ， 4 2

∴ ?1 ?

2 sin( 2C ? ) ? 2 ， 4 ? 2 cos 2C ? 1 的取值范围为 (?1, 2 ] . 即三角函数式 1 ? tan C
18（本小题 12 分）

?

（12 分）

D 梯 形 , AB ∥ CD , 如 图 ， 四 棱 锥 P ? ABCD 中 ， 底 面 A B C 为

面 ABCD , M 为 PC 的中点 ?AD ? CD ? 2 AB ? 2, ?DAB ? 60? PD ? 平
（Ⅰ）证明： BD ? PC （Ⅱ）若 PD ?

1 AD ，求二面角 D ? BM ? P 的余弦值. 2

解析 （Ⅰ）由余弦定理得 BD ? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2 cos60? = 3 ， ∴? BD ? AB ? AD ，
2 2 2

? ∴ ?ABD ? 90 ， BD ? AB ，

∵ AB // DC , ∴ BD ? DC ， ∵ PD ? 底面 ABCD ， BD ? 底面 ABCD ， ∴ BD ? PD ， 又∵ PD ? DC ? D ， ∴ BD ? 平面 PDC , 又∵ PC ? 平面 PDC ， ∴ BD ? PC . (6 分)

（Ⅱ）已知 AB ? 1 ， AD ? CD ? 2 ， PD ? 3 ,由（Ⅰ）可知 BD ? 平面 PDC . 如图，以 D 为坐标原点，射线 DB 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D ? xyz ，

则 D(0,0,0) ， B( 3,0,0) ， C (0,2,0) ， P(0,0, 2 ) M (0,1,

2 )， 2
-9-

DB ? ( 3,0,0) , DM ? (0,1,

2 ) , CP ? (0,?2, 2 ) ， CB ? ( 3,?2,0) ， 2

?x ? 0 ? ?m ? DB ? 0 ? 设平面 BDM 的法向量 m ? ( x, y, z) ，则 ? ，? ? ，令 2 y ? z ? 0 ? m ? DM ? 0 ? ? 2 ?
z ? 2 , ∴取 m ? (0,?1, 2 )
（8 分）

同理设平面 BPM 的法向量为 n ? (a, b, c) ,则 ?

? ?n ? CB ? 0 ? ?n ? CP ? 0

∴n ? (

2 3 ,1, 2 ) ， 3
?1 3? 13 3

∴cos< m , n > ?

??

13 . 13

∴二面角 D ? BM ? P 的余弦值大小为 19（本小题 12 分）

13 . 13

（12 分）

为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出 18 人组成女子排球国家队，队员来源人 数如下表： 对别 人数 北京 4 上海 6 天津 3 八一 5

（Ⅰ）从这 18 名队员中随机选出两名，求两人来自同一队的概率； （Ⅱ）中国女排奋力拼搏，战胜了韩国队获得冠军，若要求选出两位队员代表发言，设 其中来自北京队的人数为 ? ，求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? 解析 （Ⅰ）“从这 18 名队员中随机选出两名，两人来自于同一队”记作事件 A， 则 P( A) ?
2 C4 ? C62 ? C32 ? C52 2 ? . 2 9 C18

（5 分） （7 分）

（Ⅱ） ? 的所有可能取值为 0，1，2.

2 2 1 1 C14 91 C4 6 C4 C14 56 ? ∵ P (? ? 0) ? 2 ? ， P (? ? 1) ? ， P (? ? 2) ? 2 ? ， 2 C18 153 C18 153 153 C18

∴ ? 的分布列为：
- 10 -

?

0
91 153

1
56 153

2
6 153

P

（10 分） ∴ E(? ) ? 0 ?

91 56 6 4 ? 1? ? 2? ? . 153 153 153 9

（12 分）

20（本小题 13 分） 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形 是一个面积为 8 的正方形（记为 Q ）. （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ） 设点 P 是直线 x ? ?4 与 x 轴的交点， 过点 P 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M , N 两点， 当线段 MN 的中点落在正方形 Q 内（包括边界）时，求直线 l 斜率的取值范围.

解析 （Ⅰ）依题意，设椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) =1，焦距为 2c ， a 2 b2
2

2 由题设条件知， a ? 8 ， b ? c ， 所以 b ?

1 2 a ?4， 2
(4 分)

故椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1. 8 4

（Ⅱ）椭圆 C 的左准线方程为 x ? ?4 所以点 P 的坐标为（-4,0）， 显然直线 l 的斜率 k 存在，所以直线的方程为 y ? k ( x ? 4) . 如图，设点 M 、 N 的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ,线段 MN 的 中点为 G( x0 , y0 ) ，

? y ? k ( x ? 4) ? 2 2 2 2 由 ? x2 ，消去 y 得 (1 ? 2k ) x ? 16k x ? 32k ? 8 ? 0 y2 ?1 ? ? 4 ?8
由 ? ? (16k ) ? 4(1 ? 2k )(32k ? 8) ? 0 ，
2 2 2 2

①

（6 分）

解得 ?

2 2 ?k? 2 2

②

- 11 -

因为 x1 , x2 是方程①的两根，所以 x1 ? x2 ? ? 于是 x0 ?

16 k 2 ， 1 ? 2k 2

x1 ? x2 4k 8k 2 =? ， y0 ? k ( x0 ? 4) ? ， 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k

∵ x0 ? ?

8k 2 ? 0 ，所以点 G 不可能在 y 轴的右边. 1 ? 2k 2

（9 分）

又直线 F1 B2 ， F1B1 方程分别为 y ? x ? 2 ， y ? ? x ? 2 ， 所以点 G 在正方形 Q 内（包括边界）的充要条件为 ?

? y 0 ? x0 ? 2 ， ? y 0 ? ? x0 ? 2

? 4k 8k 2 ? ? ?2 ? 1 ? 2k 2 ?1 ? 2k 2 即? ， 2 ? 4k ? 8k ? 2 2 ? 1 ? 2k 2 ?1 ? 2k
解得 ?

3 ?1 3 ?1 ，此时②也成立． ?k? 2 2 3 ?1 3 ?1 , ]. 2 2
(13 分)

故直线 l 斜率的取值范围是 [ ? 21（本小题 14 分） 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

a (a ? 0) ，设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) x

（Ⅰ）求函数 F ( x ) 的单调区间； （Ⅱ）若以函数 y ? F ( x)(x ? (0,3]) 图象上任意一点 P( x0 , y 0) 为切点的切线的斜率

k?

1 恒成立，求实数 a 的最小值； 2
（Ⅲ） 是否存在实数 m ， 使得函数 y ? g (

2a ) ? m ? 1 的图象与函数 y ? f (1 ? x2) 的 2 x ?1

图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数 m 的取值范围；若不存在，说明理由. 解析 （Ⅰ） F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ?

? F ?( x) ?

x?a 1 a ? 2 ? 2 ， x x x

a ( x ? 0) x

∵ a ? 0 ，由 F ?( x) ? 0 得 x ? a ，∴ F ( x) 在 (a,??) 上是增函数.

- 12 -

由 F ?( x) ? 0 得 0 ? x ? a ，∴ F ( x) 在 (0, a ) 上是减函数. ∴ F ( x) 的单调递减区间为 (0, a ) ，单调递增区间为 (a,??) . （Ⅱ）由 F ?( x) ? 即a ? ? （4 分）

x?a x ?a 1 ， 0 ? x ? 3 得 k ? 0 2 ? (0 ? x ? 3) 恒成立， 2 x x0 2

1 2 x0 ? x0 恒成立. 2 1 1 1 1 2 ∵当 x0 ? 1时， ? x0 ? x0 取得最大值 ，∴ a ? ， a 的最小值为 . （8 分） 2 2 2 2 2a 1 1 ) ? m ? 1 ? x 2 ? m ? 的图像与 y ? f (1 ? x 2 ) ? ln(x 2 ? 1) 的 （Ⅲ）若 y ? g ( 2 x ?1 2 2 1 2 1 2 图 像 恰 有 四 个 不 同 交 点 ， 即 x ? m ? ? ln( x ? 1) 有 四 个 不 同 的 根 ， 亦 即 2 2 1 1 1 1 m ? ln( x 2 ? 1) ? x 2 ? 有四个不同的根.令 G ( x) ? ln( x 2 ? 1) ? x 2 ? . 2 2 2 2
则(x)= G ?( x ) ?

2x 2 x ? x 3 ? x ? x( x ? 1)( x ? 1) ? x ? ? . x2 ?1 x2 ?1 x2 ?1

当 x 变化时 G?( x) 、 G ( x) 的变化情况如下表： （-?，-1） （-1,0） ↘ （0,1） + ↗ （1，+?） ↘

G?( x) 的符号
G ( x) 的单调性

+ ↗

1 , G( x)极大值 ? G(-1) ? G(1) ? ln 2 ? 0 ， 2 1 1 画出草图和验证 G (2) ? G (?2) ? ln 5 ? 2 ? ? ， 2 2 1 可知，当 m ? ( , ln 2) 时， y ? G ( x) 与 y ? m 恰有四个不同交点. 2 1 2a 1 1 ) ? m ?1 ? x2 ? m ? ∴ 当 m ? ( , ln 2) 时 ， y ? g ( 2 的 图 像 与 2 x ?1 2 2
由上表知： G ( x ) 极小值 ? G (0) ?

y ? f (1 ? x 2 ) ? l n x2 ? (1) 的图像恰有四个不同交点.

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