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2011届高三数学一轮复习测试:集合与函数


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2011 届高三数学一轮复习测试:集合与函数 届高三数学一轮复习测试:
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符号题目要求的。) 1.(文)已知全集 U=R,集合 A={x|x2-x-6≤0},B={x|x<-1 或 x>4},那么集合 A∩( ( ) UB)等于 A.{x|-2≤x<4} B.{x|x≤3 或 x≥4} C.{x|-2≤x<-1} D.{x|-1≤x≤3} [答案] D [解析] ∵A={x|-2≤x≤3} UB={x|-1≤x≤4}, ∴A∩UB={x|-1≤x≤3}. (理)集合 A={y∈R|y=lgx,x>1},B={-2,-1,1,2},则下列结论中正确的是( ) A.A∩B={-2,-1} B.(RA)∪B=(-∞,0) C.A∪B=(0,+∞) D.(RA)∩B={-2,-1} [答案] D [解析] A={y∈R|y=lgx,x>1}={y|y>0}, RA={y|y≤0}, ∴(RA)∩B={-2,-1}. 2.若集合 M={0,1,2},N={(x,y)|x-2y+1≥0 且 x-2y-1≤0,x、y∈M},则 N 中元 素的个数为 ( ) A.9 B.6 C.4 D.2 [答案] C x-2x+1≥0 [解析] 由题意得①当 x=y 时,有 ,即-1≤x≤1,又 x∈M,则有序实数 x-2x-1≤0
0-2y+1≥0 1 1 ,即- ≤y≤ ,又 y∈M,则有 对(x,y)有两对;②当 x≠y 时,若 x=0,则有 2 2 0-2y-1≤0 1-2y+1≥0 序实数对(x,y)不存在;若 x=1,则有 ,即 0≤y≤1,又 y∈M,∴y=0,则有 1-2y-1≤0 2-2y+1≥0 1 3 序实数对(x,y)有一对;若 x=2,则有 ,即 ≤y≤ ,又 y∈M,∴y=1,则有 2 2 2-2y-1≤0 序实数对(x,y)有一对.综上所述,集合 N 中元素的个数为 4. 3.函数 f(x)=lg 1-x2的定义域为 ( ) A.[0,1] B.(-1,1) C.[-1,1] D.(-∞,-1)∪(1,+∞) [答案] B [解析] 由 1-x2>0 得-1<x<1. 4.(文)函数 f:{1,2,3}→{1,2,3}满足 f(f(x))=f(x),则这样的函数个数共有 ( ) A.1 个 B.4 个 C.8 个 D.10 个 [答案] D [解析] ①当 f(x)=k(k=1,2,3)时满足,这样的函数有 3 个; ②当 f(x)=x 时满足,这样的函数有 1 个; ③f(1)=1,f(2)=f(3)=2;f(1)=1,f(2)=f(3)=3 有 2 个,同样,f(2)=2 和 f(3)=3,也各 有 2 个. 故满足题设要求的共有 10 个函数. 如图

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(理)在下列四个函数中, 满足性质: “对于区间(1,2)上的任意 x1, 2(x1≠x2), 2)-f(x1)|<|x2 x |f(x -x1|恒成立”的只有 ( ) 1 A.f(x)= B.f(x)=|x| x x D.f(x)=x2 C.f(x)=2 [答案] A 1 1 |x1-x2| 1 [解析] 当 1<x1<x2<2 时,x1x2>1,对于 f(x)= ,有|f(x1)-f(x2)|=x -x = <|x1- 1 2 x x1x2 x2|,其它都不满足题设性质. 1 5.设 α∈{-1,1, ,3},则使函数 y=xα 的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 值为 2 ( ) A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 [答案] A 1 - [解析] 在函数 y=x 1,y=x,y=x ,y=x3 中,只有函数 y=x 和 y=x3 的定义域为 R, 2 且是奇函数,故 α=1,3. 6.若函数 f(x)=loga(x+1)(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则 a= ( ) 1 2 A. B. 2 C. D.2 2 2 [答案] D f(0)=0 [解析] (1)a>1 时, a=2, f(1)=1
f(0)=1 (2)0<a<1 时, ,无解,综上所述 a=2,故选 D. f(1)=0 1 7.函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x+2)= ,若 f(1)=-5,则 f(f(5))= f(x)

( A.-5 [答案] B 1 B.- 5 1 C. 5 D.5

)

1 [解析] 显然由 f(x+2)= f(x+4)=f(x),说明函数的周期为 4,f(f(5))=f(f(1))=f(-5) f(x) 1 1 =f(-1)=f(3)=f(1+2)= =- . f(1) 5 a(a≤b) 8.(文)定义运算 ab= ,则函数 f(x)=12x 的图象是 ( ) b(a>b)

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[答案] A [解析] 当 x<0 时,2x<1,f(x)=2x;当 x>0 时,2x>1,f(x)=1.答案为 A. (理)(08山东)设函数 f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线 x=1 对称,则 a 的值为 ( A.3 B.2 C.1 D.-1 [答案] A -1+a [解析] =1,∴a=3. 2 + 9.(文)函数 f(x)=1+log2x 和 g(x)=21 x 在同一直角坐标系下的图象大致是 ( ) )

[答案] D [解析] ∵f(x)的图象过点(1,1), ∴g(x)的图象过点(-1,1). (理)已知函数 f(x)=loga(x+b)的大致图象如图,其中 a、b 为常数,则函数 g(x)=ax+b 的 大致图象是 ( )

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[答案] B [解析] 由图象可知, f(x)为减函数且 0<f(0)<1, 0<a<1,0<b<1, 故 ∴g(x)为减函数且 g(0)>1, 故选 B. -x+3a, x<0 10.(文)函数 f(x)= x (a>0 且 a≠1)是 R 上的减函数,则 a 的取值范围是 x≥0 a , ( ) 1 A.(0,1) B.[ ,1) 3 1 2 C.(0, ] D.(0, ] 3 3 [答案] B [解析] f(x)在 R 上单调递减, 0<a<1, 1 ∴ ≤a<1. ∴ 3 3a≥1.
ax, x<0, f(x1)-f(x2) (理)已知函数 f(x)= <0 成立, 满足对任意 x1≠x2,都有 x1-x2 (a-3)x+4a, x≥0.

则 a 的取值范围是 A.(0,3) 1 C.(0, ] 4 [答案] C

( B.(1,3) D.(-∞,3)

)

f(x1)-f(x2) <0 成立, [解析] ∵函数 f(x)对任意 x1≠x2 都有 x1-x2

0<a<1, ∴函数 f(x)在 R 上为减函数,故a-3<0, a0≥(a-3)×0+4a.
1 ∴0<a≤ . 4
f(x-2) x≥0 11.(文)已知 f(x)= x ,则 f(8)等于 2 x<0 1 A.4 B.0 C. 4 [答案] C

( D.2

)

1 - [解析] f(8)=f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=f(-2)=2 2= ,选 C. 4

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(理)函数 f(x)满足 f(x)f(x+2)=13,若 f(1)=2,则 f(99)= ( ) 2 13 D. A.13 B.2 C. 13 2 [答案] C [解析] ∵f(x)f(x+2)=13,① ∴f(x+2)f(x+4)=13,② 又∵f(x)≠0,∴由①②相除可得 f(x)=f(x+4), ∴4 是 f(x)的一个周期. ∴f(99)=f(4×24+3)=f(3), 又∵当 x=1 时,f(1)f(3)=13, 13 且 f(1)=2.∴f(3)= ,故选 C. 2 12.(08陕西)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy (x,y∈R),f(1)=2, 则 f(-3)等于 ( ) A.2 B.3 C.6 D.9 [答案] C [解析] ∵f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,对任意 x、y∈R 成立, ∴x=y=0 时,有 f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0,又 f(1)=2, ∴y=1 时,有 f(x+1)-f(x)=f(1)+2x=2x+2, ∴f(0)-f(-1)=0,f(-1)-f(-2)=-2,f(-2)-f(-3)=-4, 三式相加得:f(0)-f(-3)=-6,∴f(-3)=6. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) ex,x≤0 1 则 g(g( ))=________. 13.设 g(x)= 2 lnx,x>0, [答案] 1 2 1 1 1 [解析] >0,则 g2=ln <0 2 2 1 1 1 1 ∴g(g( ))=g(ln )=eln = . 2 2 2 2

14.函数 y= log0.5(4x2-3x)的定义域为________. 1 3 [答案] [- ,0)∪( ,1] 4 4 [解析] 由题意得:log0.5(4x2-3x)≥0, 则由对数函数的性质得:0<4x2-3x≤1, 0<4x2-3x, 1 3 即 2 ∴- ≤x<0 或 <x≤1, 4 4 4x -3x≤1. 1 3 ∴函数的定义域为:[- ,0)∪( ,1]. 4 4 15. 用一根为 12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗), 要使这个窗户 通过的阳光最充足,则框架的长与宽应分别为________. [答案] 3m,1.5m 1 [解析] 题意即求窗户面积最大时的长与宽,设长为 xm,则宽为(3- x)m, 2 1 2 9 1 ∴S=x(3- x)=- x +3x(0<x<6),解得当 x=3 时,Smax= . 2 2 2

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∴长为 3m,宽为 1.5m. x+3 ) 16.(08辽宁)设 f(x)是连续的偶函数,且当 x>0 时 f(x)是单调函数,则满足 f(x)=f( x+4 的所有 x 之和为________. [答案] -8 x+3 x+3 2 x+3 [解析] 根据题设条件,令 f(x)=x2,则 f(x)=f( )化为 x2=( ) ,∴ =±x, x+4 x+4 x+4 ∴x2+3x-3=0 ①,或 x2+5x+3=0 ②, 方程①的两根之和为-3,方程②的两根之和为-5. x+3 ∴满足 f(x)=f( )的所有 x 之和为-8. x+4 [点评] 可利用偶函数的性质 f(x)=f(|x|)转化求解. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) x+1-a 1 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= (a∈R 且 x≠a)的定义域为[a-1,a- ]时, 2 a-x 求 f(x)的值域. -(a-x)+1 1 [解析] f(x)= =-1+ , a-x a-x 1 1 当 a-1≤x≤a- 时,-a+ ≤-x≤-a+1, 2 2 1 1 ∴ ≤a-x≤1,∴1≤ ≤2, 2 a-x 1 ∴0≤-1+ ≤1. a-x 即 f(x)的值域为[0,1]. 1 18.(本小题满分 12 分)(文)已知函数 f(x)= ax3+bx2+cx(其中 a≠0),且 f′(-2)=0. 3 (1)若 f(x)在 x=2 处取得极小值-2,求 f(x)的单调区间; a (2)令 F(x)=f′(x),若 F′(x)>0 的解集是 A,且 A∪(0,1)=(-∞,1),求 的最大值. c [解析] (1)∵f′(x)=ax2+2bx+c,

4a-4b+c=0, ∴4a+4b+c=0, 8a+12b+6c=-6.
3 3 解得 b=0,a= ,c=- . 8 2 3 2 3 ∴f′(x)= x - ≥0,得 x≥2 或 x≤-2. 8 2 3 3 同理 f′(x)= x2- ≤0, 8 2 得-2≤x≤2. 即函数 f(x)的单调减区间是[-2,2],增区间是(-∞,-2]和[2,+∞). (2)∵f′(x)=ax2+2bx+c=F(x),F(-2)=4a-4b+c=0, ∴4b=4a+c. 4a+c 4a+c F′(x)=2ax+2b=2ax+ >0,∴2ax>- . 2 2 4a+c 当 a>0 时,F′(x)>0 的解集是- ,+∞,显然不满足 A∪(0,1)=(-∞,1), 4a 4a+c , 当 a<0 时,F′(x)>0 的解集是-∞,- 4a

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4a+c 若满足 A∪(0,1)=(-∞,1),则 0<- ≤1, 4a 1 a 1 解得- < ≤- . 4 c 8 a 1 ∴ 的最大值为- . c 8 (理)(08重庆)设函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),曲线 y=f(x)通过点(0,2a+3),且在点(-1, f(-1))处的切线垂直于 y 轴. (1)用 a 分别表示 b 和 c; - (2)当 bc 取得最小值时,求函数 g(x)=-f(x)e x 的单调区间. 2 [解析] (1)因为 f(x)=ax +bx+c, 所以 f′(x)=2ax+b, 又因为曲线 y=f(x)通过点(0,2a+3), 故 f(0)=2a+3,而 f(0)=c,从而 c=2a+3. 又曲线 y=f(x)在(-1,f(-1))处的切线垂直于 y 轴,故 f′(-1)=0, 即-2a+b=0,因此 b=2a. 3 9 (2)由(1)得 bc=2a(2a+3)=4a+42- . 4 3 9 故当 a=- 时,bc 取得最小值- . 4 4 3 3 此时有 b=- ,c= . 2 2 3 2 3 3 从而 f(x)=- x - x+ , 2 2 4 3 3 f′(x)=- x- . 2 2 3 2 3 3 - - g(x)=-f(x)e x=4x +2x-2e x. 3 -x - 所以 g′(x)=(f(x)-f′(x))e =- (x2-4)e x. 4 令 g′(x)=0,解得 x1=-2,x2=2. 当 x∈(-∞,-2)时,g′(x)<0,故 g(x)在 x∈(-∞,-2)上为减函数; 当 x∈(-2,2)时,g′(x)>0,故 g(x)在 x∈(-2,2)上为增函数; 当 x∈(2,+∞)时,g′(x)<0,故 g(x)在 x∈(2,+∞)上为减函数. 由此可见,函数 g(x)的单调递减区间为(-∞,-2)和(2,+∞);单调递增区间为(-2, 2). 19.(本小题满分 12 分)某商场根据以往销售统计资料,预计 2009 年从 1 月起前 x 个月, 1 顾客对某种奥运商品的需求总量 p(x)件与月份 x 的近似关系是 p(x)= x(x+1)(39-2x)(x∈N*, 2 且 x≤12),该商品的进价 q(x)元与月份 x 的近似关系是 q(x)=150+2x(x∈N*,且 x≤12). (1)写出今年第 x 月的需求量 f(x)件与月份 x 的函数关系式; (2)该商品每件的售价为 185 元,若不计其他费用且每月都能满足市场需求,则此商场今 年销售该商品的月利润预计最大是多少元? [解析] (1)当 x=1 时,f(1)=p(1)=37; 当 2≤x≤12 时,f(x)=p(x)-p(x-1) 1 1 = x(x+1)(39-2x)- (x-1)x(41-2x)=-3x2+40x(x∈N*,且 2≤x≤12). 2 2 验证 x=1 符合 f(x)=-3x2+40x, ∴f(x)=-3x2+40x(x∈N*且 1≤x≤12). (2)该商场预计销售该商品的月利润为 g(x)=(-3x2+40x)(185-150-2x)=6x3-185x2+1400x(x∈N*,1≤x≤12), 140 g′(x)=18x2-370x+1400,令 g′(x)=0,解得 x=5,x= (舍去). 9

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当 1≤x<5 时,g′(x)>0,当 5<x≤12 时,g′(x)<0, ∴当 x=5 时,g(x)max=g(5)=3125(元). 综上可知,5 月份的月利润最大是 3125 元. 20.(本小题满分 12 分)已知关于 x 的二次函数 f(x)=ax2-4bx+1. (1)已知集合 P={-1,1,2,3,4,5},Q={-2,-1,1,2,3,4},分别从集合 P 和 Q 中随机取一 个数作为 a 和 b,求函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率;

x+y-8≤0 (2)在区域x>0 内随机任取一点(a,b). y>0
求函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率. [解析] (1)∵a∈P,∴a≠0. 2b ∴函数 f(x)=ax2-4bx+1 的图象的对称轴为 x= , a 要使 f(x)=ax2-4bx+1 在区间[1,+∞)上为增函数, 2b 当且仅当 a>0 且 ≤1,即 2b≤a. a 若 a=1,则 b=-2,-1; 若 a=2,则 b=-2,-1,1; 若 a=3,则 b=-2,-1,1; 若 a=4,则 b=-2,-1,1,2; 若 a=5,则 b=-2,-1,1,2. 所求事件包含基本事件的个数是 2+3+3+4+4=16. 16 4 ∴所求事件的概率为 = . 36 9 (2)由条件知 a>0,∴同(1)可知当且仅当 2b≤a 且 a>0 时, 函数 f(x)=ax2-4bx+1 在区间[1,+∞)上为增函数, 依条件可知试验的全部结果所构成的区域

a+b-8≤0 (a,b)|a>0 ,为△OAB,所求事件构成区域为如图阴影部分. b>0

a+b-8=0 16 8 由 得交点 D 3 ,3, a-2b=0. 1 8 ×8× 2 3 1 ∴所求事件的概率为 P= = . 1 3 ×8×8 2 21.(本小题满分 12 分)(08广东)某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造 一栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米 的平均建筑费用为 560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应 建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= 购地总费用 ). 建筑总面积 [解析] 设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元,则

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2160×10000 10800 f(x)=(560+48x)+ =560+48x+ (x≥10,x∈N*), 2000x x 10800 f′(x)=48- 2 , x 令 f′(x)=0 得 x=15. 当 x>15 时,f′(x)>0;当 0<x<15 时,f′(x)<0, 因此当 x=15 时,f(x)取最小值 f(15)=2000. 答:为了楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为 15 层. 1-mx 22.(本小题满分 14 分)(文)已知函数 f(x)=loga (a>0,且 a≠1)的图象关于原点对称. x-1 (1)求 m 的值; (2)判断 f(x)在(1,+∞)上的单调性,并利用定义证明. [解析] (1)m=-1. x+1 (2)f(x)=loga , x-1 当 a>1 时,f(x)在(1,+∞)上单调递减; 当 0<a<1 时,f(x)在(1,+∞)上单调递增. 证明:设 1<x1<x2,则 x1+1 x2+1 2(x2-x1) - = >0, x1-1 x2-1 (x1-1)(x2-1) x1+1 x2+1 ∴ > >0. x1-1 x2-1 x1+1 x2+1 当 a>1 时,loga >loga ,即 f(x1)>f(x2), x1-1 x2-1 ∴f(x)在(1,+∞)上单调递减. x1+1 x2+1 当 0<a<1 时,loga <loga , x1-1 x2-1 即 f(x1)<f(x2),∴f(x)在(1,+∞)上单调递增. 1 (理)设函数 f(x)是定义在[-1,0)∪(0,1]上的奇函数,当 x∈[-1,0)时,f(x)=2ax+ 2(a∈R). x (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 a>-1,试判断 f(x)在(0,1]上的单调性; (3)是否存在实数 a,使得当 x∈(0,1]时,f(x)有最大值-6. [解析] (1)设 x∈(0,1],则-x∈[-1,0), 1 ∴f(-x)=-2ax+ 2 x ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x) 1 ∴当 x∈(0,1]时,f(x)=2ax- 2, x 1 1 ∴f(x)=2ax-x2 x∈(0,1],2ax+x2 x∈[-1,0) . 1 2 (2)当 x∈(0,1]时,∵f′(x)=2a+ 3=2a+x3, x 1 ∵a>-1,x∈(0,1],∴a+ 3>0. x 即 f′(x)>0. ∴f(x)在(0,1]上是单调递增函数. (3)当 a>-1 时,f(x)在(0,1]上单调递增.f(x)max=f(1)=2a-1=-6, 5 ∴a=- (不合题意,舍去), 2

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当 a≤-1 时,由 f′(x)=0 得,x=- 如下表可知 fmax(x)=f

3 1 . a

3 1 =-6,解出 a=-2 2. -a
3 - 1 a

x f′(x) f(x) 此时 x=

3 -∞, -1 a


3 1 - ,+∞ a


0 极大值

2 ∈(0,1) 2 ∴存在 a=-2 2,使 f(x)在(0,1]上有最大值-6.


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