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2018-2019学年高一数学人教B版必修4课时作业:3.1.1 两角和与差的余弦 Word版含解析

课时作业 25 两角和与差的余弦

1.cos15°+cos75°的值等于(

(限时:10 分钟) )

6 A. 2

B.-

6 2

C.-

2 2

2 D. 2

解析:cos15°=cos(45°-30°),cos75°=cos(45°+30°).

答案:A

2.cos(α+30°)cosα+sin(α+30°)sinα=( )

31 A. 2 B.2

2 C. 2

D.-12

解析:原式=cos(α+30°-α)=cos30°=

3 2.

答案:A

3.cos57°cos12°+sin57°sin12°的值是( )

A.0

1 B.2

3

2

C. 2 D. 2

解析:原式=cos(57°-12°)=cos45°=

2 2.

答案:D

4.若 sinα-sinβ=1- 23,cosα-cosβ=12,则 cos(α-β)的值为( )

1

3

A.2 B. 2

C.

3 4

D.1

解析:??1-

23??2+??12??2=2-2cos(α-β),∴cos(α-β)=

3 2.

答案:B

5.已知 sin??α+π4??=45,且π4<α<34π.求 cosα 的值.

解析:∵sin??α+π4??=45,且π4<α<34π,∴2π<α+4π<π,

∴cos??α+π4??=- 1-??45??2=-35. cosα=cos????α+π4??-π4??

=cos??α+π4??cosπ4+sin??α+4π??sin4π

=-35×

22+45×

22=

2 10 .

(限时:30 分钟) 1.cos75°cos15°-sin75°sin195°的值为( )

A.0

1 B.2

3 C. 2

D.-12

解 析 : 原 式 = cos75°cos15°- sin75°sin(180°+ 15°) = cos75°·cos15°+ sin75°sin15°= cos(75°-15°)=cos60°=12.
答案:B
2.已知 sinθ=-1132,θ∈??-π2,0??,则 cos??θ-4π??的值为( )

A.-7262 B.7262

C.-1726 2

17 2 D. 26

解析:∵sinθ=-1132,θ∈??-π2,0??,

∴cosθ= 1-sin2θ= 1-??-1123??2=153.

∴cos??θ-π4??=cosθcosπ4+sinθsinπ4

=153×

22+??-1123??×

22=-276

2 .

答案:A

3.已知 cosα=153,α∈??32π,2π??,则 cos??α-π4??等于( )

52 A. 26

B.-2132

C.-7262

32 D. 13

解析:∵cos??α-π4??=(cosα+sinα)× 22,

又可得 sinα=-1132,

∴cos??α-π4??= 22×??153-1132??= 22×??-173??=-7262.
答案:C

4.已知 cos??θ+π6??=153,0<θ<3π,则 cosθ 等于( )

5 3+12 12-5 3

A. 26

B. 13

5+12 3 6+5 3

C. 26

D. 13

解析:∵θ∈??0,π3??,∴θ+π6∈??π6,π2??,

∴sin??θ+π6??=1123.

又 cosθ=cos????θ+π6??-π6??

=cos??θ+π6??cosπ6+sin??θ+6π??·sinπ6

=153× 23+1123×12=5

3+12 26 .

答案:A

5.满足 cosαcosβ= 23-sinαsinβ 的一组 α,β 的值是( )

A.α=1123π,β=34π B.α=π2,β=π3

C.α=π2,β=π6 D.α=π3,β=π4

解析:∵cosαcosβ= 23-sinαsinβ,

∴cosαcosβ+sinαsinβ= 23,即 cos(α-β)= 23,

经验证可知选项 B 正确.

答案:B

6.设 A,B 为锐角△ABC 的两个内角,向量 a=(2cosA,2sinA),b=(3cosB,3sinB).若 a,

b 的夹角为π3,则 A-B 等于(

)

π A.3

B.-π3

C.±π3

解析:cosπ3=6?cosAcos2B×+3sinAsinB?

D.±π6

=cos(A-B), 又-π2<A-B<π2,∴A-B=±π3. 答案:C 7.下列说法中不正确的是________. ①存在这样的 α 和 β 的值使得 cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ; ②不存在无穷多个 α 和 β 的值使得 cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ; ③对于任意的 α 和 β 有 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ; ④不存在这样的 α 和 β 的值使得 cos(α+β)≠cosαcosβ-sinαsinβ. 解析:对于①,当 α=kπ,k∈Z,β∈R 时等式成立,对于③显然成立,对于④显然也 成立,故选②. 答案:②

8.若 sin??π2+α??=-45,α∈??π2,π??,则 cos??π3-α??=__________.

解析:sin??π2+α??=cosα=-45,

又∵α∈??2π,π??,∴sinα= 1-cos2α=35.

∴cos??π3-α??=cosπ3cosα+sinπ3sinα

=12×??-45??+ 23×35=3

3-4 10 .

答案:3

3-4 10

9.已知 cos(α+β)=45,cos(α-β)=-45,32π<α+β<2π,2π<α-β<π,则 cos2β=

__________. 解析:由条件知 sin(α+β)=-35,sin(α-β)=35, ∴cos2β=cos[(α+β)-(α-β)] =cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =-2156-295=-1. 答案:-1
10.若 x∈??π2,π??,且 sinx=45,求 2cos??x-23π??+2cosx 的值.

解析:∵x∈??2π,π??,sinx=45,∴cosx=-35.

∴2cos??x-23π??+2cosx

=2??cosxcos23π+sinxsin23π??+2cosx

=2??-12cosx+ 23sinx??+2cosx



3sinx+cosx=4 5 3-35=4

3-3 5.

11.已知 cos??α-β2??=-35,sin??α2-β??=1123,且 α∈??π2,π??,β∈??0,π2??,求 cosα+2 β的值.

解析:∵π2<α<π,0<β<π2,

∴π4<α2<π2,0<β2<π4.

∴π4<α-β2<π,-π4<α2-β<π2.

又 cos??α-β2??=-35,sin??α2-β??=1123,

∴sin??α-β2??=45,cos??α2-β??=153. ∴cosα+2 β=cos????α-β2??-??α2-β????

=cos??α-β2??cos??α2-β??+

sin??α-β2??sin??α2-β??

=??-35??×153+45×1132

=-6155+6458=6353.

12.已知向量 a=(sinθ,-2)与 b=(1,cosθ)互相垂直,其中 θ∈??0,π2??.
(1)求 sinθ 和 cosθ 的值; (2)若 5cos(θ-φ)=3 5cosφ,0<φ<π2,求 cosφ 的值. 解析:(1)∵a⊥b,∴a·b=sinθ-2cosθ=0,即 sinθ=2cosθ. 又 sin2θ+cos2θ=1,∴4cos2θ+cos2θ=1,即 cos2θ=15.

∴sin2θ=45.∵θ∈??0,π2??,∴sinθ=2 5 5,cosθ=

5 5.

(2)∵5cos(θ-φ)=5(cosθcosφ+sinθsinφ)= 5cosφ+2 5sinφ

=3 5cosφ, ∴cosφ=sinφ.

∴cos2φ=sin2φ=1-cos2φ,即 cos2φ=12.



0<φ<π2,∴cosφ=

2 2.


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