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常见结论


高三数学(理科)常见结论
一、集合与简易逻辑
1. 注意:条件为 A ? B ,在讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况。 如: A ? {x | ax2 ? 2 x ? 1 ? 0} ,如果 A ? R ? ? ? ,求 a 的取值。 2. 从集合角度解释,若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件;若 B ? A ,则 A 是 B 的必要条件;若 A=B, 则 A 是 B 的充要条件。 3. 互为逆否关系的命题是等价命题,即原命题与逆否命题同真、同假; 如: “ sin ? ? sin ? ”是“ ? ? ? ”的充分不必要条件。 4.(1)命题 p 与命题 ? p 的真假性互异。 (2)命题 p 含有 ? 或 ? 时,我们要得到 ? p ,需要将 ? 改为 ? ,或是 ? 改为 ? ,并将后面结论改
x x 为相反的结论。如 p : “对 ?x ? R ,都有 2 ? 0 ” , ?p : “ ?x ? R , 2 ≤ 0 ”.

5. 在写出一个含有“或” 、 “且”命题的否定时,要注意“非或即且,非且即或”.

二、函
1. 在研究函数时要树立定义域优先的原则. 2. 求函数值域的方法:



①配方法:转化为二次函数,利用二次函数在给定区间上的值域来求;常转化为型如:

y ? a[ f ( x)]2 ? bf ( x) ? c , f ( x) ? (m, n) 的形式;
②逆求法(反函数法) :通过反解,用 y 来表示 x ,再由 x 的取值范围,通过解不等式,得出 y 的取

y? 值范围;常用来解,型如:

ax ? b , x ? ( m, n ) cx ? d



④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; 形如 ( ) ? ( ) ? a 求最值 ①数形结合 ②三角换元 如已知
2 2

x2 ? y 2 ? 1,求 S ? x ? y 的最大值. 3

⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如: y ? f ( x) ?

k (k ? 0) , f ( x)

①利用均值不等式公式来求值域;②利用函数 y ? t ? ⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。

k 的单调性求值域. t

⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。 如:求函数 y ? ⑨导数法 3. 函数单调性:如果求函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调性,增+增=增,减+减=减 如 y ? log2 x ? x ? 2 在区间 [2, ??) 上是增函数, y ? ? x ? 4. 判断函数奇偶性,要注意定义域是否关于原点对称.
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a ? bx (a ? 0, b ? 0, a ? b, x ? [?1,1]) 的值域. a ? bx

1 在区间 (0, ??) 上是减函数. x

5. y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x) ? f (2a ? x) ? f ( x)

? y ? f ( x ? a) 是偶函数.
y ? f ( x) 的图像关于点 (a, b) 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b ? f (2a ? x) ? 2b ? f ( x)

? y ? f ( x ? a) ? b 是奇函数.
6.反函数,同底数的指数函数与对数函数互为反函数,它们的图像关于 y ? x 对称. 互为反函数的两 个函数在各自的定义域内的单调性必相同(如果单调的话).

数 ? ? ? 1.复合函数的求导: y? x ? yu ux ,如 y ? ln(1 ? 2 x) , y ? ?

2 . 1? 2x 2.导数的几何意义: k ? f ?( x0 ) 表示曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率。 导数的物理意义: v ? s?(t ) 表示瞬时速度, a ? v?(t ) 表示加速度。 四、不 等 式 2 2 a ?b a?b 2 1.若 a, b ? 0 ,则 (当且仅当 a ? b 时取等号) ? ? ab ? 1 1 2 2 ? a b 2.绝对值不等式: a、 b 同号或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? || a | ? | b ||?| a ? b | ; a、 b 异号或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? || a | ? | b ||?| a ? b | . 五、数 列
1. 等差数列{ an }公差为 d ,Sm 、S2 m ? Sm 、S3m ? S2m 、S4m ? S3m 、 ??是等差数列, 公差为 m d 。
2

三、导

等比数列{ an }公比为 q , Sm 、 S2 m ? Sm 、 S3m ? S2m 、 S4m ? S3m 、??是等比数列,公比为 q 。
m

2. { an }为等差数列,则 c

? ? ( c ? 0 且 c ? 1 )是等比数列。{ b }( b
an
n

n

? 0 )是等比数列,则{ logc bn }

( c ? 0 且 c ? 1 ) 是等差数列。
2 3. 看到形如 an ? an?1 ? d , an 2 ? an ?1 ? d , an ? 2 an?1 ? d , Sn2 ? Sn ?1 ? d , Sn ? Sn ?1 ? d a ?a S ? S n ?1 1 1 1 1 应分别想到 {an } , {an 2 } , ? ? d, ? ? d, an ? n ?1 n ?1 , S n ? n ?1 2 2 an an ?1 Sn Sn ?1 1 1 2 } , { Sn } , { } , { } , {an } , {Sn } 是等差数列. { an } , {Sn an Sn 4.看到形如 an ? qan?1 ,an?1 ? an ? q(an ? an?1 ) ,Sn ? qSn?1 ,an 2 ? an?1 ? an?1 ,an ? t ? q(an?1 ? t ) 应

别想到 {an } , {an?1 ? an } , {Sn } , {an } , {an ? t} 是等比数列 5.出现 an 和 Sn 时或有 Sn 的表达式时,应想到 a1 ? S1 , an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 6.求等比数列前 n 项和 Sn 时,应分 q ? 1 和 q ? 1 两种情况讨论; ①当 q ? 1 时, Sn ? na1 ; 7.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法(如 an ? ②当 q ? 1 时, Sn ?

倒序相加法、分组法(如 an ? 2n ? 3n )等。关键是找数列的通项结构。

1 n ) 、错位相减法(如 an ? (2n ?1) ? 2 ) 、 n(n ? 1)

a1 (1 ? q n ) . 1? q

六、三角函数
1.若 ? ? (0,

?
2

) ,则 tan ? ? ? ? sin ? . 如 tan1 ? 1 ? sin1 .
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2. 三角函数的单调性是对区间而言的,在象限内不存在单调性. 如: ? , ? 是第二象限的角, 由 cos ? ? cos ? 不能得到 ? ? ? 的结论;但 ? , ? ? [

?

3. 在 ?ABC 中, A ? B ? sin A ? sin B ? cos A ? cos B ,但 A ? B ? tan A ? tan B 是错误的. 在 锐 角 ?ABC 中 , 一 个 内 角 的 正 弦 值 总 大 于 另 一 个 内 角 的 余 弦 值 . 如 sin A ? cos B ,

2

, ? ],则 cos ? ? cos ? ? ? ? ?

sin B ? cos A
5. a sin ? ? b cos ? ? 其中 tan ? ?

4.在 Rt ?ABC 中的斜边为 c ,直角边为 a , b ,则内接圆半径为 r ?

a 2 ? b2 (

a a ?b
2 2

sin ? ?

b a ? b2 a
2

a?b?c . 2 cos ? ) ? a 2 ? b 2 sin(? ? ? )

b b ,sin ? ? ,cos ? ? ,? 由点 ( a, b) 所在象限(或坐标轴)确定. 2 a a ? b2 a 2 ? b2 如: ? sin 2x ? 3 cos 2x ? 2sin(2x ? ? ) ,∵ tan ? ? ? 3 , (?1, 3) 在第二象限,∴ ? 是第二象 2? 限角, ? ? 2k? ? ( k ? Z ). 3 七、平面向量
1.若 a =( x1 , y1 ), b =( x2 , y2 )则 a ∥ b ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 .
2 2 ;︱ a ︱= a ? a ? x ? y . a ⊥ b ? a · b =0 ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ( a , b 为非零向量) a ?b 2. 向量 a 在 b 方向上的投影为 . b 1 3. 在 ?ABC 中, BC 边的中点为 M ,则 AM ? ( AB ? AC ) 2

4. 平面内 A 、 B 、 C 三点共线 ? ? 实数 ? 、 ? ,使得 OA ? ?OB ? ?OC 且 ? ? ? ? 1 5. 在 ?ABC 中, 0? ? ?A ? 90? ? AB ? AC ? 0 ; ?A ? 90? ? AB ? AC ? 0 ;

90? ? ?A ? 180? ? AB ? AC ? 0 ;
平面内三点 A 、 B 、 C ,

0? ? ?BAC ? 90? ? AB ? AC ? 0 且 A 、 B 、 C 三点不共线;
90? ? ?BAC ? 180? ? AB ? AC ? 0 且 A 、 B 、 C 三点不共线.

6. 在 ?ABC 中, P 为平面 ABC 内一点,则: PA ? PB ? PC ? 0 ? P 为 ?ABC 的重心;

P A ? P B ? P C? 为 P?ABC 的外心;PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? P 为 ?ABC 的垂心;
AP ? AB AB ? AP ? AC AC


2

2

2

BP ? BA BA

?

BP ? BC BC

? P 为 ?ABC 的内心;

八、立体几何
1. 若 n 为平面 ? 的法向量,直线 l ? ? ,则 l ∥ ? ? l ? n ( l 为直线 l 的方向向量). 2. 若 n 为平面 ? 的法向量, D ? ? , P ? ? 设直线 PD 与平面 ? 所成的角为 ? ,点 P 到平面 ? 的距 离为 d ,则: (1) sin ? ? cos ? n, PD ? ?

n ? PD n PD

, (2) d ?

n ? PD n
n1 ? n2 n1 ? n2

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cos ? n1 , n2 ??

3. 设 ? ? l ? ? 的平面角为 ? , n1 , n2 分别为平面 ? ,

? 的法向量,则



而 ? n1 , n2 ? 与 ? 的关系可结合图形所反映的二面角是锐二面角还是钝二面角来确定;也可遵循 以下原则来确定:若在 n1 , n2 的方向中,有一个指向二面角内部,另一个指向二面角外部,则

? n1 , n2 ? 与 ? 相等,若同时指向二面角内部或同时指向二面角外部,则 ? n1 , n2 ? 与 ? 互补.
4. 正三棱锥的对棱互相垂直. 5. 底面半径为 r ,母线长为 l 的圆锥的侧面积 S侧 ? ? rl ,侧面展开图圆心角? ?

九、平面解析几何
为 90 ? ; 2. 过圆内一定点的最长的弦是过该点的直径,最短的弦是与该直径垂直的弦.

2? r . l

1. 直线 l 将圆平分 ? l 过圆心 ? l 垂直平分圆的某条弦 ? 圆心到 l 的距离为 0 ? l 所对的圆周角

3. 若直线 l 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,且 x0 , y0 为定值,而 k 变化,则 l 过定点( x0 , y0 ). 4. 椭圆上的点到焦点的最大距离为 a ? c , 最小距离为 a ? c ; 椭圆上的点与两焦点构成的三角形中, 当点为短轴端点时三角形面积最大. 5. 过抛物线的焦点,且倾斜角为 ? 的弦长为 6. 设 F1 , F2 为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的焦点, P 为椭圆上的一点, ?F1PF2 ? ? ,则当 P 为短轴上 a 2 b2 ? 的端点时, ? 最大,此时离心率 e ? sin . 2

2p (? ? 0) ,所有焦点弦中,通径最小,长为 2 p . sin 2 ?

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