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高2012级9月理科数学考试题

高 2012 级 9 月理科数学考试题
(Ⅰ卷)

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分。将正确答案的番号填到答题卷中的答题 栏表格中) 1、已知集合 A ? {x | x2 ? 2x ? 0}, B ? {x | ?2 ? x ? 6} ,则( )
A. A

B??

B. A

B?R

C. B ? A

D. A ? B

2、 交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况, 对甲、 乙、 丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为 N,其中甲社区有驾驶 员 96 人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数 分别为 12,22,26,44,则这四个社区驾驶员的总人数 N 为 ( ) B.808 C.824 D.2014

A.104

3、 二项式 (1 ? x)n 展开式的二项式系数之和为 64, 则

(1 ? 2 x)n 展开式第四项的系数为(
A.20 B.-160 C.160

) D.-20

4、执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 8,则输出的 s 的值为( ) A.29 B.16 C.22 D.11

5、函数 f ( x) ? log 1 ( x 2 ? 3 x ? 4) 的单调递增区间为()
2

A. (0, ??)

B. (??, 0)

C. (1, ??)

D. (??, ?4) )

6、设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A. 若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n
1

B. 若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n

C. 若 m ? ? , m // n, n // ? ,则 ? ? ?

D. 若 m ? n, m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ?

7、等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y 2 ? 16 x 的准线交于

A, B 两点, | AB | =2 3 ,则 C 的实轴长为(
A. 2 13 8、设不等式组 B. 13

) C.4 D.8

?

0? x?2 ,表示平面区域为 D ,在区域 D 内随机取一个点,则此点 0? y? 2
) C. ? D. ? ? 2

到坐标原点的距离小于 2 的概率是( A. ? B. 4 ? ?

4

4

6

2

9、 已知三次函数 f ( x) ? 1 ax 3 ? x 2 ? x 在 (0, ??) 存在极大值点, 则 a 的范围是 ( )

3

A. (0,1)

B. (0,1]

C. (??, 0)

D. (??,0)

(0,1)

10、已知函数 f ( x) ? ax 2 ? 2ax ? 5(0 ? a ? 3) ,若 x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 1 ? a ,则( ) A. f ( x1) ? f ( x2) C. f ( x1) ? f ( x2) B. f ( x1) ? f ( x2) D. f ( x1) 与 f ( x2) 的大小不能确定

二、 填空题: (每小题 5 分, 共 25 分。 将正确答案填到答题卷上的相应横线上。 )
11、若 i( x ? yi) ? 3 ? 4i, x, y ? R ,则复数 2x ? yi 的模是 。

12、设向量 a ? (1, 2m), b ? (m ? 1, 2), c ? (2, m) 。若 (a ? c) ? b ,则 | a | =________. 13 、 已 知 3sin ? ? cos ? ? 2 , 则 2 ? 3sin(? ? 3? )sin( 3? ? ? ) ? cos 2(?? ) 的 值

3cos ? ? sin ?

2



。 14、 用数字 2,3 组成五位数, 且数字 2,3 至少都出现一次, 这样的五位数共有________

个.(用数字作答) 15、给出下列命题:
2

① ABC 中, A>B 是 sin A> sin B 成立的充要条件; ②当 x>0 且 x ? 1 时,有 ln x ? 1 ? 2 ;

ln x

③已知 Sn 是等差数列 {an} 的前 n 项和,若 S7 ? S5 ,则 S9 ? S3 ; ④若函数 y ? f ( x ? 3 ) 为 R 上的奇函数, 则函数 y ? f ( x) 的图象一定关于点 F ( 3 , 0)

2

2

成中心对称; ⑤函数 f ( x)=cos3 x ? sin2 x ? cos x( x ? R) 有最大值 2,有最小值 0. 其中正确命题的序号为 。

高 2012 级 9 月理科数学考试题
(Ⅱ卷)答题卷
一、选择题
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二 、填空题
11、 14、 12、 15、 13、

三、解答题: (共 75 分,其中 20 小题 13 分,21 小题 14 分,其余小题 12 分。 )
16、某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其 瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为 1 。甲、乙、丙三位同学每人购买了一

6

瓶该饮料。 (1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率; (2)求中奖人数 ? 的分布列及数学期望 E ? .

3

17、已知函数 f ( x) ? sin ? x.cos ? x ? 3 cos2 ? x ? (1)求 f ( x) 的表达式;

3 (? ? 0) 的最小正周期为 ? . 2 2

(2)将函数 f ( x) 的图象向右平移 ? 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸

8

长为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g( x) 的图象,若关于 x 的方程 g( x) ? k ? 0 在区间[0, ? ]上有解,求实数 k 的取值范围.

2

18 、直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直。 AB // CD ,

AB ? BC, AB ? 2CD ? 2BC, EA ? EB.
(1)求证: AB ? DE ; (2)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值; (3)线段 EA 上是否存在点 F ,使 EC // 平面 FBD ?若存在,求出 EF ;若不存

EA
E

在, 说明理由。

B
4

A D

C

19、已知点 A(0,-2) ,椭圆 E: x2 ?
2

a

y2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 3 ,F 是椭圆 E 的 2 b2

5

右焦点,直线 AF 的斜率为 2 3 ,O 为坐标原点.

3

(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

20 已知正项数列{an}的前 n 和为 Sn,且 (1)求证:数列{an}是等差数列; (2)若 b n=

Sn 是 1 与(an+1)2 的等比中项. 4

an ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn; 2n

(3)在(2)的条件下,是否存在常数 λ,使得数列 { 出 λ;若不存在,说明理由.

Tn ? ? } 为等比数列?若存在,试求 an ? 2

6

21、设函数 f ( x) ? ? a x 2 ? (a ? 1)x ? ln x(a ? R) 。

2

(1)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的极值; (2)当 a ? 0 时,讨论函数 f ( x) 的单调性;
2 (3)若对任意 a ? (2, 3) 及任意 x1, x2 ? [1, 2] ,恒有 a ? 1 m ? ln 2 ?| f ( x1) ? f ( x2) | ,

2

求实数 m 的取值范围。

7

苍溪实验中学高 2012 级 9 月理科数学考试题
答案
1——5 BCBCD 6——10 CA ADB 9、提示:先求出 f′(x)=3ax2-2x+1,由题意得到 f′(x)=0 有两个不同的正实数根或一 正一负根,列出等价条件△>0 且 a≠0,再进行求解. 11、 73 12、 13

3

13、3

1 2 3 4 +C5 +C5 +C5 =30 个.15、①③ 14、 C5

16、解: (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C,那么

P(A)=P(B)=P(C)= 1

6

P( A B C )=P(A)P( B )P( C )=
(2)ξ的可能值为 0,1,2,3

1 5 2 25 ( ) ? 6 6 216

……………6 分

P(ξ=k)= C3k ( ) k ( )3? k (k=0,1,2,3)
所以中奖人数ξ的分布列为

1 6

5 6

ξ
8

0

1

2

3

P Eξ=0×

125 216

25 72

5 72

1 216

1 125 25 5 1 +1× +2× +3× = 216 72 72 216 2

…………………12 分

17、解: (1)∵f(x)=sinωxcosωx+ 3 cos2ωx= 1 sin2ωx+

3 = 1 sin2ωx+ 3 1 ? cos 2? x ? 3 2 2 2 2

∴f(x)=sin(2ωx+ ? ) ∵T= 2? ? ? ,? ? ? 2

2

3 cos2ωx=sin(2ωx+ ? ) 3 2
3
∴f(x)=sin(4x+ ? ) ;

(2)将函数 f(x)的图象向右平移 ? 个单位后,得到函数的解析式为:y=sin[4(x- ? ) + ? ]=sin(4x- ? )

2?

2

3

……………6 分

8

8

3

6

再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的 图象,∴y=g(x)=sin(2x- ? ) ,

6 ∵x∈[0, ? ],∴g(x)=-k∈[- 1 ,1], 2 2 1 ]. ………12 分 2

∴k∈[-1,

E

18 、 (1) 取 AB 中点 O ,连接 OE,OD 。由已知可知

OD ? AB, OE ? AB .不妨取 AB=2。 分别以 OD、 OA、
OE 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系。则 A(0,1,0) , B(0,-1,0) ,D(1,0,0) ,E(0,0,1) ,C(1, -1,0)

B C D
……………4 分

A

? AB=(0, ?2,0), DE ? (?1,0,1), CE ? (?1,1,1),
AB ? DE ? 0 ,? AB ? DE
sin ? =|cos ? n, EC ? |=
(3)存在,理由如下:

(2)设 EC 与平面 ABE 所成角为 ? ,取平面 ABE 的法向量为 n ? (1,0,0) ,则

|n ? EC| ? 1 ? 3 3 | n || EC | 1 ? 3

……………8 分

设 EF ? ? EA ? ?(0,1, ?1) ? (0, ?, ?? ),? F(0, ?,1 ? ?),? BF ? (0, ? ? 1,1 ? ?)



?

又 BD=(1,1,0) , 设平面 BDF 的法向量为 m ? ( x, y, z) , 则由 m ? BD ? 0, m ? BF ? 0

x? y?0 ,不妨取 y ? ?1 ,则 x ? 1, z ? 1 ? ? 。 1? ? (1 ? ? ) y ? (1 ? ? )z ? 0 ? m ? (1, ?1, 1 ? ? ) 1? ?

9

由 m ? CE ? ?1 ? 1 ? 1 ? ? ? 0 得 ? = 1

1? ? 3 故存在 EA 的三分点,使 EC // 平面 FBD
19、解: (Ⅰ)设 F(c,0) ,∵直线 AF 的斜率为 2 3 ,

……………12 分

3

∴ 2 ? 2 3 ,解得 c= 3 .又 c ?

c

3

a

3 , b2 ? a 2 ? c 2 ,解得 a=2,b=1. 2
……………5 分

2 ∴椭圆 E 的方程为 x + y 2 = 1 ;

4

(Ⅱ)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) . 由题意可设直线 l 的方程为:y=kx-2.

y ? kx ? 2 ,化为(1+4k2)x2-16kx+12=0, x2 ? 4 y2 ? 4 当△=16(4k2-3)>0 时,即 k 2 > 3 时, 4 16 k 12 x1+x2= ,x 1 x 2 = . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 2 2 ∴PQ|= (1 ? k 2)[( x1 ? x2)2 ? 4x1 ? x2] ? (1 ? k 2)[( 16k 2 )2 ? 48 2 ] ? 4 1 ? 4k2 4k ? 3 , 1 ? 4k 1 ? 4k 4k ? 1 2 2 .∴S△OPQ= 1 d . | PQ |? 4 4k ? 3 , 点 O 到直线 l 的距离 d= 2 4k 2 ? 1 1? k2
联立 设 4k 2 ? 3 ? t ? 0 , 则 4k2=t2+3,

?

4t ? 4 ? 4 ? 1 ,当且仅当 t=2,即 4k 2 ? 3 ? 2 ,解得 k = ± 7 时 2 t2 ? 4 t ? 4 2 4 t 取等号.满足 >0 ,? OPQ 的面积最大值时直线 l 的方程为: y ? ? 7 x ? 2 2
∴S △ OP Q = ……………12 分 20、解: (1)∵S n = 1 ( a n +1) 2 ,∴a 1 = S 1 = 1 ( a 1 +1) 2 ,∴a1=1(an>0)

4

4

当 n≥2 时,a n = S n ? S n ? 1 = 1 ( a n +1) 2 ? 1 ( a n ? 1 +1) 2 ,∴(an+an-1) (an-an-1-2)=0

4

4

∵an>0,∴an-an-1=2,∴{an}为等差数列.……………4 分

1, (2)由(1)知,{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,∴an=2n-1,∴b n = 2n ? n 1 ,① T n = 1 ? 32 ? ... ? 2n ? n 2 2 1 T ? 1 ? 3 ? ... ? 2n ? 1 ② 2 2 n 22 23 2n ?1 1 ,∴T n = 3? 2n+3 ……………9 分 ①-②得: 1 Tn ? 1 ? 2( 12 ? 13 ? ... ? 1n ) ? 2nn? 2 2 2 2 2 2 ?1 2n ? 1 T ?? 3 ? ?) 1 ? 3 ? ? ? 1 ? (3 ? 2nn? (3)∵ n an ? 2 2 ?1 2n ? 3 2n ? 3 2n+1
10

2

易知,当 ? =-3 时,数列 {

Tn ? ? } 为等比数列 an ? 2

……………13 分

21、 (1)由题意, f ( x) 的定义域为 (0, +?)

x f ?( x) ? 0 ? x ? 1; f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1 ,所以 f ( x) 在(0,1)上递减,在 (1, +?) 递增,所以当 x=1 时, f ( x) 取极小值 f (1)=1 。 ……………4 分 ?a( x ? 1 )( x ? 1) a 1 ? a ? 0 (2)当 时, f ( x) ? ?ax ? a ? 1 ? ? x x 当 f ?( x)=0 时, x=1 或 x= 1 a ? ( x ? 1)2 +?) 递减; ①当 a=1 时, f ?( x) ? ? 0 恒成立,所以 f ( x) 在 (0, x ②当 1 ? 1 即 0 ? a ? 1 时, f ?( x) ? 0 ? 1 ? x ? 1 ; f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1或x ? 1 , a a a 1 ) 上递增,在(0,1)和 ( 1 , ??) 递减; 所以 f ( x) 在 (1, a a 1 1 ③当 ? 1 即 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 ? ? x ? 1; f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1 或x ? 1 ,所 a a a 1 ) 和 (1, ??) 递减。 1) 上递增,在 (0, 以 f ( x) 在 ( 1 , ……………9 分 a a , 2] 上递减。 (3)由(2)知当 a ? (2, 3) 时, f ( x) 在 [1 2 又 由 条 件 知 a ? 1 m ? ln 2 ?| f ( x1) ? f ( x2) |max =f (1)-f (2)= a ? 1 ? ln 2 对 任 意 2 2 2 a ? 1 a a ? (2, 3) 成立,所以 m ? ? 1 对任意 a ? (2, 3) 成立,所以 m ? a2? 2 对任意 2 2 a ?1 a ? (2, 3) 成立。 ?(a ? 2)2 ? 3 ? 0 对 任 意 a ? (2, 3) 成 立 , 所 以 在 设 g(a) ? a2? 2 , 因 为 g '(a) ? (a 2 ? 1)2 a ?1 a ? (2, 3) 上, g(a) 递增, g(a) ? g(3)= 1 ,所以 m ? 1 。 ……………14 分 8 8

当 a ? 0 时, f ( x)=x-lnx ,所以 f ?( x)=1- 1 ? x ? 1 。

x

11


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