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必修5高二数学综合测试题


高二数学期中综合测试题一
一.选择题(共 10 小题) 1. (2015?山东)当 m∈N ,命题“若 m>0,则方程 x +x﹣m=0 有实根”的逆否命题是( ) 2 A.若方程 x +x﹣m=0 有实根,则 m>0 2 B.若方程 x +x﹣m=0 有实根,则 m≤0 2 C.若方程 x +x﹣m=0 没有实根,则 m>0 2 D.若方程 x +x﹣m=0 没有实根,则 m≤0 2.设数列{an}是公比为 q 的等比数列,则“0<q<1”是“{an}为递减数列”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知数列{an}是等差数列,若 a2+2,a4+4,a6+6 构成等比数列,这数列{an}的公差 d 等于( A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2 4.下列说法中,一定成立的是( ) A.若 a>b,c>d,则 ab>cd B.若|a|<b,则 a+b>0 C.若 a>b>0,则 a >b
b a * 2



D.若

,则 a<b )

5.关于 x 的不等式(mx﹣1) (x﹣2)<0 的解为 2<x< ,则 m 的取值范围是( A.m< B.m>0 C.0<m< D.0<m<2

6.已知△ ABC 的角 A、B、C 所对边的边为 a,b,c,acosA=bcosB,则该三角形现状为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形 7.关于数列 3,9,…,2187,…,以下结论正确的是( ) A.此数列不是等差数列,也不是等比数列 B.此数列可能是等差数列,也可能是等比数列 C.此数列可能是等差数列,但不是等比数列 D.此数列不是等差数列,但可能是等比数列 8. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题:把 100 个面包分给 5 个 人,使每个人的所得成等差数列,且使较大的三份之和的 是较小的两份之和,则最小一份的量为 ( A. ) B. C. D. , , ,则此人将( )

9.某人要作一个三角形,要求它的三条高的长度分别是 A.不能作出满足要求的三角形 B.作出一个钝角三角形
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C.作出一个直角三角形

D.作出一个锐角三角形

10.已知不等式组

所表示的平面区域为 D,若直线 y=kx﹣3 与平面区域 D 有公共点,

则 k 的取值范围是(

) D.[ ]

A.[﹣3,3] B. (﹣∞, ]∪[ ,+∞) C. (﹣∞,﹣3]∪[3,+∞) 二.填空题(共 5 小题) 11. (2015?山东)若“?x∈[0,

],tanx≤m”是真命题,则实数 m 的最小值为



12.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,且 3S1,2S2,S3 成等差数列,则 an= . 13.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资金不超过 54 万元,假设种植黄瓜和 韭菜的产量、成本和售价如表: 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2 万元 0.55 万元 韭菜 6吨 0.9 万元 0.3 万元 为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入﹣总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单 位:亩)分别为 . 14.已知数列{an}满足 a1=1,对所有正整数 n≥2 都有 a1?a2?a3?…?an=n ,则 an= 15.设 a,b,c 都是正数,且满足 + =1 则使 a+b>c 恒成立的 c 的取值范围是
2

. .

三.解答题(共 6 小题) 16.已知命题 P:“对任意 x∈[1,2],x ﹣a≥0”,命题 q:“存在 x∈R,x +(a﹣1)x+1<0”若“p 或 q” 为真,“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 17.在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,且满足 a<b<c,b=2asinB. (1)求 A 的大小; (2)若 a=2,b=2 ,求△ ABC 的面积. 18.已知等差数列{an}为递增数列,其前三项和为﹣3,前三项的积为 8 (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 的和 Sn. 2 19.解关于 x 的不等式 ax ﹣2(a+1)x+4>0(a∈R) 20.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面 图形如图所示) ,如果池四周围墙建造单价为 400 元/米,中间两道隔墙建造单价为 248 元/米,池底建 2 造单价为 80 元/米 ,水池所有墙的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长与宽,使总造价最低,并 求出最低总造价.
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2 2

21.已知等差数列{an}是递增数列,且满足 a4?a7=15,a3+a8=8 (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

高二数学期中综合测试题一答案
1-5 DDBBC 11、1 12、3 6-10
n﹣1 13、

DBCBC .15、 (0,9) .

30;20.14、

16、解:由命题 p 知,x 在[1,2]上的最小值为 1,∴p:a≤1; 2 2 由命题 q 知,不等式 x +(a﹣1)x+1<0 有解,∴△=(a﹣1) ﹣4>0; ∴a>3 或 a<﹣1; 即 q:a>3,或 a<﹣1; ∴若“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,则 p,q 一真一假;

2

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∴﹣1≤a≤1,或 a>3; ∴实数 a 的取值范围为[﹣1,1]∪(3,+∞) . 17、解: (1)∵b=2asinB, ∴由正弦定理化简得:sinB=2sinAsinB, ∵sinB≠0,∴sinA= , ∵a<b<c, ∴A 为锐角, 则 A= ; ,cosA=
2 2 2

(2)∵a=2,b=2



∴由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA, 即 4=12+c ﹣2×2
2 2

×c×



整理得:c ﹣6c+8=0, 解得:c=2(舍去)或 c=4, 则 S= bcsinA= ×2 ×4× =2 .

18、解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,d>0 ∵等差数列{an}前三项的和为﹣3,前三项的积为 8, ∴ ,







∵d>0,∴a1=﹣4,d=3, ∴an=3n﹣7; (2)∵an=3n﹣7,∴a1=3﹣7=﹣4, ∴Sn=
2

=



19、解:ax ﹣2(a+1)x+4>0?(ax﹣2) (x﹣2)>0…(2 分) (ⅰ)a=0 时,x﹣2<0?x∈(﹣∞,2)…(4 分)

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(ⅱ)0<a<1 时, (ⅲ)a=1 时, (x﹣2) >0?x∈(﹣∞,2)∪(2,+∞)…(8 分) (ⅳ)a>1 时, (ⅴ)a<0 时, 20、解:设污水处理池的宽为 x 米,则长为 则总造价 f(x)=400×(2x+ =1296(x+ 当且仅当 x= )+12960≥1296×2× 米. +12960 …(12 分)
2

…(6 分)

…(10 分)

)+248×2x+80×162=1296x+ +12960=38880(元) ,

(x>0) ,即 x=10 时,取等号.

∴当长为 16.2 米,宽为 10 米时总造价最低,最低总造价为 38880 元. 解: (1)设数列{an}的公差为 d(d>0) , 由题意得,a4?a7=15,a3+a8=8,则 ,

又等差数列{an}是递增数列,则解得 a4=3,a7=5, 所以 d= = ,且 a4=a1+3d,解得 a1=1, ;

则 an=a1+(n﹣1)d=

(2)由(1)得,bn= 所以 Sn= Sn= ①﹣②得, +…+ +…+ =1+2(

=



,① ,② )﹣

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=1+2×



=

, .

所以 Sn=2﹣

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2015 年 10 月 21 日雪狼王的高中数学组卷
参考答案与试题解析

一.选择题(共 10 小题) * 2 1. (2015?山东)当 m∈N ,命题“若 m>0,则方程 x +x﹣m=0 有实根”的逆否命题是( ) 2 A.若方程 x +x﹣m=0 有实根,则 m>0 2 B.若方程 x +x﹣m=0 有实根,则 m≤0 2 C.若方程 x +x﹣m=0 没有实根,则 m>0 2 D.若方程 x +x﹣m=0 没有实根,则 m≤0 考点: 四种命题间的逆否关系. 专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可. 解答: 解:由逆否命题的定义可知:当 m∈N*,命题“若 m>0,则方程 x2+x﹣m=0 有实根”的逆否命
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题是:若方程 x +x﹣m=0 没有实根,则 m≤0. 故选:D. 点评: 本题考查四种命题的逆否关系,考查基本知识的应用. 2. (2015?马鞍山二模) 设数列{an}是公比为 q 的等比数列, 则“0<q<1”是“{an}为递减数列”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 充要条件. 专题: 等差数列与等比数列;简易逻辑. 分析: 根据等比数列 的性质可判断:当 a1<0 时,“0<q<1”“{an}为递增数列”;{an}为递减数列”,
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2

a1<0 时,q>1,根据充分必要条件的定义可以判断答案. 解答: 解:∵数列{an}是公比为 q 的等比数列,则“0<q<1”, ∴当 a1<0 时,“{an}为递增数列”, 又∵“0<q<1”是“{an}为递减数列”的既不充分也不必要条件, 故选:D 点评: 本题考察了等比数列的性质,充分必要条件的定义,属于容易题. 3. (2015?贵州二模)已知数列{an}是等差数列,若 a2+2,a4+4,a6+6 构成等比数列,这数列{an}的公 差 d 等于( ) A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 a4 和 d 的方程,进而可得 d 的方程,解方程可得.
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解答: 解:由题意 a2+2,a4+4,a6+6 构成等比数列, ∴(a4+4) =(a2+2) (a6+6) , 2 ∴(a4+4) =(a4﹣2d+2) (a4+2d+6) , 2 2 ∴a4 +8a4+16=a4 +(2d+6﹣2d+2)a4+(2d+6) (﹣2d+2) , 2 2 ∴a4 +8a4+16=a4 +8a4+(2d+6) (﹣2d+2) , ∴(2d+6) (﹣2d+2)=16, 解得 d=﹣1, 故选:B. 点评: 本题考查等比数列的通项公式和等差数列的通项公式,属基础题. 4. (2015 春?重庆校级期中)下列说法中,一定成立的是( A.若 a>b,c>d,则 ab>cd B.若|a|<b,则 a+b>0 C.若 a>b>0,则 a >b
b a 2



D.若
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,则 a<b

考点: 不等关系与不等式. 专题: 不等式. 分析: 通过取特殊值,判断 A,C,D,通过绝对值的性值得到 B 一定成立. 解答: 解:对于 A,若 a=2,b=1,c=﹣4,d=﹣5,显然 ab<cd,故 A 不一定成立; 对于 B,若|a|<b,则﹣b<a<b,故 a+b>0 一定成立, 3 4 对于 C,若 a=4,b=3 时 4 =64,3 =81,不成立, 对于 D,当 a=1,b=﹣2 时,不成立, 故选:B. 点评: 本题考查了不等式的性质,考查了推理能力,属于基础题

5. (2014 秋?柯城区校级期中)关于 x 的不等式(mx﹣1) (x﹣2)<0 的解为 2<x< ,则 m 的取值 范围是( A.m< ) B.m>0 C.0<m<
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D.0<m<2

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据一元二次不等式与二次函数之间的关系,可知 m>0,并且对于方程的两根为 即可. 解答: 解:由已知关于 x 的不等式(mx﹣1) (x﹣2)<0 的解为 2<x< , 可得 m>0 并且 ,解得 0<m< ;
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,解之

故选 C. 点评: 本题考查了一元二次不等式的解法以及三个二次之间的关系,属于基础题. 6. (2015 春?淮南校级期中)已知△ ABC 的角 A、B、C 所对边的边为 a,b,c,acosA=bcosB,则该 三角形现状为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: acosA=bcosB,利用正弦定理可得 sinAcosA=sinBcosB,利用倍角公式可得 sin2A=sin2B,可得 2A=2B 或 2A+2B=π,即可得出. 解答: 解:∵acosA=bcosB, 由正弦定理可得 sinAcosA=sinBcosB, ∴sin2A=sin2B, ∴2A=2B 或 2A+2B=π,
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化为 A=B 或 A+B+



∴哎三角形为直角三角形或等腰三角形. 故选:D. 点评: 本题考查了正弦定理、倍角公式、正弦函数的单调性,属于基础题. 7. (2015 春?黄山期末)关于数列 3,9,…,2187,…,以下结论正确的是( A.此数列不是等差数列,也不是等比数列 B.此数列可能是等差数列,也可能是等比数列 C.此数列可能是等差数列,但不是等比数列 D.此数列不是等差数列,但可能是等比数列 考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等差数列、等比数列的性质验证即得结论. 解答: 解:一方面∵ =729,
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∴该数列有可能是以首项和公比均为 3 的等比数列; 另一方面∵ =363,

∴该数列有可能是以首项为 3、公差为 6 的等比数列; 故选:B. 点评: 本题考查等差、等比数列的判定,注意解题方法的积累,属于基础题.
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8. (2015?湖北二模) 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题:把 100 个面包分给 5 个人,使每个人的所得成等差数列,且使较大的三份之和的 是较小的两份之和, 则最小一份的量为( A. B. C. ) D.
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考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 易得中间的那份为 20 个面包,设最小的一份为 a1,公差为 d,由题意可得 a1 和 d 的方程,解 方程可得. 解答: 解:由题意可得中间的那份为 20 个面包, 设最小的一份为 a1,公差为 d, 由题意可得[20+(a1+3d)+(a1+4d)]× =a1+(a1+d) , 解得 a1= , 故选:C. 点评: 本题考查等差数列的通项公式,属基础题.

9. (2015 春?双鸭山校级期末)某人要作一个三角形,要求它的三条高的长度分别是



, ,则

此人将( ) A.不能作出满足要求的三角形 B.作出一个钝角三角形 C.作出一个直角三角形 D.作出一个锐角三角形 考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 先设出三边来, 根据面积相等和三条高的长度求得 a, b 和 c 的比, 进而利用余弦定理求得 cosA 通过结果小于 0 判断出 A 为钝角. 解答: 解:设三边分别为 a,b,c,利用面积相等可知 a= b= c,
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∴a:b:c=13:11:5 令 a=13,b=11,c=5 由余弦定理得 cosA= <0,所以角 A 为钝角,

故选:B. 点评: 本题主要考查了余弦定理的应用和三角形形状的判断. 在判断三角形的形状时常可通过判断三 个角的余弦值正负来判断三角形是否是钝角三角形.
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10. (2015?兰州一模)已知不等式组

所表示的平面区域为 D,若直线 y=kx﹣3 与平面区

域 D 有公共点,则 k 的取值范围是(

) D.[ ]

A.[﹣3,3] B. (﹣∞, ]∪[ ,+∞) C. (﹣∞,﹣3]∪[3,+∞)
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考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识即可得到结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域,y=kx﹣3 过定点 D(0,﹣3) , 则 kAD= ,kBD= =﹣3,

要使直线 y=kx﹣3 与平面区域 M 有公共点, 由图象可知 k≥3 或 k≤﹣3, 故选:C

点评: 本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的求解,利用数形结合是解决本题的关键. 二.填空题(共 5 小题) 11. (2015?山东)若“?x∈[0, ],tanx≤m”是真命题,则实数 m 的最小值为 1 .

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用;三角函数的图像与性质. 分析: 求出正切函数的最大值,即可得到 m 的范围.
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解答:

解:“?x∈[0,

],tanx≤m”是真命题,

可得 tanx≤1,所以,m≥1, 实数 m 的最小值为:1. 故答案为:1. 点评: 本题考查函数的最值的应用,命题的真假的应用,考查计算能力. 12. (2015?湖南)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,且 3S1,2S2,S3 成等差数列,则 an= n﹣1 3 . 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用已知条件列出方程求出公比,然后求解等比数列的通项公式. 解答: 解:设等比数列的公比为 q,Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,且 3S1,2S2,S3 成等差 数列,
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可得 4S2=S3+3S1,a1=1, 2 即 4(1+q)=1+q+q +3,q=3. n﹣1 ∴an=3 . n﹣1 故答案为:3 . 点评: 本题考查等差数列以及等比数列的应用,基本知识的考查. 13. (2015?武侯区校级模拟)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资金不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如表: 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2 万元 0.55 万元 韭菜 6吨 0.9 万元 0.3 万元 为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入﹣总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单 位:亩)分别为 30;20 . 考点: 简单线性规划的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x,y 亩,总利润 z 万元,求出目标函数,以及线性约束条件, 利用线性规划求出结果即可. 解答: 解:设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x,y 亩,总利润 z 万元, 则目标函数 z=(0.55×4x﹣1.2x)+(0.3×6y﹣0.9y)=x+0.9y
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线性约束条件为



做出可行域,求得 A(0,50) ,B(30,20) ,C(0,45) , 平移直线 z=x+0.9y,可知直线 z=x+0.9y,经过点 B(30,20) , 即 x=30,y=20 时,z 取得最大值. 故答案为:

点评: 本题考查线性规划的简单应用,考查分析问题解决问题的能力. 14. (2015 春?上饶期末)已知数列{an}满足 a1=1,对所有正整数 n≥2 都有 a1?a2?a3?…?an=n ,则 an= .
2

考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 在原数列递推式中,取 n=n﹣1 得另一递推式,作商后求得数列的通项公式. 解答: 解:由 a1?a2?a3?…?an=n2,得
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a1?a2?a3?…?an﹣1=(n﹣1) (n≥2) , 两式作商得: (n≥2) ,

2





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故答案为:11、1 12、3

n﹣1 13、

30;20.14、



点评: 本题考查数列递推式,考查了由数列递推式求数列的通项公式,属基础题.

15. (2015?安康二模) 设 a, b, c 都是正数, 且满足 + =1 则使 a+b>c 恒成立的 c 的取值范围是 (0, 9) . 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由题意得(a+b) ( + )=1+4+ +
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,利用基本不等式的性质即可得出.

解答:

解:∵a,b,c 都是正数,且满足 + =1, ∴(a+b) ( + )=1+4+ + ≥5+2 =5+4=9,且仅当 a=3,b=6 时取等号.

∵a+b>c 恒成立,且 c>0. ∴0<c<9. 故答案为: 点评: 本题考查了基本不等式的性质,考查了推理能力和计算能力,属于中档题. 三.解答题(共 6 小题) 16. (2014 秋?西陵区校级期末)已知命题 P:“对任意 x∈[1,2],x ﹣a≥0”,命题 q:“存在 x∈R,x + (a﹣1)x+1<0”若“p 或 q”为真,“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据二次函数的最值,一元二次不等式解的情况和判别式△ 的关系即可求出 p:a≤1,q:a<﹣ 1,或 a>3,而根据“p 或 q”为真,“p 且 q”为假知道 p 真 q 假,或 p 假 q 真两种情况,所以求 出每种情况的 a 的取值范围并求并集即可. 解答: 解:由命题 p 知,x2 在[1,2]上的最小值为 1,∴p:a≤1; 2 2 由命题 q 知,不等式 x +(a﹣1)x+1<0 有解,∴△=(a﹣1) ﹣4>0; ∴a>3 或 a<﹣1; 即 q:a>3,或 a<﹣1; ∴若“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,则 p,q 一真一假;
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2

2

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∴﹣1≤a≤1,或 a>3; ∴实数 a 的取值范围为[﹣1,1]∪(3,+∞) . 点评: 考查二次函数在闭区间上的最值,一元二次不等式解的情况和判别式△ 的关系,以及 p 或 q, p 且 q 的真假和 p,q 真假的关系. 17. (2015?松江区一模) 在△ ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 所对的边, 且满足 a<b<c, b=2asinB. (1)求 A 的大小; (2)若 a=2,b=2 ,求△ ABC 的面积. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)已知等式利用正弦定理化简,根据 sinB 不为 0 求出 sinA 的值,根据 A 为锐角求出 A 的 度数即可; (2)由 a,b,cosA 的值,利用余弦定理求出 c 的值,根据 b,c,sinA 的值,利用三角形面 积公式即可求出三角形 ABC 面积. 解答: 解: (1)∵b=2asinB, ∴由正弦定理化简得:sinB=2sinAsinB,
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∵sinB≠0,∴sinA= , ∵a<b<c, ∴A 为锐角, 则 A= ; ,cosA=
2 2 2

(2)∵a=2,b=2



∴由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA, 即 4=12+c ﹣2×2
2 2

×c×



整理得:c ﹣6c+8=0, 解得:c=2(舍去)或 c=4, 则 S= bcsinA= ×2 ×4× =2 .

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 18. (2015 春?大庆校级月考)已知等差数列{an}为递增数列,其前三项和为﹣3,前三项的积为 8
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(1)求等差数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 的和 Sn. 考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)设等差数列{an}的公差为 d, (d>0) ,根据条件,建立方程组,解方程组可得 a1、d,进 而可得通项公式; (2)利用等差数列的求和公式可得结论. 解答: 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,d>0
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∵等差数列{an}前三项的和为﹣3,前三项的积为 8, ∴ ,







∵d>0,∴a1=﹣4,d=3, ∴an=3n﹣7; (2)∵an=3n﹣7,∴a1=3﹣7=﹣4, ∴Sn= = .

点评: 本题考查等差数列的前 n 项和公式和通项公式,正确运用公式是关键.考查学生的计算能力. 19. (2014?芙蓉区校级模拟)解关于 x 的不等式 ax ﹣2(a+1)x+4>0(a∈R) 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 对 a 分类:a=0,a<0,0<a<1,a=1,a>1,分别解不等式即可. 2 解答: 解:ax ﹣2(a+1)x+4>0?(ax﹣2) (x﹣2)>0…(2 分) (ⅰ)a=0 时,x﹣2<0?x∈(﹣∞,2)…(4 分)
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2

(ⅱ)0<a<1 时, (ⅲ)a=1 时, (x﹣2) >0?x∈(﹣∞,2)∪(2,+∞)…(8 分) (ⅳ)a>1 时, (ⅴ)a<0 时, 点评: 本题考查不等式的解法,考查分类讨论思想,是中档题.
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2

…(6 分)

…(10 分) …(12 分)

20. (2014 秋?衡阳县校级期末)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水 处理池,池的深度一定(平面图形如图所示) ,如果池四周围墙建造单价为 400 元/米,中间两道隔墙 建造单价为 248 元/米,池底建造单价为 80 元/米 ,水池所有墙的厚度忽略不计,试设计污水处理池 的长与宽,使总造价最低,并求出最低总造价.
2

考点: 基本不等式在最值问题中的应用;基本不等式. 专题: 应用题. 分析: 污水处理池的底面积一定,设宽为 x 米,可表示出长,从而得出总造价 f(x) ,利用基本不等 式求出最小值即可. 解答: 解:设污水处理池的宽为 x 米,则长为 米.
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则总造价 f(x)=400×(2x+ =1296(x+ 当且仅当 x= )+12960≥1296×2×

)+248×2x+80×162=1296x+ +12960=38880(元) ,

+12960

(x>0) ,即 x=10 时,取等号.

∴当长为 16.2 米,宽为 10 米时总造价最低,最低总造价为 38880 元. 点评: 本题主要考查了建立函数解析式,利用基本不等式求函数最值的能力,同时考查了运算求解能 力,属于中档题. 21. (2010 秋?夏津县校级期中)已知等差数列{an}是递增数列,且满足 a4?a7=15,a3+a8=8 (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等差数列的性质和题意得
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,求出 a4=3、a7=5,利用等差数列的性质、

通项公式求出公差 d、a1,代入等差数列的通项公式求出通项;
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(2)由(1)和题意求出 bn,据其特点是由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成,利用错 位相减法求出数列的前 n 项和. 解答: 解: (1)设数列{an}的公差为 d(d>0) , 由题意得,a4?a7=15,a3+a8=8,则 ,

又等差数列{an}是递增数列,则解得 a4=3,a7=5, 所以 d= = ,且 a4=a1+3d,解得 a1=1, ;

则 an=a1+(n﹣1)d=

(2)由(1)得,bn= 所以 Sn= Sn= ①﹣②得, +…+ +…+ =1+2(

=



,① ,② )﹣

=1+2×



=

, .

所以 Sn=2﹣

点评: 本题考查等差数列的性质、 通项公式, 等比数列前 n 项公式, 数列求和方法: 错位相减法求和, 考查化简、运算能力,属于中档题.

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