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第二讲概率定义与性质


第二节

概率空间

频率的定义与性质 概率的定义 概率的性质 小结 布置作业

1

研究随机现象,不仅关心试验中会出现哪些 事件,更重要的是想知道事件出现的可能性大小, 也就是事件的概率.
问题:是否可以用数字来度量随机事件发生的可能性的大小?

概率是随机事件 发生可能性大小 的度量

事件发生的可能性 越大,概率就 越大!

2

了解事件发生的可能性即概率的大小,对 人们的生活有什么意义呢?

3

例如,了解发生意外人身事故的可能性 大小,确定保险金额.

4

了解来商场购物的顾客人数的各种可能性 大小,合理配置服务人员.

5

了解每年最大洪水超警戒线可能性大 小,合理确定堤坝高度.

6

一、频率的定义
频率 设在 n 次重复试验中 ,事件 A 出现了f n (A)次 , :
则称f n ( A)为事件 A 在 n 次试验中出现的频数 ,比值
f n ( A) 为事件 A 在 n 次试验中出现的频率 ,记为Fn ? A? , n

即 Fn ? A ? ?

f n ? A? n

.

频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小
7

频率的三个性质
(1) 0 ? Fn ? A ? ? 1 ;

? 2?

Fn ? ? ? ? 1 ;
是两两互斥事件 , 则

? 3? 设 A1 ,A2 ,?,Ak

Fn ? A1 ? A2 ??? Ak ? ? Fn ? A1 ? ? Fn ? A2 ? ??? Fn ? Ak ?

8

抛掷钱币试验记录
试验者 De Morgan Bufen 抛币次数n “出现正面”次数 频率 Fn ( A)

2084
4040

1061
2048

0.518
0.5069

Pearson
Pearson

12000
24000

6019
12012

0.5016
0.5005

9

从上表中可以看出 ,出现 ?正面向上? 的频率Fn ? A?

虽然随 n 的不同而变动 , 但总的趋势是随着试验次
数的增加而逐渐稳定在0.5 这个数值上 .
频率的稳定值





10

二、概率的公理化定义
【定义 1】设 ? 是抽象点 ? 构成的集合, ?=(?) ? 中的某些 , 子集 A 所构成的集??称为 ? 的一个? -代数,如果??满足下列条 件:?

(i) ? ? F ; (ii)如果 A ? F 则A?F (A=?-A) (iii)如果可列多个 Am ? F
?

, U Am ? F 则
m ?1

11

σ-代数的性质
(A) ? ??? (B)如有可列个 Am ? ??,m=1,2,…则 ? Am ???
m ?1 ?

(C)如有限多个 Am ? ??,m=1,2,…,n 则 ? Am ??? , ? Am ???
m ?1 m ?1

n

n

(D)如 A??, B ??,则 A ? B ? AB ??

12

(其中A? F ) 【定义 2】设 P(A) 是定义在? -代数?上的实值集函

数,如果它满足下列条件,就称它为?上的概率测度,简称为 概率。?

?1? 0 ? P ? A? ? 1 ; ?A ? F
? 2?
P ??? ? 1 ;

非负性 规范性 可列可加性

? 3? 对于可列个两两互斥事件 A1 , A2 ,?, 有
?? ? P ? ? Am ? ? P ? A1 ? ? P ? A2 ? ?? ? ? P( Am ) ? m?1 ? m?1
?

并称三元总体(Ω ,?,P)为概率空间?

13

例 1:设 ? ? (w1 , w2 ,..., wn ) 只含 n 个不同的基本事件,Ω 的全体子 集记为?,因而? ? {?;( w1 ),( w2 ),...,( wn );( w1, w2),( w1, w3),...,( wn?1, wn);..., ?}
?n? n n 共含 ? ? i ? ? (1 ? 1) ? 2 个不同的集合,由于?包含Ω i ?0 ? ?
n

的所有子

集,因而显然满足定义 1 的三个条件,故此?是Ω 中的一个 ? 代数,如果对任一 A? ?,定义?

k ?? P( A) ? n
其中 k 是 A 中含有的基本事件的个数,则可知 P(A)满足定 义 2 中的三个条件,所以(Ω ,?,P)是概率空间,此空间 称为古典型的概率空间。
14

三、概率的性质
性质1

P ??? ? 0 .

证 因为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由于上式右端可列个事件两两互斥 , 故由概率公
理化定义的可列可加性, 有 P ? ? ? ? P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 再由概率的非负性可得,
P ??? ? 0 .
15

? P ?? ? ? P ?? ? ? ? ? P ?? ? ? ?

有限可加性

性质2

设有限个事件 A1 , A2 ,?, An 两两互斥 , 则

P ? A1 ? A2 ? ? ? An ? ? P ? A1 ? ? P ? A2 ? ? ? ? P ? An ? .

证 因为
A1 ? A2 ? ? ? An ? A1 ? A2 ? ? ? An ? ? ? ? ? ?

所以由可列可加性及性 1 , 有 质
P ? A1 ? A2 ? ? ? An ? ? P ? A1 ? A2 ? ? ? An ? ? ? ? ? ?? ? P ? A1 ? ? P ? A2 ? ? ? ? P ? An ? ? 0 ? 0 ? ? ? P ? A1 ? ? P ? A2 ? ? ? ? P ? An ? . ? P ? A1 ? ? P ? A2 ? ? ? ? P ? An ? ? P ? ? ? ? P ? ? ? ? ?

16

性质 3 对于任何事件 A , 有

P ? A ? ? 1 ? P ? A? .


所以 并且

因为
A ? A ? ? ,且 AA ? ? .

P ? A ? A ? ? P ?? ? ? 1 . P ? A ? A ? ? P ? A? ? P ? A ? P ? A ? ? 1 ? P ? A? .
17

由以上两式可得, P ? A? ? P ? A ? ? 1



性质 4 设 A、B 为两事件 , 且 A ? B , 则
P ? A ? B ? ? P ? A ? ? P ? B ? 并且 P ? A ? ? P ? B ? .

证 如图 ,因为 A ? B , 所以 A ? B ? ? A ? B ? 并且 B ? A ? B ? ? ?
于是由性质 2 , 可得 P ? A? ? P ? B ? ? P ? A ? B ?
A B

?

也即 P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? ,
P ? A? ? P ? B ? .

A? B

又由概率的非负性, 有 P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? ? 0



18

性质 5 对于任一事件 A , 都有 P ? A? ? 1 .

证 因为对于任一事件A , 都有 A?? 故由性质 4 , 可得
P ? A? ? P ?? ? ? 1 .
性质 6 设 A, B 为任意两个事件 , 则
P ? A ? B ? ? P ? A ? ? P ? B ? ? P ? AB ?

19

证 如图所示 ,

A ? B ? A ? ? B ? AB ?
而且
所以
P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? AB ?
A ? B ? AB ? ? ?

?
A

AB

B

? P ? A? ? P ? B ? ? P ? AB ? .

由此性质还可推得
P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? .
推广

【系1】 P( ? Am ) ? ? P( Am ) 1.
m?1 m?1

n

n

性质6还可以推广 :
20

P ? A ? B ? C ? ? P ? A? ? P ? B ? ? P ?C ? ? P ? AB ? ? P ? AC ? ? P ? BC ? ? P ? ABC ? P ? A ? B ? C ? D ? ? P ? A? ? P ? B ? ? P ?C ? ? P ? D ?

? P ? AB ? ? P ? AC ? ? P ? AD ? ? P ? BC ? ? P ? BD ? ? P ?CD ?
? P ? ABC ? ? P ? ABD ? ? P ? BCD ? ? P ? ACD ? ? P ? ABCD ?

21

? ?? P ? Ai ? ? ? P ? Ai A j ? ? ? P ? Ai A j Ak ? P ? ? Ai ? ? 1? i , j ,k ? n 1? i , j ? n ? i ?1 ? i ? 1 n ?1 ? ? ? ?? 1? P ? A1 A2 ? An ?
n

n

若记s1 ? ? P( Ai ) , s2 ? ? P( Ai Aj )
i i, j

s3 ? ? P( Ai Aj Ak ),..., sn ? P ( A1 A2 ... An )
i , j ,k

则上式可写成: 【系 2】 (一般的加法公式)对任意 n 个事件 A , A2 ,..., An 有 1

P ( ? Ai ) ? s1 ? s2 ? s3 ? s4 ? ... ? sn
i ?1
22

n

【定理 2】 (连续性定理)设 An ? ?, An ? An ?1 , n ? 1, 2,...,

令A ? ? An , 则
n ?1

?

P( A)? l i m nA P (
n ??

)

(15)?

【系 3】设 An ? ?, An ? An ?1 , n ? 1, 2,..., 令A ? ? An , 则
n ?1

?

P( A)? l i m nA P (
n ??

)

(16)?

23

1、P(?) =0 .
2

设有限个事件 A1 , A2 ,?, An 两两互斥 , 则

3、P ? A ? ? 1 ? P ? A ? .

P ? A1 ? A2 ? ? ? An ? ? P ? A1 ? ? P ? A2 ? ? ? ? P ? An ? .

4 设 A、B 为两事件 , 且 A ? B , 则
P ? A ? B ? ? P ? A ? ? P ? B ? 并且 P ? A ? ? P ? B ? .

5 对于任一事件 A , 都有 P ? A? ? 1 .
6

设 A, B 为任意两个事件 , 则
P ? A ? B ? ? P ? A ? ? P ? B ? ? P ? AB ?
24

1 例1 设 A、B 为两个随机事件 ,且已知 P ? A ? ? , 4 1 P ? B? ?   ,就下列三种情况求概率 P ? BA ? . 2 1 ?1? A 与 B 互斥 ; ? 2 ? A ? B ; ?3 ? P ? AB ? ? . 9

解 ?1?由于 A、B 互斥 , 所以

于是 所以

1 P ? BA ? ? P ? B ? ? . 2

B? A BA ? B

?

A

B

A、B 互斥
25

?2? 因为 A ? B , 所以
P ? BA ? ? P ? B ? A? ? P ? B ? ? P ? A? 1 1 1 ? ? ? . 2 4 4
B
A

?

A? B
?
A

?3? P ? BA ? ? P ? B ? AB ?
? P ? B ? ? P ? AB ? 1 1 7 ? ? ? . 2 9 18
AB

B

A? B
26

P ? AB ? ? P ? BC ? ? 0, P ? AC ? ? .求 A、B、C 至少有  8 一个发生的概率   .

1 例2 设 A、B、C 是三事件 , 且 P ? A? ? P ? B ? ? P ?C ? ? , 4 1



P? A? B ?C?

? P ? A? ? P ? B ? ? P ?C ? ? P ? AB ? ? P ? AC ? -P (BC ) ? P ( ABC )
1 1 1 ? 3? ? ? ? 0 2 4 8 5 ? 8
27

课堂练习: 1、设P(A)=0.1,P(AUB)=0.3,且A与B是互不 相容的,求P(B) 2、设P(A)=1/3,P(B)=1/4,P(AUB)=1/2,求 P( A ? B)

28

四、小结
频率的定义与性质 概率的公理化定义及概率的性质

29

作业:习题一,5 利用事件的运算律简化下列各式 1 设随机事件 A、B 的概率分别为 P(A)=0.4,P(B)=0.3 求下列三种情况下的 P ( AB ) 的值 (1)A、B 互不相容 (2) B ? A (3)P(AB)=0.12 2.设 P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A∪B)=0.6,求 (1) P( AB) , (2) P ( AB ) , (3) P ( AB ) 3、已知 P( A) ? P( B) ? P(C ) ? , P( AB) ? P( BC ) ? 求下列事件的概率; (1)A,B,C 全不发生的概率 (2)A,B,C 恰好发生一个的概率 (3)A,B,C 至多发生一个的概率
30

1 4

1 , P( AC ) ? 0 16


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