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2014级高一新生入学考试数学试卷及答案

2014 级高一新生入学考试数学试卷
(总分:120 分,时间:120 分钟)
一、选择题 (本题有 10 个小题, 每小题 3 分, 共 30 分) 1.新华社 3 月 5 日报道,中国计划将 2014 年国防预算提高 12%,达到约 8082 亿元人民币,将 8082 亿用科学计数法表示应为( ) A、80.82×10
10

B、8.082×10 )
2 2

3

C、8.082×10

11

D、0.8082×10

12

2.下列计算中,正确的是( A.3a-2a=1

B.(x+3y) =x +9y

2

C.(x ) =x

5

2

7

D.(-3) =

-2

1 9

3.如图,已知 PA、PB 是⊙O 的切线,A、B 为切点,AC 是⊙O 的直径,∠P=40°,则∠BAC 的大小 是( ) A. 70° B. 40° C. 50° D. 20°

4 ?x ? 2 ? 5 ?2?x? 5 4.若不等式组 ? 的解集为空集,则 a 的取值范围是( ?x ? a ?
A. a>3 B. a≥3 C. a < 3 D. a≤ 3



5.已知关于 x的方程5x ? 4 ? a ? 0无解, 4x ? 3 ? b ? 0有两个解 , 3x ? 2 ? c ? 0 只有一个解,则 化简 a ? c ? c ? b ? a ? b 的结果是 A、2a B、2b ( ) C、2c D、0

6.某班分成甲、乙两组去距离学校 4km 的烈士陵园扫墓.甲组步行,乙组骑自行车,他们同时从学 校出发,结果乙组比甲组早 20min 到达目的地.已知骑自行车的速度是步行速度的 2 倍,设步行的 速度为 x km/h,则 x 满足的方程为( )

A.

4 4 - =20 x 2x

B.

4 4 - =20 2x x

C.

4 4 1 - = x 2x 3

D.

4 4 1 - = 2x x 3
( )

7. 下列图中阴影部分的面积与算式 | ?

3 1 | ? ( ) 2 ? 2 ?1 的结果相同的是 4 2

y (1,1) 0 x

y y=2x 0 1 B x

y y=x2-1

y
y? 3 x

3x 0 x 0 x

A
8.∵ sin 30 ?

C

D

1 1 2 , sin 210 ? ? ,∴ sin 210 ? sin(180 ? 30 ) ? ? sin30 ;∵ sin 45 ? , 2 2 2

1

sin 225 ? ?

2 ,∴ sin 225 ? sin(180 ? 45 ) ? ? sin 45 ,由此猜想、推理知:一般地当 ? 为 2


锐角时有 sin(180 ? ? ) ? ? sin ? ,由此可知: sin 240 ? ( A. ?

1 2

B. ?

2 2

C. ?

3 2

D. ? 3

9.如图。在四边形纸片 ABCD 中,∠A=130°,∠C=40°,现将其右下角向内折出⊿FGE,折痕为 EF, 恰使 GF∥AD,GE∥CD,则∠B 的度数为( ) A.90° B.95° C.100° D.105° 10.如图, 在⊿ABC 中, ∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O, 过点 O 作 EF∥BC 交 AB 于 E, 交 AC 于 F, 过点 O 作 OD⊥AC 于 D。下列四个结论: ①以 E 为圆心、BE 为半径的圆与以 F 为圆心、CF 为半径的圆外切;②∠BOC=90°+ ③EF 不能成为⊿ABC 的中位线;④设 OD=m,AE+AF=n,则 S⊿AEF =mn. 其中正确的结论是: A.①②③ B.①②④ C.②③④
C

1 ∠A; 2

D.①③④

A
D

D

E
E G A F B

O

F C

B
(第 10 题)

(第 9 题)

二. 填空题(本题有 6 个小题, 每小题 4 分, 共 24 分) 11.某小区 20 户家庭的日用水量(单位:吨)统计如下: 日用水量(单位:吨) 户数 4 1 5 3 6 6 7 5 8 4 9 1

则这 20 户家庭日用水量的众数、中位数分别是 . 12. 如图,△ABC 中,BD 平分∠ABC, AD ? BD 于 D, F 为 AC 中点,AB = 5, BC = 7, 则 DF = 13. 在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°, CD ? AB于D ,AC=10, CD=6,则 sinB 的值为_____。

A F D B C
(第 12 题) (第 13 题)
A D

C

B

第 14 题

14.如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC, ?C ? 90 ,AB=AD=6,BC=9,以 A 为圆心在梯形内画出一个最 大的扇形(图中阴影部分)的面积是
2



1 x 3 3 1 1 ? ,f( )= 3 ? , 15. 对于正数 x,规定 f(x)= ,例如 f(3)= 1 4 1? x 1? 3 4 3 1? 3 1 1 1 1 1 计算 f( )+ f( )+ f( )+ ?f( )+ f( )+ f(1)+ f(1)+ f(2)+ 2014 2013 2012 3 2
f(3)+ ? + f(2012)+ f(2013)+ f(2014)=
. 2 16.已知二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列 5 个结论:①abc >0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b>m(am+b) (m≠1 的实数) .其 中正确的结论有 (填序号) 三、简答题 (本题有 7 个小题, 共 66 分) 17. (本小题满分 6 分) 请你先化简代数式
(第 16 题)

a2 ?1 2a ? a 2 ? ? a ,再从 0,3,-1 中选择一个合适的 a 的值代入求值。 a?2 a 2 ? 2a ? 1

18、 (本小题满分 8 分) 设 a,b 是任意两个不等实数,我们规定:满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的所有取值的全体叫做闭区 间,表示为{a,b},对于一个函数,如果它的自变量 x 与函数值 y 满足:当 m≤x≤n 时,有 m≤y≤n, 我们就称此函数是闭区间{m,n}上的“闭函数”. (1)反比列函数 y ?

2013 是闭区间{1,2013}上的“闭函数”吗?请判断并说明理由; x

(2)若一次函数 y=kx+b(k≠0)是闭区间{m,n}上的“闭函数” ,求此函数的解析式:

3

19. (本小题满分 8 分) 如图 1, 某超市从底楼到二楼有一自动扶梯, 图 2 是侧面示意图. 已知自动扶梯 AB 的坡度为 1: 2.4, AB 的长度是 13 米,MN 是二楼楼顶,MN∥PQ,C 是 MN 上处在自动扶梯顶端 B 点正上方的一点,BC⊥ MN,在自动扶梯底端 A 处测得 C 点的仰角为 42°,求二楼的层高 BC(精确到 0.1 米) . (参考数据: sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)

4

20.(本小题满分 8 分) 某厂将 A,B,C,D 四种型号的空调的销售情况绘制成了图 1 和图 2 两幅尚不完整的统计图. (1)请补全图 2 的条形统计图; (2)为了应对激烈的市场竞争,该厂决定降价促销,A,B,C,D 四种型号的空调分别降价 30%,10%, 10%,30%,因此该厂宣称其产品平均降价 20%,你认为该厂的说法正确吗?请通过计算说明理由. (3)为进一步促销,该厂决定从这四种型号空调中任意选取两种型号空调降价销售,请用树状图或 列表法求出降价空调中含 D 种型号空调的概率.

5

21. (本小题满分 10 分) 【问题】如图 1、2 是底面为 1cm,母线长为 2cm 的圆柱体和圆锥体模型.现要用长为 2π cm,宽为 4cm 的长方形彩纸(如图 3)装饰圆柱、圆锥模型表面.已知一个圆柱和一个圆锥模型为一套,长方 形彩纸共有 122 张,用这些纸最多能装饰多少套模型呢?

【对话】老师:“长方形纸可以怎么裁剪呢?” 学生甲:“可按图 4 方式裁剪出 2 张长方形.” 学生乙:“可按图 5 方式裁剪出 6 个小圆.” 学生丙:“可按图 6 方式裁剪出 1 个大圆和 2 个小圆.” 老师:尽管还有其他裁剪方法,但为裁剪方便,我们就仅用这三位同学的裁剪方法! 2 2 【解决】(1)计算:圆柱的侧面积是 cm ,圆锥的侧面积是 cm . (2)1 张长方形彩纸剪拼后最多能装饰 个圆锥模型; 5 张长方形彩纸剪拼后最多能装饰 个圆柱体模型. (3)求用 122 张彩纸最多能装饰的圆锥、圆柱模型套数.

6

22、 (本小题 12 分) 类比、转化、分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到,如下是一个案例, 请补充完整。 ⑴原题:如图 1,在⊙O 中,MN 是直径,AB⊥MN 于点 B,CD⊥MN 于点 D,∠AOC=90°,AB=3,CD=4, 则 BD= 。 (试写出解答过程)

⑵尝试探究: 如图 2, 在⊙O 中, MN 是直径, AB⊥MN 于点 B, CD⊥MN 于点 D, 点 E 在 MN 上, ∠AEC=90°,

AB=3,BD=8,BE:DE=1:3,则 CD=

(试写出解答过程) 。

⑶类比延伸:利用图 3,再探究,当 A、C 两点分别在直径 MN 两侧,且 AB≠CD,AB⊥MN 于点 B,CD ⊥MN 于点 D,∠AOC=90°时,则线段 AB、CD、BD 满足的数量关系为 。

(4)拓展迁移:如图 4,在平面直角坐标系中,抛物线经过 A(m,6) ,B(n,1)两点(其中 0<m< 3) ,且以 y 轴为对称轴,且∠AOB=90°,①求 mn 的值;②当 S△AOB=10 时,求抛物线的解析式。
C A M B O D N M

C A B E O D N M
O N

题 22 图 1

题 22 图 2

题 22 图 3

题 22 图 4

7

23.(本小题满分 14 分) 已知抛物线 y ?

1 2 x ? 3mx ? 18m 2 ? m 与 x 轴交于 A( x1 ,0), B( x2 ,0) ( x1 ? x2 ) 两点,与 y 8

轴交于点 C(0,b) ,O 为原点. (1)求 m 的取值范围; (2)若 m ?

1 且 OA+OB=3OC,求抛物线的解析式及 A、B、C 的坐标. 18

(3)在(2)的情形下,点 P、Q 分别从 A、O 两点同时出发以相同的速度沿 AB、OC 向 B、C 运动, 联结 PQ 与 BC 交于 M,设 AP=k,问是否存在 k,使以 P、B、M 为顶点的三角形与⊿ABC 相似.若存在, 求所有的 k 值,若不存在说明理由.

8

2014 级高一新生入学考试数学试题参考答案
一. 选择题(每小题 3 分,共 30 分)
题号 答案 1 C 2 D 3 D 4 B 5 D 6 C 7 D 8 C 9 B 10 A

二. 填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 24 分) 4 11、6 吨,6.5 吨 12、1 13、 14、 9? 5 三、解答题(本大题共 7 小题,共 66 分)
17.(本题 6 分) 解:原式=

15、2014

16、③④⑤

?a ? 1??a ? 1? ? a?2 ? a ? ? a a?2 ?a ? 1?2

????2 分

a ?1 ?1 a ?1 2 = ? a ?1
= 把 a=3 代入,原式= 18、(本题 8 分) (1)是, y ?

????3 分 ????4 分

?

2 1 ?? 3 ?1 2

????6 分

2013 在 1≤x≤2003 范围内 y 随 x 的增大而减小, x

∴当 x=1 时,y 最大=2003;当 x=2003 时,y 最小=1; ∴1≤y≤2003 即y?

2013 是闭区间{1,2013}上的闭函数????????????3 分 x

(2)当 m≤x≤n,知 y=kx+b(k≠0). ⅰ)当 k>0, y 随 x 的增大而增大,有 mk+b≤y≤nk+b ∴?

?m ? mk ? b ? k ? 1 ?? ? n ? nk ? b ?b ? 0

y=x 满足条件。??????????????????????????5 分 ⅱ)当 k<0,y 随 x 的增大而减小,有 nk+b≤y≤mk+b

∴?

?m ? nk ? b ? k ? ?1 ?? ?n ? mk ? b ?b ? m ? n

y=-x+m+n 满足条件. ??????????????????????7 分 综上所述:所求函数的解析式为:y=x 或 y=-x+m+n????????????8 分 19. (本题 8 分) 解:延长 CB 交 PQ 于点 D. ∵MN∥PQ,BC⊥MN,∴BC⊥PQ. ?????? (2 分) ∵自动扶梯 AB 的坡度为 1:2.4,
9



BC 1 5 ? ? . AC 2.4 12

???????????? (4 分)

设 BD=5k 米,AD=12k 米,则 AB=13k 米. ∵AB=13 米,∴k=1, ∴BD=5 米,AD=12 米. ???????????????(6 分) 在 Rt△CHO 中,∠CHO=90°,∠CAD=42°, ∴CD=AD?tan∠CAD≈12×0.90≈10.8 米, ∴BC≈5.8 米. 答:二楼的层高 BC 约为 5.8 米. ??????????????? (8 分) 20. (本题 8 分) 解(1)

????????????2 分

????4 分

????8 分 21. (本题 10 分) 解:(1)计算:圆柱的侧面积是 4π (2)1 张长方形彩纸剪拼后最多能装饰 5 张长方形彩纸剪拼后最多能装 cm ,圆锥的侧面积是 2π cm .(2 分) 2 个圆锥模型; 6 个圆柱体模型. ??????(4 分)
2 2

(3)设做 x 套模型,则每套模型中做圆锥的需要

x 5x 张纸,作圆柱需要 张纸, 2 6

x 5x ? ? 122 2 6 183 解得: x ? , 2


????????????????????(6 分) ?????????????????????(8 分)

∵x 是 6 的倍数,取 x=90,做 90 套模型后剩余长方形纸片的张数是 122-(45+75)=2 张,
10

2 张纸不够坐一套模型. ∴最多能做 90 套模型. 22、 (本小题满分 12 分)

??????????????????(10 分)

解:⑴原题:∵AB⊥MN,CD⊥MN, ∴∠ABO=∠ODC=90° ∠BAO+∠AOB=90° ∵∠AOC=90° ∴∠DOC+∠AOB=90° ∴∠BAO=∠DOC 又∵OA=OC ∴△AOB≌△ODC(AAS) ∴OD=AB=3,OB=CD=4,∴BD=OB+OD=7 ???????????3 分
M

C A B E O D N

⑵尝试探究:∵AB⊥MN,CD⊥MN,∴∠ABE=∠CDE=90° ∠BAE+∠AEB=90°∵∠AEC=90°∴∠DEC+∠AEB=90° ∴∠BAE=∠DEC ∴△ABE∽△EDC ∴ CD ? DE ∵AB=3,BD=8,BE:DE=1:3, BE AB 图 2

CD 6 ∴CD=4 ?????????????6 分 ? 2 3 ⑶类比延伸:如图 3(a)CD=AB+BD; 如图 3(b)AB=CD+BD ???8 分
∴BE=2,DE=6 ∴
A

A M O B D N
M D B C O N

C

图 3(a)

图 3(b)

说明:只要答出一种取可! ⑷拓展迁移:①作 BC ⊥ x 轴于 C 点, AD ⊥ x 轴于 D 点,

A,B 点坐标分别为 (m,,, 6) (n 1) ,
,OC ? ?n,OD ? m,AD ? 6 , ∴ BC ? 1
又∵∠AOB=90° ∴∠BCO=∠ODA=90°,∠OBC=∠AOD ∴ △CBO ∽△DOA , ∴

CB CO BO 1 ?n ? ? , ? ? , ? mn ? ?6 。?????10 分 DO DA OA m 6 1 OB OA ? 10 , 2

②由①得, OA ? mBO ,又 S△ AOB ? 10 ,∴

? mBO ? 20 , 即 OB OA ? 20,
2

11

又 OB2 ? BC 2 ? OC 2 ? n2 ? 1 , ?m(n2 ? 1) ? 20, mn ? ?6, ?m ? 2,n ? ?3, ∴ A 坐标为(2,6) ,B 坐标为(-3,1) ,代入得抛物线解析式为 y ? ? x 2 ? 10 。???12 分

23、 (本小题满分 14 分) 解: (1)利用判别式 ? ? 0 解得 m ? 0 (2)注意条件 m. ? 所有 x1 x2 ?

????????????(3 分)
2

1 18

可得 18m ? 1 ? 0 ,从而 18m ? m ? 0 ,

18m 2 ? m ? 8(18m 2 ? m) ? 0 , 1 8
3m ? ?24m ? 0 ? x1 ? x2 ? 0 1 8

x1 ? x2 ? ?

所以 满足条件的抛物线图象如图所示 依题意? ? ( x1 ? x2 ) ? 3b

24m ? 3b ,而 18m2 ? m ? b ,

2 所以有 18m ? m ? 8m ,解得 m ? 0 (舍去) m ?

1 2

1 2 3 x ? x ? 4 为所求的抛物线解析式 18 2 1 2 3 x ? x ? 4 ? 0 得 A(-8,0) 令 、B(-4,0) 、C(0,4)??????(8 分) 18 2
从而 y ? (3)⊿PBM 与⊿ABC 相似有两种情况: 1) 当 PQ∥AC,AP=OQ=k,由

AO CO ? , PO QO
????????11 分



8 4 8 ? ,解得 k ? 8?k k 3

2)当 PQ 与 AC 不平行,设有∠ACB=∠MPB, 过 B 作 AC 的垂线,垂足为 D, 利用 sin A ?

BD CO 4 5 ? ,求得 BD= AB AC 5

4 5 BD BC ? 由 Rt⊿CDB∽Rt⊿POQ,则有 ,即 5 ? OQ PQ k
8 或 k=2. 3

4 2 k ? (8 ? k )
2 2

,化简得 k ? 2k ? 8 ? 0 ,解
2

得 k ? ?4 或 k ? 2 ,但由 CQ=4-k,知 0<k<4,所以只有 k=2 , 综上 1)2)所求的 k 值是 k ? ?????????????? 14 分

说明:以上答案仅供参考,如有不妥之处敬请斧正!
12


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