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第2章1随机变量及其分布_图文

第二章 随机变量及其分布
? 本章是概率论的重点,内容较多。 ? 1、理解随机变量及其分布的概念。 ? 2、理解离散型随机变量的概念,掌握离散型随机 变量的概率函数及其性质,掌握常用的离散型分 布。 ? 3、理解连续型随机变量的概念,掌握连续型随机 变量的密度函数及其性质,掌握常用的连续型分 布,尤其是正态分布的概率计算。 ? 4、理解随机变量的分布函数F(x)=P{X≤x}的概念 及其性质,掌握离散型的概率函数和连续型的密 度函数与分布函数之间的关系,会计算与随机变 量有关的事件的概率。

? 5、理解随机变量的数字特征(数学期望、方差、 矩)的概念及其性质,会运用数字特征的基本性 质和公式计算具体分布的数字特征,掌握常用分 布的数字特征。 ? 6、了解切比雪夫不等式。 ? 本章计算题型较多:求分布函数、概率函数、密 度函数中的待定系数;由分布函数计算概率函数 或密度函数,或者反过来计算;随机变量数字特 征的计算或涉及常用分布数字特征的计算;涉及 重要分布(二项分布、泊松分布、指数分布、正 态分布等)的计算。

第一节 随机变量及其分布
一、随机变量的概念
首先要将随机事件数量化标识,建立样本空间与实数空间的对应关系。 (1)有些随机事件本身与数字有关。例如抽查产品出现的次品数、掷 色子出现的点数等。以掷一颗色子试验为例,出现的基本事件为:

A1=“出现的点数为1 ”={1} A2=“出现的点数为2 ”={2} A3=“出现的点数为3 ”={3} A4=“出现的点数为4 ”={4} A5=“出现的点数为5 ”={5} A6=“出现的点数为6 ”={6}

X= 1 X= 2 X= 3 X= 4 X= 5 X= 6

这里X随着出 现的随机事件 不同而取不同 的值,称之为 随机变量

引入变量X表示“掷一颗色子出现的点数”

第一节 随机变量及其分布
一、随机变量的概念
首先要将随机事件数量化标识,建立样本空间与实数空间的对应关系。 (2)有些随机事件本身与数字无关。例如抽查一件产品,抽到次品或 正品、掷硬币出现正面或反面等。以掷一枚硬币试验为例,出现的基本 事件为: 同样这里X随 着出现的随机 ?? X= 1 1 1 A=“出现正面” 事件不同而取 ?? X= 0 2 B=“出现反面” -1 不同的值,称 之为随机变量

也引入随机变量X表示“掷一枚硬币出现正面的次数”
同理,射击一次“命中”、“没命中”;做一次试验“成功”、“没成功” 等等,这种是非两种结果的事件均可用X=1、 X=0来描述。参看例1

随机变量的定义
定义2.1:设W是与实验E相应的样本空间,对W中的每个样本 点?,都对应着一个实数X(?), X随着出现的随机事件不同 而取不同的值,并且它取某个值或某范围内的值都有确定的 概率,称之为随机变量(Random Variable)。简记作R.V. X 随机变量常用X,Y,Z 或?,?,?等来表示,其取值常用x,y,z, 等来表示。 说明: (1)随机变量的取值具有随机性:随机变量就是在试验的结果中 能取得不同数值的量,它的数值是随试验的结果而定的,即 随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的结 果是随机的,所以它的取值具有随机性。 (2)随机变量的取值具有一定的概率规律:试验的各结果的出现 具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律.

说明: (3)“随机变量”概念的引入有重要的意义: ①将事件数量化标识可进一步进行数量研究; ②可统一表示出随机试验的“所有”随机事件,如除了 {X=x},还有{X<x}, {X>x}, {X≤x}, {X≥x}, {x1<X<x2}, {x1≤X≤x2} 等等,都是样本空间中的随机事件,都有确定 的概率。 ③可用来描述样本空间中事件的概率分布。 如上例掷一颗色子的试验中X表示“出现的点数”,则 P{X=1}=1/6,P{X=2}=1/6,?, P{X=6}=1/6 记作P{X=k}=1/6, (k=1, 2, ?, 6) 并且P{X≤3}=1/2, P{X>3}=1/2 , P{2≤X≤5}=4/6

随机变量的分类:
1.离散型:所有可能值是有限多个或可数无限多个(离散点) 2.连续型:所有可能值构成一段或几段实数区间(连续点) 3.奇异型:非离散、非连续 例1 一批产品的次品率是15%,从中随机地抽取一个产品 进行检验,正品记为 0,次品记为 1,抽取结果可以用一个 随机变量X来描述。显然,X可以取0或1两个实数值,并且 它究竟取何值,事先无法确定,因此是随机变量(离散型)。 与X相联系的两个事件“X = 0”及“X = 1”,其概率分别 为 P{X = 0} = 0.85, P{X = 1}= 0.15

例2 某射手射击时命中率为p(0<p<1)。现在他连续向一目 标射击,直到第一次击中目标为止。如果用X表示射击的次 数,则

X=1,2,3,?,n,?
X是一个可能取一切正整数的随机变量(离散型) 。

例3 如果用X表示测量某建筑物的高度可能得到的数值, 由于测量仪器的精度、测量人员的水平、气候条件等多种 因素的影响,则X就是可能取得某个区间[a,b]上的任意实 数的一个随机变量。
X是连续型随机变量。

二、离散型随机变量
1.定义2.2 如果随机变量X只取有限个或可数无限多 个可能值,并且以确定的概率取这些不同的值, 就称X为离散型随机变量。 离散型随机变量的取值及其概率的对应规律称为随 机变量X的概率分布 。 2.表示方法:分布律(概率函数)、分布表、分布图。 (1).设离散型R.V.X的所有可能取的值为x1,x2,?, xn,?,其相应的概率为 P{X=xk}=pk,(k=1, 2, ?, n, ?) 称为R.V.X的概率函数(或分布律)

(2).概率分布表
X x1 p1 x2 p2 ? ? xn pn ? ?

P

? x1 或记作 X ~ ? ?p ? 1

x2 ? xk p2 ?
P

pk

?? ? ?? ?

(3).概率分布图
X xn

O

x1

x2

x3

3.概率函数的基本性质:

(2). ? pk ? 1 (1). 0≤Pk≤1 k 事件“X=x1”,“X=x2”,? ,“X=xn”,?, 的全体构成随机试验的样本空间W,它们组 成完备事件组,概率之和为1。 (3). P{X∈A}=

例如 P{a<X<b}=

xk ? A

?p

k

a ? xk ? b

?p

k

4.几种常用的离散型分布
①两点分布 P{X=x1}=1-p P{X=x2}=p “0-1”分布 P{X=0}=1-p P{X=1}=p X P x1 1-p x2 p

X
P

0
1-p

1
p

P{X=k}=pk(1-p)1-k k=0,1 记作X~B(1, p)

②离散型均匀分布 P{X=xk}=1/n,(k=1, 2, ?, n)
例5:掷一颗色子的试验中X表示“出现的点数”,则

P{X=1}=1/6,P{X=2}=1/6,?, P{X=6}=1/6
记作P{X=k}=1/6, (k=1, 2, ?, 6) 又如:掷一枚匀称的硬币出现正面的次数X

P{X=0}=1/2
P{X=1}=1/2

X

0

1

P

1/ 2

1/ 2

③几何分布

记作X~G(p)

假设每次试验A发生的概率为p,即P(A)=p, P(A) ? 1 - p 不断重复该试验,直到A发生为止,用R.V.X表示 事件A首次发生时的试验次数,则X=1, 2, ?, n, ? P{X=k}=(1-p)k-1p=qk-1p ,(k=1, 2, ?, n, ? ) 验证 ? pk ? 1
k

?q
k ?1

?

k -1

p p ? ?1 p? 1- q p

用了几何级数,由此得名,称为几何发布。
例6:设每次射击命中率为p,不断射击,直到命中为止, R.V.X为命中时的射击次数,则X服从几何分布。

例7:袋内有5个黑球,3个白球,每次抽取一个,不 放回,直到取得黑球为止。记X为取到白球的数目, 求随机变量X的概率分布。? 解:X可以取0,1,2,3等共4个值,

事件“X=0”表示没有取到白球,即第一次就取到 了黑球,其概率为P{X=0}=5/8,
而“X=1”表示在取到黑球之前取到一个白球,即 总共抽取两次,第一次取到白球,第二次取到黑球,
8 7 56 类似地 P{X ? 2} ? 3 ? 2 ? 5 ? 5 8 7 6 56

其概率 P{X ? 1} ? 3 ? 5 ? 15

1 P{X ? 3} ? 56

例8:设一辆汽车在开往目的地的道路上需经过3个设有红绿信 号灯的路口,假定各路口显示红灯与绿灯时间相同(遇到红 灯或绿灯概率均为1/2),并且各路口信号灯的工作是相互独 立的。以X表示汽车首次停下时已经通过的路口数。求X的 概率分布及概率P{X≤3/2}、P{2≤X≤3}。 解:X的可能取值为0,1,2,3,则有 1 1 1 1 P{X ? 1} ? ? ? P{X ? 0} ? 2 2 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 P{X ? 2} ? ? ? ? P{X ? 3} ? ? ? ? 2 2 2 8 2 2 2 8 X 0 1 2 3 P 1/2 1/4 1/8 1/8 3 1 1 3 P{X ? } ? P{X ? 0} ? P{X ? 1} ? ? ? 2 2 4 4 1 1 1 P{2 ? X ? 3} ? P{X ? 2} ? P{X ? 3} ? ? ? 8 8 4

④泊松(Poisson)分布
k

记作X~P(l)

l 例9 P{X=k}= A ? ,k=0, 1, 2, ?,其中l>0 , A=? k! ? ? ? lk lk l 由 ? P{X ? k } ? ? A ? Ae ? 1 ? A? k! k ?0 k ?0 k ?0 k! n ? x x -l 注 e ?? ?A? e n ? 0 n! k l -l 所以 P{X ? k } ? e , k ? 0, 1, 2,? 称为泊松分布 k! 注意:利用概率函数的性质可确定概率分布中的 待定系数或待定项。

三、连续型随机变量
? 描述性定义:连续型随机变量的所有可能值充满某一个或 几个有限或无限区间,甚至是整个数轴。 ? 它有不可列无穷多个可能值(点),没有孤立点,这时只考 虑某一点{X=x}的概率P{X=x}没有多大的意义,但可计算 它取值于任一区间的概率P{a<X≤b} ? 例如例3中的建筑物的高度X可以取[a, b]上的任何一个值, X为连续型随机变量,P{X≥0}=1 ? 注意计算离散型随机变量取值于某区间的概率

P { a ? X ? b} ?

a ? xk ? b

?p

k

而要计算连续型随机变量取值于任一区间的概率 P{a<X≤b},需要连续累加,是用积分来描述的。

三、连续型随机变量的概率密度
1. 定义2.3:对于随机变量X如果存在一个非负可积 的函数 f(x), x∈R,使得对任一区间[a, b]都有 则称X为连续型随机变量,称f(x)为X的概率分布 密度函数,简称密度,简记为X~ f(x), x∈R 2.密度函数f(x)的性质: ① f(x)≥0,x∈(-∞, +∞) ②
P{a ? X ? b} ? ? f ( x )dx
a b

?

??

-?

f ( x)dx ? 1

注意: ?-? f ( x)dx ? P{-? ? X ? ??} ? 1 (全积分为1)

??

3.几点说明
① 比较离散型随机变量的概率函数与连续型随机变量的密度 函数,它们有相似的性质,但是不同。 (1). 0≤Pk≤1 f(x)≥0,x∈(-∞, +∞)

(2).

? pk ? 1
k

?

??

-?

f ( x)dx ? 1

f(x)不是X在点x的概率, f(x)≠P{X=x},而是X在点x处概率分布 的密集程度。 f(x)的大小可反映X在点x处的概率大小。 ②物理解释(与物质密度比较):若把P{a≤X≤b}看作物质的质 量,则 f(x)刚好是物质的密度。 b ③几何含义: f (x) P{a ? X ? b} ? f ( x )dx

?

a

是曲线 f(x)下在[a, b]上的面积。
a b

3.几点说明
④任一函数 f(x)只要满足上述两条基本性质,均可作为某连 续型随机变量的密度函数,密度函数不一定连续,但它的 原函数一定连续。

例如:判断函数 f(x)是否为密度函数

?sin x f ( x) ? ? ?0

0? x?? 其他
?

解:易知 f ( x ) ? 0, 但?

??

-?

f ( x )dx ? ? sin xdx ? - cos x 0 ? 2
0

?

所以 f(x)不是密度函数。 又如:设 f1(x)和 f2(x)都是密度函数,则 f1(x)+ f2(x) (A) 一定是密度函数。 (B) 一定不是密度函数。 (C) 不一定是密度函数。 (D) 无法判断。

?

??

-?

[ f1 ( x ) ? f 2 ( x )]dx ? ?

??

-?

f1 ( x )dx ? ?

??

-?

f 2 ( x )dx ? 2 所以选(B)

若a≥0,b≥0,且a + b = 1,则 a f1(x)+ b f2(x)是密度函数。

3.几点说明
④任一函数 f(x)只要满足上述两条基本性质,均可作为某连 续型随机变量的密度函数,密度函数不一定连续,但它的 原函数一定连续。

⑤连续型随机变量X在任一点的概率均为零。

P{ X ? x} ? P{ x ? X ? x} ? ? f (t )dt ? 0
x

x

所以P{a≤X≤b}=P{a<X≤b}=P{a≤X<b}=P{a<X<b} 还可说明:概率为0的事件不一定是不可能事件; 概率为1的事件也不一定是必然事件。

P{a ? X ? b} ? ? f ( x )dx
a

b

f (x)

a

b

4.几种常用的连续型分布
? 1 ? f ( x ) ? ?b - a 若R.V.X的密度函数 f(x)为 则称X服从区间[a,b]上的均匀分布。 ? ? 0

①均匀分布

a? x?b 其他

简记为X~U[a,b] 例1:R.V.X只在[a,b]上取值,且在[a,b]上各点的概率密集程 度都一样,为常数l,求l和P{c≤X≤d}.其中[c,d]?[a,b] 解: ?? a? x?b ?l f ( x) ? ? 由? f ( x)dx ? 1
f ( x)dx ? ? 0dx+ ? ldx+ ? 0dx = l(b - a) ? 1 -? a b 1 d 1 d -c ?l ? P{c ? X ? d } ? dx ? b-a c b-a b-a 参看教材例1
-?

?

??

?0

其他

-?

a

b

??

?

②指数分布
?le -lx x ? 0 R.V.X~f(x) = ? x?0 ?0
例2
? Al e - l x f ( x) ? ? ? 0 x?a x?a
- lx

(l ? 0)
( l ? 0)
??

记作X~EXP(l)

求(1) 待定常数A (2) P{a-1<X≤a+1}
- lx

?

??

-?

f ( x )dx ? ?

??

a

Ale

dx ? - A? e
a

d (-lx ) ? - Ae

- lx ?? a

? e la l e - lx f ( x) ? ? ? 0

x?a x?a
a ?1 a -1

? Ae- la ? 1

? A ? e la

a=0时,即为指数分布。
a ?1 a

P{a-1<X≤a+1} ? ?

f ( x )dx ? ?

e la le -lx dx ? 1 - e - l

例 3:
?ax ? b 0 ? x ? 2 R.V.X~f(x)= ? 其他 ?0

且P{1<X<3}=0.25,确定常数a和b;求P{X>1.5}。

解:由概率密度的性质及概率密度的定义,有 ?? 2 ? f ( x)dx ? ? (ax ? b)dx =2a+2b=1
-?

P{1<X<3}= ? f ( x)dx ? ? (ax ? b)dx =1.5a+b=0.25
1 1

3

0

2

联立,解方程组得a=-0.5,b=1 ?? 2 P{X>1.5}= ? f ( x)dx? ? (-0.5x ? 1)dx =0.0625
1.5 1.5

③拉普拉斯分布
1 -|x| R.V.X ~ f ( x) ? e 2
例如:已知

x?R

R.V.X ~ f ( x) ? Ae-|x| x ? R

求待定系数A及P{|X|≤1}



?

??

-?

f ( x )dx ? 1
b

P{a ? X ? b} ? ? f ( x )dx
a

④柯西分布
1 1 R.V.X ~ f ( x) ? ? ? 1 ? x2
例如:已知

x?R x?R

求待定系数A及P{|X|≤1}

A R.V.X ~ f ( x) ? 1 ? x2

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四、 随机变量的分布函数
1、定义2.4:设X是一个随机变量,对?x?R,记
F(x)=P{X≤x},称之为R.V.X的分布函数。
由定义:F(x)=P{X≤x}=P{-∞<X≤x} 可得 P{X>x}=1-P{X≤x}=1-F(x)

对?a<b,P{a<X≤b}=P{X≤b}-P{X≤a}=F(b)-F(a)

P{X ? a - ? } ? lim F( a - ? ) P{X<a}= F(a-0) ? lim ? ?
??0 ??0

甚至任一点的概率也可由分布函数表示:
P{X=a}=P{X≤a}-P{X<a}=F(a)-F(a-0) 分布函数用来统一描述随机变量X的概率分布(包括离散型 和连续型随机变量)

用分布函数计算概率 由R.V.X的分布函数F(x)=P{X≤x},则对?a<b,可得
P{X≤a}= F(a)

P{X>a}=1-P{X≤a}=1-F(a)
P{a<X≤b}=P{X≤b}-P{X≤a}=F(b)-F(a)

P{X ? a - ? } ? lim F( a - ? ) P{X<a}= F(a-0) ? lim ? ?
??0 ??0

P{X=a}=P{X≤a}-P{X<a}=F(a)-F(a-0) P{a<X<b}=P{X<b}-P{X≤a}=F(b-0)-F(a)

P{a≤X≤b}=P{X≤b}-P{X<a}=F(b)-F(a-0)
P{a≤X< b}=F(b-0)-F(a-0) P{X≥a}=1-F(a-0)

2、离散型随机变量的分布函数
对于离散型随机变量
P{X= xk }=pk,(k=1, 2, ?, n , ?)
(-∞, x] x] x]

P { a ? X ? b} ?
x]

a ? xk ? b

?p
X

k

X P

x1 p1
? ? ? ? ? ? ? pk ? ? xk ? x ? ? ? ? ?

x2 p2

? ?

xn pn

? ?

F(x)=P{X≤x}=P{-∞<X≤x}

0 x<x1 p1 x1≤x<x2 p1+p2 x2≤x<x3 p1 p1+p2+p3 x3≤x<x4 ???????? x1 1 xn≤x

p3 p2
x2 x3

离散型随机变量的分布函数
注:如果离散型随机变量的所有可能值可以从小到大排列, 则其分布函数图象一般为阶梯形曲线,分段点刚好是R.V.X的 可能值xk,而在该点跳跃的高度为对应的概率pk。并且在分段 点处右连续。 因此由概率函数可求分布函数F(x),由R.V.X的分布函数也 可求其概率函数。 x?c ?0 F ( x) ? ? 例题 例1(退化分布) P{X=c}=1 1 x?c ? 补充例:求0—1分布的分布函数F(x).

X
P

0 q

1 p
x?0 0 ? x ?1 1? x

1

?0 ? F( x) ? ? p k ? ?q xk ? x ?1 ?

q
0 1

离散型随机变量的分布函数
例1:已知R.V.X的概率函数表为 X P -1 0.4 0 0.4 2 0.2

求R.V.X的分布函数。

解:由离散型随机变量分布函数的定义,概率累积即得

?0 ?0.4 ? F( x) ? ? ?0.8 ? ?1

x ? -1 -1 ? x ? 0 0? x?2 2? x
-1

0.8 0.4
0 2

离散型随机变量的分布函数
例5:已知R.V.X的分布函数为 求R.V.X的概率函数表。

?0 ?1 ?3 F( x ) ? ? 2 ?3 ?1 ?

x?0 0? x? 2 2? x?5 5? x

解:分段点为0,2,5,各点处跳跃的高度为其相应的概率。
X

0
1 3

2
1 3

5
1 3

P

3、连续型随机变量的分布函数

P{a ? X ? b} ? ? f ( x )dx
a

b

若X~f(x),则F(x)=P{X?x}=P{-∞<X?x}=

?

x

-?

f (t )dt

f(x)不一定连续,但F(x)是连续函数,对任给实数x有 P{X=x}=F(x)-F(x-0)=0 而且对 f(x)的连续点x处有 F’(x)=f(x)
P{a ? X ? b} ? ? f ( x)dx =F(b)-F(a)
a b

根据连续型随机变量的分布函数F(x)和密度函数f(x)之间 的关系,由一个可求出另一个。

连续型随机变量的分布函数 例3:设R.V.X ~U[a,b](区间[a,b]上的均匀分布)求F(x)
? 1 ? 解:由 f ( x) ? ? b - a ? ?0 a?x?b 其他
x -?
a x

F( x ) ? ?

x

-?

f (t )dt

( 1 )当x ? a时

1 x-a ( 2 )当a ? x ? b时 F( x ) ? ? 0dt ? ? dt ? -? a b-a b-a a b x 1 ( 3 )当x ? b时 F( x ) ? ? 0dt ? ? dt ? ? 0dt ? 1 -? a b-a b x?a ?0 参考课件 ?x-a ? ? F( x ) ? ? a ? x ? b 均匀分布 密度函数与分布函数F(x)的关系。 ? b-a 分布律 1 b ? x ? ?

F( x ) ? ? 0dt ? 0

连续型随机变量的分布函数
F(x)=P{X?x}=

?
?
x

x

-?

f (t )dt
0 ? x ?1 其他

?2 x 补充例 已知X~f(x)= ? ?0

求F(x),P{|X|<0.7}

解:由F(x)=

-?

f (t )dt
x

( 1 )当x ? 0时 F( x) ? ?-? 0dt ? 0 (2)当0 ? x ? 1时 F( x) ? ?-? 0dt ? ?0 2tdt ? x 2 (3)当1 ? x时 F( x) ? ?-? 0dt ? ?0 2tdt ? ?1 0dt ? 1
?0 ? 2 ? F( x) ? ? x ?1 ? x?0 0 ? x ?1 1? x
0 1 x 0 x

1

1

P{|X|<0.7)= P{-0.7<X<0.7}

=F(0.7)-F(-0.7)=0.72-0=0.49

连续型随机变量的分布函数
例4:设R.V.X ~Exp(l)(参数为l的指数分布),求F(x)
? l e - lx 解: f ( x ) ? ? ? 0 x?0 x?0 ( l ? 0)
x

F( x ) ? ?

x

-?

f (t )dt

( 1 )当x ? 0时
( 2 )当x ? 0时

F( x ) ? ? 0dt ? 0
-? 0

F( x ) ? ? 0dt ? ? le -lx dt ? 1 - e -lx
-? 0

x

?1 - e - lx ? F( x ) ? ? ?0

x?0 x?0

连续型随机变量的分布函数
?A 补充例 已知X~f(x) = ? ? x ?0 ? 0 ? x ?1

求系数A和F(x).

解:由 ?-? f (t )dt ? 1
(1)当x≤0时 (2)当0<x≤1时

+?

?
x -?
0

1

0

F( x) ? ? 0dt ? 0
x
-?

其它 A 1 dt ? 2A ? 1, ? A ? 2 x
x

F( x) ? ? 0dt ? ?

1 2 t

0

dt ?

x

(3)当x>1时 F( x) ? ?-? f (t )dt ? 1

?0 ? ? F( x) ? ? x ?1 ?

x?0 0 ? x ?1 1? x

1

1

4、分布函数的性质
由F(x)=P{X?x}知 ①对?x?R有0≤F(x)≤1 ②F(x)是非减函数 ③ F( -?) ? lim F( x ) ? 0, F( ??) ? lim F( x ) ? 1
x?- ? x?? ?

④ F(x)至多有可数个间断点,且在间断点上右连续。
例6: F(x)=A+Barctan x,求(1)A、B (2) P{0?X?1} (3) f(x) ? ? 解:(1)由 F ( -?) ? A - B ? 0, F ( ??) ? A ? B ? 1 2 2 得:A=1/2,B=1/? 1 1 F ( x ) ? ? arctan x (2) P{0?X?1}=F(1)-F(0)=1/4 2 ? 1 称之为柯西分布 (3) f(x) =F’(x) = 2 ?(1 ? x )

练习
?A ? 1. 已知f ( x) ? ? 2 ? ?0 1? x ? 5 其他
? 2

求(1)A. (2)F(x). (3)P{ - 1 ? X ? 2}

x?0 ?0 ? 2. 已知 F( x) ? ?A sin x 0 ? x ? ?1 ? ? 2 ? x
2

求(1)A. (2)f (x). (3)P{|X |? ? 6}

- x2 ? ?A ? Be x?0 3. 已知 F( x) ? ? x?0 ? ?0 求(1)A、B (2)f (x). (3)P{0 ? X ? 1}


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